第二章 有理数学案

2.1生活中的正数和负数
山东省单县终兴中学 编写人 吴吉杰
一学习目标：
1了解生活中的具有相反意义的量，理解为了区别具有相反意义量，把其中一种意义量规定为正，把与它相反意义的量规定为负。
2会用正数和负数表示生活中的具有相反意义量。
3理解有理数的意义，并会给有理数分类。
二知识回顾：
回顾小学学过的整数，小数的意义。
三导学探究：
探究1生活中的整数和负数
（1）电冰箱的说明书上写着：使用时，冷藏室的 温度是＋20C，冷冻室的温度 是－180C，＋20C是 ；－180C是 ；零上和零下是 。
（2）上海市1993年人口自然增长率为＋0.054%，1994年为－0.080%，增长率为＋0.054%是 ；增长率为－0.080%是 ，增加和减少是
（3）北京与东京的时差（单位：时）为＋1，与巴黎的时差为－7，这里的＋1和－7的含义是什么？
（4）你在生活中还见过哪些带有“＋”或“－”的数？与同学交流。
（5）归纳：生活中有不少具有相反意义量，为了区别具有相反意义量，我们把其中一种意义的量规定为“＋”，把与它具有相反意义量规定为“－”
探究2整数和负数的意义。
像＋2，＋0.054%，＋1，＋50这样的数叫做正数，分别读作正2，正0.054%，正1，正50；像－18，－0.080%，－7，－10这样带有负号的数叫做负数，分别读作负18，负0.080%，负7，负10；正数前面的正号“＋”可以省略不写，
零既不是整数也不是负数。
探究3正整数、零和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
例1用正数和负数表示
中国人名银行2003年8月14日公布：我国企业用电价较上月下降了0.4%，较上年同期上升了0.6%。
在学校乒乓球选拔赛 中，小亮赢了4局，小莹输了3局。
例2说出下表中正数和负数的含义。
产品名称 年增长率/%
粮食 1.0
夏粮 －2.9
早稻 －11.0
秋粮 3.5
油料 1.2
油菜籽 －7.1
例3下列各数哪些是正数？哪些是负数？哪些是负正数？哪些是负分数？
＋5－7，，－，＋5.2,89，－，，－1.5，－100
练一练：
1用正、负数表示下列问题中的数据：
水文站在记录水位变化时，讲水位上升记为正，水上升2.5米记作
水位下降1.8米记作 ；水位不升也不降记作 。
（2）如果收入为正，那么某人月收入1200元记作 ；月支出800元记作
（3）如果弹簧伸长为正，那么弹簧伸长3厘米记作 ；缩短2厘米记作
。
如果物价上升为正，那么2003年7月原物价较上月下降0.4%记作
较上年同期上升9.6%记作 。
2把下列各数分别填写在合适的括号内：
－8，10.5，－，0,13，－0.5，6
整数：
分数：
负数：
四当堂达标：
1下面结论中错误的是 （ ）
A 负分数都是负有理数 B 分数中除了正分数就是负分数
C 有理数中除了正数就是负数 D 零是整数但不是正数
2既是分数又是负数的是 （ ）
A ＋3 B －， C 0 D －2
3下面说法正确的是（ ）
A 零是正整数 B 零是负整数 C 零是整数 D以上答案都不对
4 和 统称为有理数；高度下降5米记作－5米，那么高度上升3米记作 ，不升也不降记作 。
5孔子出生于公元前551米，如果公元前551年记作－551年，则李白出生于公元701年记作 。
五能力提升：
1一撞大楼地面上有12层，还有地下室两层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么第二层记为 ；地下第一层记为
数＋9的实际意义为
2在某项科学研究中，以45分钟一个计时单位，并规定每天上午10:00记为0,10：00记为负，10:00以后记为正，例如，9:15记为－1，10:45记为＋1等等，依次类推，上午7:45应记作什么？下午14:30应记作什么？
3某闹钟的说明书上分别写有：A型：“一昼夜误差不超过±12秒”；B型：“一昼夜误差不超过±10秒”。你认为哪种型号的闹钟更准确些？为什么？
4所有负数组成负数集合，所有分数组成分数集合，下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请分别在每个圈内填入6个是数，其中3个既是负数又是分数，这3个数用填在哪里？你能说出两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？
作业：
1用正、负数表示下列问题中的数据：
节约10立方米水，浪费0.5立方米水；
向油罐里注入4吨，放出汽油1.8吨；
