一.对数与对数运算
1.对数的概念:如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作
即：
2.对数恒等式:.
3.对数的性质:①和负数没有对数，即
②的对数为，即；
③底的对数等于，即.
常用对数：以为底的对数叫做常用对数．把写成，记做
自然对数：以无理数为底的对数叫做自然对数．通常记作.
4.对数的运算法则:①乘法运算：；
②除法运算：；
③提公次方：，；
5.换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
④归一法则：．
题型一.对数的定义
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
①；②；③；④；⑤；⑥．
计算下列对数式的值：
(1) . (2) . (3) .
求下列各式中的值：
①；②；③；④．
设，，求的值．
已知，则的值等于( )
A．1 B．2 C．8 D．12
【思考题】已知等于( )
A．1 B． C．2 D．
题型二.对数的性质
求的值：① ② ③
()化简得结果是( )
A. B. C. D.
题型三.对数的运算
化简的结果是( )
A. B. 1 C. 2 D.
方程的解 ；
计算：______.
已知，其中为正整数，且．求.
【思考题】是方程的两个根，则的值是_______．
(2020 奉贤区期中)若，，，，下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
计算下列各式的值：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
计算：① ②
计算(1)
(2)
题型四.换底公式与约分法则
(2021 天津)已知，则( )
A. B. C. D.
(2020 台州月考)已知实数，若，则______ .
计算的值：
计算的值：
化简的结果是( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
已知，，那么用含,的代数式表示为( )
A. B. C. D.
一种放射性元素，每年的衰减率是，那么千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)等于( )
A. B. C. D.
已知，，用表示．
【思考题】，，那么等于 (用，表示)；
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足方程，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. B. C. D.
设，且，求的最小值
设，满足：，如果有最大值，求此时的的值
设，则的值为 ．[来源:
已知，则( )
A. B. C. D.
.
方程的解为 .
下列各式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
计算下列各式的值：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
计算的值：
已知，则( )
A. B. C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
(2020 全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ）
A． B． C． D．
对数，延长了天文学家的生命
“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．
对数的发展绝非一人之功．首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难以想象，于是便产生了简化计算的想法．
从1603~1611年，标尔基用了八年的时间，一个数一个数地算，造出了一个对数表，这个对数表帮了开普勒的大忙．开普勒认识到了对数表的实用价值，劝标尔基赶快把对数表出版，标尔基认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版．
正在标尔基犹豫不决的时候，1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所
造的题为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界．
“对数”（logarithm）一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高．
1对数与对数的运算(教师版)
对数与对数的运算
一.对数与对数运算
1.对数的概念:如果 ab N (a 0,a 1)，那么 b叫做以 a为底 N的对数，记作 loga N b
即： ab N loga N b (a 0,a 1,N 0)
2.对数恒等式: aloga N N .
3.对数的性质:① 0和负数没有对数，即 N 0 ;
②1的对数为 0，即 loga1 0；
③底的对数等于1，即 loga a 1 .
常用对数：以10为底的对数叫做常用对数．把 "log"写成 "lg"， log10 N 记做 lgN
自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数叫做自然对数． loge N通常记作 ln N .
4.对数的运算法则:①乘法运算： loga (MN) logaM loga N ；
M
②除法运算： loga loga M logN a
N ；
n n
③提公次方： log m b log b(m n R)a a ， ；m
5.换底公式和对数运算的一些方法：
log b log c b log 7 log 2 7 = lg7 ln7①常用换底： a 如： 5 log a log 5 lg5 ln7．c 2
②倒数原理： log
1
a b 如： log3 2
1
logb a log
．
2 3
③约分法则： loga b logb c loga c 如： log2 3 log3 4 log2 4=2； log315 log5 7 log15 5 log7 3 1．
④归一法则： lg2+lg5 1 lg2 lg5+lg2 2+lg5=lg2 lg5+lg2 +lg5=lg5+lg2 1．
题型一.对数的定义
【例 1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
1 1 m
① 54 625 6 ；② 2 ；③ 5.73
log 1 16 4；④ ；⑤ lg0.01 2；⑥ ln10 2.303．
64 3 2
【答案】(1) log5 625 4；(2) log
1
2 6；(3) log 1 5.73 m
1
；(4) ( ) 4 16；(5) 10 2 0.01；(6) e2.303 10；
64 3 2
1
对数与对数的运算(教师版)
【例 2】计算下列对数式的值：
(1) log 1 22 . (2) log5 5 . (3) log4 2
.
