广东省惠阳一中实验学校2013届高三9月月考数学（理）试题

考试注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号、试室号、班别、座位号填写在答题卷上．
2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合的值为 （ ）
A．1或－1或0 B．－1 C．1或－1 D．0
2、命题：“若，则”的逆否命题是 （ ）
A．若，则，或 B．若，则
C．若，或，则 D．若，或，则
3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数为实数
的概率为 （ ）
A. 3 B. C. D.
4、已知向量，则 （ ）
A. B. C. D.
5、已知数列{}满足，且，则
的值是 （ ）
A． B． C． D．
6、过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7、若定义在R上的偶函数满足且 ( http: / / www. / )时,则方程的零点个数是 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 多于4个
8、若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是 （ ）
A． B． C． D．
二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9－13题）
9、某射手射击所得环数的分布列如下：
7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知的期望，则y的值为 ．
10、曲线与直线围成的图形面积为
11、执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ．
12、已知a，b， c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=
13、已知（其中，O是坐标原点）,若A、B、C三点共线，则的最小值为 。
（二）选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.
14、在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标
方程为 。
15、如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，
弦⊥于点，，，则 .。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数是的导函数．
（1）若，求的值．
（2）求函数()的单调增区间。
18.（本题满分14分）
如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．
⑴求证：；
⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．
⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
19．（本小题满分14分）
已知数列中，
(1)求证：数列是等比数列；
（2）设，求证：数列的前项和．
（3）比较与的大小（）。
20.（本小题满分14分）
已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足
(为坐标原点),记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程.
21．（本题满分14分）
设函数，且，其中是自然对数的底数.
（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的
取值范围.
参考答案
16．解(1) 由已知得，……………………2分
若，则，
得。 4分
。 6分
(2)
……………………8分
由 10分
又 12分
18．（本题满分14分）
⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，
∴，．
∴平面，
∵平面，
∴
⑵当为中点，即时，平面，理由如下：
连结，由为中点，为中点，知，
而平面，平面，
故平面．
⑶作于，连结，
∵面，四边形是正方形，
∴，
又∵，，∴，
∴，且，
∴是二面角的平面角，
即，
另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方形的边长为，则，，，，，，，．
⑴，，
∴
⑵要使平面，只需，而，
由可得，解得，，
∴，∴
故当时，平面
设平面的一个法向量为，
则，而，，
∴，取，得，
同理可得平面的一个法向量
设所成的角为，则，
即，∴，∴
∵面，∴就是与底面所成的角，
∴．
故 6分
…8分
10分
（3）当n=1时， 11分
当时， 13分
综上所述： 14分
20.（本小题满分14分）
解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵, ∴.
当时,得,化简得. …… 2分
当时, 、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为. …… 4分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立.此时. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
解法2：由，得， …… 5分
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得. …… 6分
点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立,此时. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
21．（本题满分14分）
解：（1）由题意得
而，所以、的关系为
（2）由（1）知，
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.
①当时，，
因为＞，所以＜0，＜0，
∴在内是单调递减函数，即适合题意；
②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，
∴，
只需，即，
∴在内为单调递增函数，故适合题意.
③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）∵在上是减函数，
∴时，；时，，即，
①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；
②当0＜＜1时，由，
又由（2）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意；
第15题