南极大陆中某地的年平均气温为零下560C，某地的气温曾达到零下88.30C；
北京市高出海平面52.3米，吐鲁番盆地低于海平面155米。
2下列各数，哪些是正数？哪些是负分数？
10.1，－，86，0，－0.67，－7，，－0.5, 12%
3一袋洗衣粉的质量比标准质量多3克，记作＋3克，那么－4克表示什么意义？
4一个点在水平直线上移动，如果规定向右移动为正，那么
该点向右移动3厘米，应记作什么？
该点向左移动5厘米应记作什么？
“－3.5厘米”是什么含义？
“0厘米”是什么含义？
2.2数轴
山东省单县终兴中学 编写人 吴吉杰
一学习目标：
1理解数轴的概念，并会正确画数轴。
2给出一个数会用数轴上的点表示；给出数轴上的一个的点，会读出这个点表示的数。
二知识回顾：
1为了区别具有 ，我们把其中一种意义的量规定为“＋”，把与它具有相反意义量规定为“－”
2零既不是 。
3 统称为整数， 统称为分数， 统称为有理数。
三自主预习：
叫数轴
四导学探究：
探究1数轴的定义：
你会看温度计吗？你能读出温度计上的温度吗？
你能在右图温度计上找到00C和－130C的位置吗？
画一条水平的直线，在直线上任取一点作为原点，用这个点表示0；选取适当的长度作为单位长度；规定向右的方向为正方向（如图所示）
你能用这条直线上的点表示＋3和－2.5，吗 与同学交流
像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。
探究2
例1画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
2，－1.5,0,3.5，－4
练一练：
1指出下列图中数轴上的点A，B，C，D，E分别表示的有理数：
2画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
―3,2.5，0，―，＋4，―2
3在数轴上，
原点右边距原点3个单位长度的点表示那个数？
原点左边距原点3.5个单位长度的点表示那个数？
原点右边距原点个单位长度的点表示那个数？
原点表示那个数？
五当堂达标：
1如图表示数轴的是 （ ）
A B
C D
2在数轴上表示－2.5与3.5的两点之间，表示整数的点的个数是（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
3数轴上表示－6的点在原点 边，距离原点 个单位长度；表示＋6的点在原点的 边，距离原点 个单位长度。
4在数轴上有A，B两点，A点在原点的左边，而且距离原点4个单位长度，则A点表示的数是 ；B点在原点 的右边，而且B，A的距离为10个单位长度，则B点表示的数是
5零不是（ ）
A 非负数 B 有理数 C 自然数 D 整数
6下列叙述正确的是 （ ）
A 存在最小的有理数 B 存在最小的正整数
C 存在最小的整数 D 存在最小的分数
7下列说法错误的是（ ）
A 一个有理数不是正数，那么一定是负数
B 如果前进 10米记作＋10米，那么后退3米记作－3米
C 0是有理数，也是整数，也是自然数
D ―是负分数
8最小的自然数是 ，最小的非负数是 ，最大的非正数是
最大的负整数 是
六能力提升：
9数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一个厂为2000厘米的线段AB则线段AB盖住的整点有（ ）个
A 1998或1999 B 1999或2000 C 2000或2001 D 2001或2002
10在数轴上一个点到2的距离是3，求这个点表示的 数
11画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
＋3，―2，―，0，―，＋5，－4.5
12在5题所给出的数中，
哪些是正数？在数轴上表示这些正数点都在原点的哪一边？哪些是负数？在数轴上表示负数的点都在原点的哪一边？
在数轴上表示这些数的点中，距离原点最近的点表示的数是哪个？距离原点最远的点表示的数是哪一个？
七作业：
1画出数轴，并在数轴上用点表示下列各数：
（1）―6，5,0，―3,3
（2）―5，,2.5，―1,2.5,1.5
2下列说法是否正确？为什么？
在数轴上，与原点的距离越大的点表示的数越大；
原点及原点右边的点表示的数都是正数；
3有理数中有没有最大的数？有没有最小的数？0是最小的有理数吗？
2.2数轴（有理数的大小比较）
山东省单县终兴中学 编写人 吴吉杰
一学习目标：
1掌握在数轴上，右边的点表示的数比左边 的点表示的数大。
2掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。
3会正确而熟练地比较几个有理数的大小。
二知识回顾：
叫数轴。
三自主预习：
1在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数
2正数都 ，负数都 ，正数大于
四导学探究：
探究1
北京、哈尔滨、济南、上海、拉萨、乌鲁木齐、重庆、广州、台北某天的最低气温分别是－80C、－190C、－20C、00C、－60C、－130C、7、100C、150C
将这些气温按从低到高的顺序排列起来，依次是
这也是有理数－8、－19、－2、0、－6、－13、7、10、15的大小顺序。
你能在数轴上表示出上述各数吗？
你有什么发现？与同学交流
归纳：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
探究2
再观察数轴，看一看正数与0谁大？负数与0谁大？正数与负数谁大？与同学交流
归纳：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
例1比较下列各组数的大小，并用“＜”把他们连接起来：
（1）3，－5，0
（2）－1.5，0，－4，－，1，2
例2比较下列有理数的大小
（1）0.01,与0， （2）3与0 （3）－4与0 （4）1与－1
练一练：
1判断下列各式是否正确，如果不正确，把它们改正过来
（1）－0.001＞0； （2）3＞－2； （3）－3005＞－20
（4）0＞2； （5）－＜－1；（6）＜－
2比较下列各组数的大小，并用“＜”把他们连接起来：
－2；（2）－3.2，－2.3 （3）0，－3，；
（4）－3，－5，3
五当堂达标：
1下列各式中正确的是（ ）
A －6 ＜－8 B －＞0 C －＜－ D ＜0.3
2下列结论中正确的是（ ）
A 0比一切负数都大 B 在整数0中1最小 C 若有理数a，b满足a＞b，则a一定是负数，b一定是正数 D 0既是正数，也是负数
3水结冰的温度是00C，酒精凝固的温度是－1140C，水银凝固的温度 是－390C，
这些物质中，凝固温度最高的是 ，凝固温度最低的是
4任意写出两个大于－1且小于1的两个正分数 ；两个负分数
5比较下列各组中两个有理数的大小：
（1）－5和－2； （2）－4和＋3；
（3）－1.2和0 （4）－和－
6分别画出数轴，并在数轴上找出符合条件的点：
大于－4的所有负整数表示的点；
小于5.6的所有正整数表示的点；
比－2.3大且比小的整数表示的点；
7数轴上A，B，C，D表示的数分别是－3，－1.5,2,3.5，回答下列问题：
画出数轴，并在数轴上标出A，B，C，D；
将A，B，C，D所表示的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来。
若将原点改在C点，其余各点表示的数分别是多少？将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来。
（4）改变原点位置后，点A，B，C，D所表示的数的大小顺序改变了吗？这说明了关于数轴的什么性质？
六能力提升：
8如图所示，有理数a，b，c在数轴上分别用点A，B，C表示，根据数轴填空：
（1）a 0，b 0，c 1，（从“＜”“＞”或“＝”中选填一个）
（2）将a，b，c按从小到大的顺序用“＜”连接起来，得
9若a为有理数，则a与－a的大小关系是（ ）
A a＞－a B a＜－a C a＝－a D 不一定
10当a 0时，a＜－a；当a 0时，a＞－a；当a 0时，a＝－a。
11若x是不小于－2又不大于5的数，则可表示为
已知m为整数，且－3＜m＜3，则m可为
七作业：
1画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并按照从小到大的顺序，把它们用“＜”连接起来：
（1），3，－，0，－1.5，
2比较下列各组数的大小：
（1）－，；（2）－1.5，－0.5；（3）－5，2，－3.7；（4）0，－2.1,1.5
2.3相反数与绝对值
山东省单县终兴中学，编写人 吴吉杰
一学习目标：
1理解相反数的意义，会求一个数的相反数。
2理解绝对值的意义及表示方法，会求一个数 的绝对值。
3会比较两个负数的大小。
二知识回顾：
1在数轴上
2正数都 零；负数都 零；正数 一切负数。
三自主预习：
1像－4与4，－2.5与2.5等这样只有 不同的两个数，叫做 ，其中一个数是另一个数的相反数。零的相反数是零。
