2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第三册第七章 三角函数单元测验卷（Word含答案解析）

第七章　三角函数
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 4·tan 7的值(　　)
A．大于0　　　B．小于0　　　C．等于0　　　D．不大于0
2．函数y＝4sin 的图像的一个对称中心是(　　)
A． B． C． D．
3．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是(　　)
A． B． C． D．
4．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是(　　)
5．已知π<α<2π，cos (α－7π)＝－，则sin (3π＋α)·tan 的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
6．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos D．y＝sin
7．已知cos A＋sin A＝－，A为第四象限角，则tan A等于(　　)
A． B． C．－ D．－
8．若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)对任意实数x都有f(a－x)＝f(b＋x)，那么f的值等于(　　)
A．－A B．A C．±A D．和a，b有关
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列结论正确的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
C．若角α的终边过点P，则cos α＝－
D．若角α为锐角，则角2α为钝角
10．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图像向左平移个单位，若所得的图像与原图像重合，则ω的值可能为(　　)
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
11．关于函数y＝2sin (0≤x≤9)，下列结论正确的是(　　)
A．x＝0时，ymin＝－ B．x＝0时，ymin＝－2
C．x＝5时，ymax＝2 D．x＝9时，ymax＝
12．设函数f(x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的一个周期为2π B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在上单调递减
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．化简：＝________．
14．设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图像如图所示，则A＋ω＋φ＝________．
15．函数f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数m的取值范围是________．
16．给出下列四个命题：①若f(x)＝a tan x＋b cos x是偶函数，则a＝0；②当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos 取得最大值；③函数y＝4cos 的图像关于直线x＝－对称；④函数y＝2tan ＋1的图像的对称中心为，k∈Z.其中正确的命题是________(填序号).
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
18．(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos (2x－φ)(0<φ<π)，其图像过点.
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数y＝g(x)在上的最大值和最小值．
20．(本小题满分12分)如图，某大风车的半径为2 m，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t s后与地面的距离为h m.
(1)求函数h＝f(t)的关系式；
(2)画出函数h＝f(t)，t∈[0，12]的图像．
21．(本小题满分12分)函数f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω>0，0<φ<π)的图像两相邻对称轴之间的距离是.若将f(x)的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对应的函数g(x)为奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)图像的对称轴及f(x)的单调区间；
(3)若对任意x∈，f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．∵4在第三象限，∴sin 4<0，∵7在第一象限，
∴tan 7>0，∴sin 4·tan 7<0，故选B.
答案：B
2．当2x－＝kπ(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以是该函数图像的一个对称中心．
答案：A
3．1＋sin θcos θ＝
＝＝＝.
答案：B
4．当sin x，y＝2sin x．故选D.
答案：D
5．∵cos (α－7π)＝cos (7π－α)＝cos (π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.
∴sin (3π＋α)tan ＝sin (π＋α)＝sin αtan ＝sin α·＝sin α·＝cos α＝.
答案：C
6．C，D中函数的周期为π.y＝cos ＝－sin 2x在上是增函数，y＝sin ＝cos 2x在上是减函数，故选D.
答案：D
7．由已知可得2sin A cos A＝－，所以(cos A－sin A)2＝1－2sin A cos A＝.故cos A－sin A＝.又cos A＋sin A＝－，所以cos A＝，sin A＝－.
所以tan A＝－.
答案：C
8．由等式f(a－x)＝f(b＋x)可判断函数f(x)的对称轴是x＝，再由正弦型函数对称轴的性质可得f(x)＝A sin (ωx＋φ)在对称轴上取得最大值或最小值，所以f＝±A.
答案：C
9．选项A：－终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；
选项B：设扇形的半径为r，r＝π，∴r＝3，
扇形面积为×3×π＝，所以B正确；
选项C：角α的终边过点P，根据三角函数定义，
cos α＝－，所以C正确；
选项D：角α为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以D不正确．
故选BC.