2
1 1
【答案】(1) -2；(2) ；(3) ；
2 2
【例 3】求下列各式中 x的值：
log x 2① 64 ；② log x 8 3；③ lg100 x；④3 ln e
2 x．
1
【答案】(1) ；(2) 2；(3) 2；(4) 2；
16
【例 4】设 log 2m na 2 m， loga 3 n，求 a 的值．
【答案】12；
【例 5】已知 f (x3 ) log2 x，则 f (8)的值等于( )
A．1 B．2 C．8 D．12
【答案】A
【思考题】已知 log ( n 1 n )等于( )n 1 n
A．1 B． 1 C．2 D． 2
【答案】B
题型二.对数的性质
【例 6】求 x的值：① log(x 3) (x
2 3x) 1 ② log2 log3 log x log 24 0 ③ log 52 x 5
1
【答案】(1)1；(2) 64；(3) ；
4
2
【例 7】 ( 5)log5 ( a) ( a 0 )化简得结果是( )
A. a B. a2 C. | a | D. a
【答案】C
题型三.对数的运算
【例 8】化简 lg 2 lg 5 log 31的结果是( )
1
A. B. 1 C. 2 D.
2 10
【答案】A
【例 9】方程 lg x lg(x 3) 1的解 x ；
【答案】2
2
对数与对数的运算(教师版)
【例 10】计算： log2 32 log
3
2 log2 6 ______.4
【答案】8
1 1 1
【例 11】已知 loga m loga (1 ) loga (1 ) ... loga (1 ) loga m loga n ，其中m , n为正整数，且m m+1 m n 1
a 0, a 1．求m,n .
【答案】m n 2
【思考题】 x1, x2 是方程 lg2 x a lg x b 0 的两个根，则 x1 x2 的值是_______．
【答案】10 a
【例 12】(2020 奉贤区期中)若 a 0， a 1，M 0， N 0，下列运算正确的是（ ）
A. logaM loga N loga (M N ) B. (logaM )
N N logaM
C. (logaM ) (loga N ) log
N 1
a (M N ) D. loga M log MN a
【答案】D
【例 13】计算下列各式的值：
1 lg 27 31 4 lg8
1
lg2
(1) lg25 lg8 3lg2 (2) 3 64 4 4
2 3 lg9
【答案】(1)1 1； (2) ；
2
1 lg25 3 lg5 lg 125
(3) 3 4 (4) log9 27lg5
1 3
【答案】(3) ； (4) ；
12 2
(5) log 6 log 1 (6) log 8 log 27 7 log7 22 4 9 4 3
【答案】(5)1； (6) 1；
3
对数与对数的运算(教师版)
3log2 3 4log4 3 6log 9
【例 14 8】计算：①51 log0.2 3 ② log4 3
【答案】(1)15； (2) 2；
【例 15】计算(1) lg2 lg5 (lg2)2 lg5
(2) (lg5)2 lg 2 lg50
【答案】(1)1； (2) 1；
题型四.换底公式与约分法则
1 1
【例 16】(2021 天津)已知 2a 5b 10，则 ( )
a b
A. 1 B. lg7 C. 1 D. log710
【答案】C
10
【例 17】(2020 台州月考)已知实数 a b 1，若 loga b logb a ，则 logb a ______ .3
【答案】3
【例 18】计算 log27 4 log16 3 log4 8的值：
5
【答案】
3
【例 19】计算 (log3 2 log9 2)(log4 3 log8 3)的值：
5
【答案】
4
【例 20】化简 log3 4 log4 5 log5 8 log8 9的结果是( )
A. 31 B. C. 2 D. 3
2
【答案】C
【例 21】已知 ln 2 a， ln 3 b，那么 log3 2用含 a , b的代数式表示为( )
A. a b B. a b C. ab D. a
b
【答案】D
4
对数与对数的运算(教师版)
【例 22】一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么 a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时
间) t等于( )