2在数轴上，表示互为相反数的两个点分别在 ，并且到原点的距离 。
3在数轴上，表示一个数的点到原点的 叫做这个数 的绝对值。
通常把有理数a的绝对值记作
4正数的绝对值是 ；负数的绝对值 ；零的绝对值是
5互为相反数的两个数的绝对值
6两个负数绝对值大的反而
四导学探究：－
探究1 数－4与4有什么相同点和不同点？2.5与－2.5呢？你还能说出几对具有这种特征的两个数吗？
像－4与4，2.5与－2.5等这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，零的相反数是零。
例1说出下列各数的相反数。
－3.5，7，－8，
探究2 把－4和它的相反数4分别在数轴上表示出来，它们与原点有怎样的位置关系？与原点的距离各是多少？
在数轴上，表示互为相反数的 两个点，分别位于原点两旁，并且到原点的距离相等。
在数轴上表示0的点与原点的距离是多少？
探究3 在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记做︱a︱
例如4的绝对值记做︱4︱，︱4︱＝4；－2.5的绝对值记做
︱－2.5︱，︱－2.5︱＝2.5
例2说出－3.5，7，－8，，0的绝对值是多少？
通过例2你发现一个数的绝对值与这个数之间有什么关系？
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0。
当a＞0时，︱a︱＝a；当a＜0时，︱a︱＝－a；当a＝0时，
︱a︱＝0
探究4 想一想－4的绝对值是多少？4的绝对值呢？它们有什么关系？你有什么发现？
互为相反数的两个数的绝对值相等。
探究5 －4与－2.5那个数大？－8与－3.5呢？你发现两个负数的大小与它们绝对值有什么关系？你有什么发现？
两个负数绝对值大的反而小。
例3比较－与－的大小
挑战自我
有没有绝对值最大的有理数？有没有绝对值最小的有理数？
一个数的相反数是最大的负整数，这个数是多少？一个数的绝对值是最小的正整数，这个 数 多少？
练一练：见课本38页
五当堂达标：
1下列各数中相反数等于5的数是 （ ）
A －5 B 5 C － D
2（1）－的相反数是
（2）的相反数是
（3）a的相反数是
（4） 的相反数等于它本身
3请写出一对互为相反的数 和
－3的绝对值是
下列说法错误的是 （ ）
A任何有理数的绝对值都是非负数
B 如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数相等
C互为相反数的两个数的绝对值相等
D数轴正半轴上距原点5个单位长度的点表示的数是5
6若︱a︱＝2，︱b︱＝3,则 （ ）
A a＞b B a＜b C a＝b D 不能确定
7 ︱0︱＝ ；︱－︱＝ ；－（－8）＝
－︱－8︱＝
8已知︱a＋5︱＋︱b－2︱＝0，求a和b的值
9当a＝1时，︱a－3︱的值为 （ ）
A 4 B －4 C 2 D －2
10 下列说法正确的是 （ ）
A 任何有理数都有相反数 B 与－0.125不是互为相反数
C 正数和负数互为相反数 D －（－2）是负数
11已知︱a－3︱＝1，则a等于 （ ）
A 4 B 2 C 4或2 D －或－2
12 下列各式中正确的是 （ ）
A ︱－0.5︱＜0 B －︱－3︱＞0
C －＞－ D ︱＋0.4︱＞︱－0.4︱
13下列说法正确的是 （ ）
A －a一定是负数 B任何有理数都有相反数
C 符号不同的两个数互为相反数 D 任何有理数的相反数不是它本身
14填空 （1）－的绝对值是 （2）绝对值等于6的数是
（3）绝对值小于2.5的正数有 ；绝对值不大于3的非负整数有
15比较下列各组中两个有理数的大小：
（1）－ 与－ （2）－与－0.7
16已知零件的标准直径是10cm，规定超过的长度记为正，不足的长度记为负，抽查5个零件的结果如下：
＋0.01，－0.023，＋0.015，－0.004，－0.002
有理数
整数
分数
正分数
负分数
正整数
零
负整数
有理数
正有理数
零
负有理数
非负数
2
1
0
+
+
+
+
－2
－1
+
+
+
3
－3
.
.
2
1
0
+
+
+
+
－2
－1
+
+
+
3
－3
5
4
+
+
－5
－4
+
+
E
B
.
A
.
D
C
.
2
1
+
+
+
+
－2
－1
+
+
+
3
－3
+
+
+
+
-2
-1
2
1
+
0
2
1
0
+
+
+
－2
－1
+
+
+
－3
2
1
0
+
+
+
+
－2
－1
+
+
+
3
－3
+
++
+
+
+
c
1
C
B
A
0
b
a