答案：BC
10．因为将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图像向左平移个单位，所得图像与原图像重合，
所以是已知函数的周期的整数倍，
即k·＝(k∈N*)，解得ω＝4k(k∈N*).
答案：ACD
11．因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
－≤x－≤－，即－≤x－≤，
所以当x－＝－，即x＝0时，y＝2sin (0≤x≤9)有最小值2sin ＝－，
当x－＝，即x＝5时，
y＝2sin (0≤x≤9)有最大值2sin ＝2.
答案：AC
12．因为f(x)＝cos 的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos 图像的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，
所以y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos ，令x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos 的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)，
所以是f(x)的单调递减区间，
是f(x)的单调递增区间，D项错误．
答案：ABC
13.原式＝
＝＝tan θ.
答案：tan θ
14．由图可知A＝2，＝－，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z).
又因为－<φ<，所以φ＝.
因此A＋ω＋φ＝3＋.
答案：3＋
15．函数f(x)＝－2tan x＋m有零点，即方程2tan x＝m有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]，
∴m∈[－2，2].
答案：[－2，2]
16．f(x)＝a tan x＋b cos x为偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即a tan (－x)＋b cos (－x)＝a tan x＋b cos x，即2a tan x＝0，故a＝0，①正确；当x＝2kπ＋，k∈Z时，y＝cos ＝cos ＝，显然不是最大值，②不正确；当x＝－时，y＝4cos ＝4cos (－π)＝－4，显然取得最小值，故x＝－是该函数的图像的一条对称轴，③正确；令－2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，故对称中心为，k∈Z，④不正确．
答案：①③
17．(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，故tan α＝.
(2)＝
＝＝＝4.
18．(1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin ＋1.
(2)∵f＝2sin ＋1＝2，
∴sin ＝，
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，解得α＝.
19．(1)∵f(x)＝cos (2x－φ)，且函数图像过点，
∴＝cos ，即cos ＝1，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos ，将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)＝cos 的图像．
∵x∈，∴4x－∈，
故－≤cos ≤1.
∴y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.
20．(1)如图1，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x，y)，则h＝y＋0.5.
设∠OO1A＝θ，则cos θ＝，y＝－2cos θ＋2.
又θ＝·t，即θ＝t，∴y＝－2cos t＋2，
故h＝f(t)＝－2cos t＋2.5.
(2)函数h＝－2cos t＋2.5，t∈[0，12]的图像如图2所示．
21．(1)由f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x
＝1－2a－2a cosx－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2a cosx－(2a＋1)
＝2－－2a－1.
这里－1≤cos x≤1.
①当－1≤≤1时，
f(x)min＝g(a)＝－－2a－1；
②当>1，cos x＝1时，
f(x)min＝g(a)＝1－4a；
③当<－1，cos x＝－1时，f(x)min＝g(a)＝1.
因此，g(a)＝－2≤a≤2.
(2)g(a)＝，
①若a>2，则有1－4a＝，得a＝，矛盾；
②若－2≤a≤2，则有－－2a－1＝，
即a2＋4a＋3＝0，
∴a＝－1或a＝－3(舍)，
∴g(a)＝时，a＝－1.
此时，f(x)＝2＋，
当cos x＝1时，f(x)取得最大值5.
22．(1)因为＝2×，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin (2x＋φ)－b.
又因为g(x)＝sin －b＋为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝，b＝，
所以f(x)＝sin －.
(2)解2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z；
解－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；
解＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)图像的对称轴为直线x＝＋，k∈Z.
函数f(x)的增区间为(k∈Z)，减区间为(k∈Z).
(3)因为x∈，得－≤f(x)≤1－，
所以－1－≤f(x)－1≤－.
f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0恒成立，即m≤＋f(x)－1恒成立．
由－1－≤f(x)－1≤－，得≤＋f(x)－1≤－，所以m≤，
即m的取值范围是.