lg0.5 lg0.92
A. lg
0.5 0.92
B. lg C. D.
0.92 0.5 lg0.92 lg0.5
【答案】C
【例 23】已知 lg5 m， lg3 n，用m,n表示 log30 8．
3(1 m)
【答案】
n 1
【思考题】 log8 3 p， log3 5 q，那么 lg5等于 (用 p， q表示)；
3pq
【答案】
1 3pq
5 E
【例 24】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足方程m2 m1 lg 1 ，2 E2
其中星等为mk 的星的亮度为 Ek (k 1,2) .已知太阳的星等是 26.7，天狼星的星等是 1.45，则太阳与天
狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10 10.1
【答案】A
【例 25】设 x 1, y 1，且 2log x y 2log y x 3 0，求T x2 4y2 的最小值
【答案】 4
【例 26】设0 a 1， x, y满足： loga x 3log x a log x y 3
2
，如果 y有最大值 ，求此时 a的 x的值
4
a 1 ; x 1【答案】 ;
4 8
5
对数与对数的运算(教师版)
x 2，x 2.
【题 1】设 f (x) ，则 f ( f (4))log (x 1)(x 2). 的值为 ．
[来源:
3
【答案】 1
【题 2】已知 f (x5 ) lg x，则 f (2) ( )
A. lg2 B. lg32 C. lg 1 D. 1 lg2
32 5
【答案】D
2
【题 3】 log 4 log 36 6 9 8 .
【答案】 2
【题 4】方程 log2 (x 1) 2 log2 (x 1)的解为 .
【答案】 5
【题 5】下列各式中，正确的是( )
1
A. lg x2 2lg x B. log x log na a xn
log x
C. a log
x 1
log y a y D. loga x loga xa 2
【答案】B
【题 6】计算下列各式的值：
(1) lg0.01 log4 2 log4 8 (2) log9 27 log 8 7
log7 2
2
【答案】(1) 0； (2) 5；
(3) (lg2)2 lg20 lg5 (4) log2 3 (2 3)
【答案】(3) 1； (4) 1；
1 lg4 1 1 49 1 1 lg8 lg 2 lg lg25 lg245
(5) 4 2 (6) 2 16 4 2 2log2 3
lg2 lg4
【答案】(2) 3； (6) 2；
2
6
对数与对数的运算(教师版)
【题 7】计算 log4 3 log9 2 log 41 32 的值：
2
3
【答案】
2
【题 8】已知3a 2 1 4b 6，则 ( )
a b
A. 1 B. lg6 C. 2 D. log612
【答案】C
【题 9】若 p log5 6 log6 7 log7 8 log8 9 log910，则( )
A. p (0,1) B. p 1 C. p (1,2) D. p 2
【答案】C
【题 10】(2020 全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某
K
地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t) ( t的单位：天)的 Logistic 模型： I (t) 0.23(t 53) ，其中 K为最大确1 e
诊病例数．当 I (t ) 0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 t 约为( ln19 3)（ ）
A． 60 B． 63 C． 66 D． 69
【答案】C
数学文化
对数，延长了天文学家的生命
“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是 16世纪意大利著名学者伽利
略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．
对数的发展绝非一人之功．首先要提到的是 16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了
天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难
以想象，于是便产生了简化计算的想法．
从 1603~1611年，标尔基用了八年的时间，一个数一个数地算，造出了一个对数表，这个
对数表帮了开普勒的大忙．开普勒认识到了对数表的实用价值，劝标尔基赶快把对数表出
版，标尔基认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版．
正在标尔基犹豫不决的时候，1614年 6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所 纳皮尔
造的题为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界．
“对数”（logarithm）一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了个
梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看
竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高．
7一.对数与对数运算
1.对数的概念:如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作
即：
2.对数恒等式:.
