江苏省无锡市洛社高级中学2013届高三10月月考数学（理）试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
（1）已知集合, , 若, 则整数= ▲
（2） 函数的定义域为 ▲
（3）最小值与最大值的和= ▲ .
（4）在平面直角坐标系中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 ▲ .
（5）直线是曲线的一条切线，则实数 ▲ 。
（6）a＝1”是“函数f(x)＝在其定义域上为奇函数”的____ ▲ ___条件．
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
（7）.已知正△ABC的边长为1，, 则= ▲
（8）已知，为常数，且的最大值为，则= ▲
（9）．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，
且函数在上是增函数，则a＝ ▲.
（10）．若tan＝3tan，且0≤＜＜，则－的最大值为 ▲ ．
（11）已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴
之间的距离等于，则= ▲ .
(12)．问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，
考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一
解.仿照此解法可得到不等式：的解是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 （本小题满分14分）
已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．
（1）若a∥b，求sin2θ的值；
（2）若a⊥b，求tan(θ＋)的值．
16．（本小题满分14分）已知、,向量。
（1）当时，若，求的取值范围；
（2）若对任意实数恒成立，求的取值范围。
17、 (本小题满分14分) 设的内角的对边长分别为, 且.
求证: ；
若, 求角的大小.
18、(本小题满分16分)设二次函数在区间上的最大值、最小值分别为M、m，集合A
（1）若，求的值
（2）若，，记，若，求a的值
20 （本小题满分16分）
已知函数f（x）= QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，x其中a>0.
（I）求函数f(x)的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数f（x）在区间 （上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间 上的最小值。
2013届高三理科学情调研卷
数学试卷评分答案
一 填空题
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0， …………………3分
即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝． …………………6分
（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0． …………………8分
所以tanθ＝－． …………………10分
所以tan(θ＋)＝eq \F(tanθ＋tan,1－tanθtan)＝． …………………14分
16
17、 ……… ………………3分
, 所以…………………… ………… 6分
(2)因为,
所以…………9分
又由,得,
所以………………12分
由(1),得…………………………………14分
18、解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax2+（b-1）x+c=0的两实根．
∴ ，解得a=1，b=-2 4分
∴f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）min=f（1）=1，即m=1；
当x=-2时，f（x）max=f（-2）=10，即M=10． M＋m=11 7分
则g（a）=M+m= 14分
g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，∴a=2 16分
19．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分16分．
解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝，A′E＝x，
所以EF＝，A′F＝ ．
由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝，
所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋＋＝3．
所以x＝，(0，) ………………… 6分
（2）S△A′EF＝ A′E A′F＝ x ＝
＝()2 ＝． ………………… 9分
令t＝sin＋cos，则sincos＝．
因为(0，)，所以＋(，)，所以t＝sin(＋)(1，]．
S△A′EF＝＝(1－)≤(1－eq \f(2,＋1))．正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积 S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－eq \f(2,＋1))＝18(－1)． 当t＝，即＝时等号成立． ………………… 15分
答：当＝时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，
最小值为18(－1) ………… 16分