3.对数的性质:①和负数没有对数，即
②的对数为，即；
③底的对数等于，即.
常用对数：以为底的对数叫做常用对数．把写成，记做
自然对数：以无理数为底的对数叫做自然对数．通常记作.
4.对数的运算法则:①乘法运算：；
②除法运算：；
③提公次方：，；
5.换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
④归一法则：．
题型一.对数的定义
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
①；②；③；④；⑤；⑥．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；
计算下列对数式的值：
(1) . (2) . (3) .
【答案】(1) -2；(2) ；(3) ；
求下列各式中的值：
①；②；③；④．
【答案】(1)；(2) ；(3) ；(4) ；
设，，求的值．
【答案】；
已知，则的值等于( )
A．1 B．2 C．8 D．12
【答案】A
【思考题】已知等于( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
题型二.对数的性质
求的值：① ② ③
【答案】(1)；(2) ；(3) ；
()化简得结果是( )
A. B. C. D.
【答案】C
题型三.对数的运算
化简的结果是( )
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
方程的解 ；
【答案】2
计算：______.
【答案】
已知，其中为正整数，且．求.
【答案】
【思考题】是方程的两个根，则的值是_______．
【答案】
(2020 奉贤区期中)若，，，，下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
计算下列各式的值：
(1) (2)
【答案】(1)； (2) ；
(3) (4)
【答案】(3)； (4) ；
(5) (6)
【答案】(5)； (6) ；
计算：① ②
【答案】(1)； (2) ；
计算(1)
(2)
【答案】(1)； (2) ；
题型四.换底公式与约分法则
(2021 天津)已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
(2020 台州月考)已知实数，若，则______ .
【答案】3
计算的值：
【答案】
计算的值：
【答案】
化简的结果是( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】C
已知，，那么用含,的代数式表示为( )
A. B. C. D.
【答案】D
一种放射性元素，每年的衰减率是，那么千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
已知，，用表示．
【答案】
【思考题】，，那么等于 (用，表示)；
【答案】
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足方程，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
设，且，求的最小值
【答案】
设，满足：，如果有最大值，求此时的的值
【答案】
设，则的值为 ．[来源:
【答案】
已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
.
【答案】
方程的解为 .
【答案】
下列各式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
计算下列各式的值：
(1) (2)
【答案】(1) 0； (2) 5；
(3) (4)
【答案】(3) 1； (4) ；
(5) (6)
【答案】(2)； (6) ；
计算的值：
【答案】
已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
(2020 全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
对数，延长了天文学家的生命
“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．
对数的发展绝非一人之功．首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难以想象，于是便产生了简化计算的想法．
从1603~1611年，标尔基用了八年的时间，一个数一个数地算，造出了一个对数表，这个对数表帮了开普勒的大忙．开普勒认识到了对数表的实用价值，劝标尔基赶快把对数表出版，标尔基认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版．
正在标尔基犹豫不决的时候，1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所
造的题为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界．
“对数”（logarithm）一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高．
对数与对数的运算(教师版)
1对数与对数的运算
一.对数与对数运算
1.对数的概念:如果 ab N (a 0,a 1)，那么 b叫做以 a为底 N的对数，记作 loga N b
即： ab N loga N b (a 0,a 1,N 0)
2.对数恒等式: aloga N N .
3.对数的性质:① 0和负数没有对数，即 N 0 ;
②1的对数为 0，即 loga1 0；
③底的对数等于1，即 loga a 1 .
常用对数：以10为底的对数叫做常用对数．把 "log"写成 "lg"， log10 N 记做 lgN
自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数叫做自然对数． loge N通常记作 ln N .
4.对数的运算法则:①乘法运算： loga (MN) logaM loga N ；
M
②除法运算： loga logaM loga N ；N
n n
③提公次方： log m b log a b(m， n R)a ；m
5.换底公式和对数运算的一些方法：
log b logc b log2 7 lg7 ln7①常用换底： a log a 如：
log5 7 =
c log2 5 lg5 ln7
．
②倒数原理： log
1 1
a b log 2 logb a
如： 3 log2 3
．
③约分法则： loga b logb c loga c 如： log2 3 log3 4 log2 4=2； log315 log5 7 log15 5 log7 3 1．
2
④归一法则： lg2+lg5 1 lg2 lg5+lg 2+lg5=lg2 lg5+lg2 +lg5=lg5+lg2 1．
题型一.对数的定义
【例 1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
4 2 6 1 1
m
5 625 5.73 log 1 16 4① ；② ；③ ；④ ；⑤ lg0.01 2；⑥ ln10 2.303．64 3 2
1
【例 2】计算下列对数式的值：
(1) log 12 . (2) log 5
2
5 . (3) log2 .4 2
【例 3】求下列各式中 x的值：
log x 2① 64 ；② log x 8 3；③ lg100 x；④ ln e2 x．3
【例 4】设 log 2 m， log 3 n，求 a2m na a 的值．
【例 5】已知 f (x3 ) log2 x，则 f (8)的值等于( )
A．1 B．2 C．8 D．12
【思考题】已知 log n 1 n ( n 1 n )等于( )
A．1 B． 1 C．2 D． 2
题型二.对数的性质
2
【例 6】求 x的值：① log(x 3) (x 3x) 1 ② log2 log3 log4 x 0 ③ log2 x 5log5 2
2
【例 7】 ( 5)log5 ( a) ( a 0 )化简得结果是( )
A. a B. a2 C. | a | D. a
题型三.对数的运算
【例 8】化简 lg 2 lg 5 log 31的结果是( )
1
A. B. 1 C. 2 D.
2 10
【例 9】方程 lg x lg(x 3) 1的解 x ；
2
3
【例 10】计算： log2 32 log2 log2 6 ______.4
log m log (1 1 ) log (1 1 ) ... log (1 1【例 11】已知 ) log m log n ，其中m , na a m a m+1 a m n 1 a a
为正整数，且
a 0, a 1．求m,n .
【思考题】 x1, x2 是方程 lg2 x a lg x b 0 的两个根，则 x1 x2 的值是_______．
【例 12】(2020 奉贤区期中)若 a 0， a 1，M 0， N 0，下列运算正确的是（ ）
A. logaM loga N loga (M N ) B. (logaM )
N N logaM
C. (logaM ) (log N ) log
N 1 a a (M N ) D. loga M logN a
M
【例 13】计算下列各式的值：
1 27 3 1
1 lg25 4
lg lg8 lg2
(1) lg8 3lg2 (2) 3 64 4 4
2 3 lg9
1 lg25 3 lg5 lg 125
(3) 3 4 (4) log9 27lg5
1
(5) log log7 22 6 log4 (6) log4 8 log9 3
27 7
3
3log 3 4log 3 6log 9
【例 14】计算：①51 log 3
2 4 8
0.2 ② log4 3
【例 15】计算(1) lg2 lg5 (lg2)2 lg5
(2) (lg5)2 lg 2 lg50
题型四.换底公式与约分法则
1 1
【例 16】(2021 天津)已知 2a 5b 10，则 ( )
a b
A. 1 B. lg7 C. 1 D. log710
【例 17】(2020 台州月考)已知实数 a b 1，若 log b log a 10a b ，则 logb a ______ .3
【例 18】计算 log27 4 log16 3 log4 8的值：
【例 19】计算 (log3 2 log9 2)(log4 3 log8 3)的值：
【例 20】化简 log3 4 log4 5 log5 8 log8 9的结果是( )
A. 31 B. C. 2 D. 3
2
【例 21】已知 ln 2 a， ln 3 b，那么 log3 2用含 a , b的代数式表示为( )
A. a b B. a b C. ab D. a
b
4
【例 22】一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么 a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时
间) t等于( )
0.5 0.92 lg0.5 lg0.92
A. lg B. lg C. D.
0.92 0.5 lg0.92 lg0.5
【例 23】已知 lg5 m， lg3 n，用m,n表示 log30 8．
【思考题】 log8 3 p， log3 5 q，那么 lg5等于 (用 p， q表示)；
5 E
【例 24】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足方程m2 m1 lg 1 ，2 E2
其中星等为mk 的星的亮度为 Ek (k 1,2) .已知太阳的星等是 26.7，天狼星的星等是 1.45，则太阳与天
狼星的亮度的比值为( )
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10 10.1
【例 25】设 x 1, y 1，且 2log x y 2log y x 3 0，求T x2 4y2 的最小值
2
【例 26】设0 a 1， x, y满足： loga x 3log x a log x y 3，如果 y有最大值 ，求此时 a的 x的值
4
5
x 2，x 2.
【题 1】设 f (x) ，则 f ( f (4)) [来源:
log3(x 1)(x 2).
的值为 ．
【题 2】已知 f (x5 ) lg x，则 f (2) ( )
A. lg2 B. lg32 C. lg 1 1D. lg2
32 5
2
【题 3】 log6 4 log6 9 83 .
【题 4】方程 log2 (x 1) 2 log2 (x 1)的解为 .
【题 5】下列各式中，正确的是( )
1
A. lg x2 2lg x B. loga x log
n x
n a
log
C. a
x
log x 1
log y a y D. loga x loga xa 2
【题 6】计算下列各式的值：
(1) lg0.01 log4 2 log4 8 (2) log9 27 log2 8 7
log7 2
(3) (lg2)2 lg20 lg5 (4) log2 3 (2 3)
1 lg4 1 lg8 lg 2 1 lg 49 1 lg25 1 lg245
(5) 4 2 (6) 2 16 4 2 2log2 3
lg2 lg4
6
【题 7】计算 log4 3 log9 2 log 41 32 的值：
2
2 1
【题 8】已知3a 4b 6，则 ( )
a b
A. 1 B. lg6 C. 2 D. log612
【题 9】若 p log5 6 log6 7 log7 8 log8 9 log910，则( )
A. p (0,1) B. p 1 C. p (1,2) D. p 2
【题 10】(2020 全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某
K
地区新冠肺炎累计确诊病例数 I (t) ( t的单位：天)的 Logistic 模型： I (t) ，其中 K为最大确
1 e 0.23(t 53)
诊病例数．当 I (t ) 0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 t 约为( ln19 3)（ ）
A． 60 B． 63 C． 66 D． 69
数学文化
对数，延长了天文学家的生命
“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是 16世纪意大利著名学者伽利
略的一段话．从这段话可以看到，伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论．
对数的发展绝非一人之功．首先要提到的是 16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了
天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道，数字之大、计算量之繁重，真的难
以想象，于是便产生了简化计算的想法．
从 1603~1611年，标尔基用了八年的时间，一个数一个数地算，造出了一个对数表，这个
对数表帮了开普勒的大忙．开普勒认识到了对数表的实用价值，劝标尔基赶快把对数表出
版，标尔基认为这个对数表还过于粗糙，一直没下决心出版．
正在标尔基犹豫不决的时候，1614年 6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所 纳皮尔
造的题为《奇妙的对数表的说明》一书，这个对数表的出版震动了整个数学界．
“对数”（logarithm）一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．
俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了个
梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看
竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高．
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