单元测评挑战卷(一)(第一章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2021·泸州期末)已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为( )
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点(不与顶点A重合)，则∠BPC的度数可能是( )
A．55° B．70° C．110° D．130°
3．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
4．等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为( )
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝9 cm，则AB的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
6．(2021·中山期末)如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD，CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是( )
A．AD＝AB B．S△CEB＝S△ACE
C．AC，BC的垂直平分线都经过E D．图中只有一个等腰三角形
7．(2021·荆州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP
C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
8．如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④∠CAB＝∠ABD.其中正确结论的序号是( )
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF.下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°.其中正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2021·珠海期末)等腰三角形有一个内角等于110°，则它的底角等于__ __度．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，△ABC的面积等于30，则DE＝__ __．
13．(2021·天津期末)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝__ __．
14．(2020·宁夏中考)如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝__ __度．
15．(2020·北京中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是__ __(写出一个即可).
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__ __．
17．(2021·眉山中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 __ __．
18．如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD.若BD的长为2，则m的值为__ __．
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
(1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑)；
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
20.(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数．
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.
21.(8分)(2021·温州中考)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
22.(8分)如图所示，在△ABC中，BC＝8 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC.
(1)求△PDE的周长．
(2)若∠A＝50°，求∠BPC的度数．
23.(8分)如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.
(1)求证：∠DEF＝∠DFE；
(2)求证：AD垂直平分EF.
24．(10分)阅读下面的材料，并解决问题：
(1)如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数．由于PA，PB，PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP.这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；
(2)请你利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2.
PAGE单元测评挑战卷(一)(第一章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2021·泸州期末)已知等腰三角形的一边长为2，周长为8，那么它的腰长为(B)
A．2 B．3 C．2或3 D．不能确定
【解析】当腰长为2时，底边长为8－2×2＝4，三角形的三边长为2，2，4，不能构成三角形；当底边长为2时，腰长为(8－2)÷2＝3，三角形的三边长为3，3，2，能构成三角形；所以等腰三角形的腰长为3.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点(不与顶点A重合)，则∠BPC的度数可能是(C)
A．55° B．70° C．110° D．130°
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝55°，∴∠A＝180°－110°＝70°，
∵∠BPC＝∠A＋∠ACP，∴∠BPC＞70°，
∵∠B＋∠BPC＋∠PCB＝180°，∴∠BPC＜125°，∴70°＜∠BPC＜125°.
3．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是(B)
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
【解析】∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD.
4．等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为(B)
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【解析】∵等腰三角形的一个角100°，∴100°的角是顶角，
∴底角是×(180°－100°)＝40°.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝9 cm，则AB的长为(D)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
设BC＝x cm，由AB＋BC＝9 cm，得到AB＝(9－x) cm，
则BC＝AB，即x＝(9－x)，解得：x＝3.则AB＝2BC＝2x＝6 cm.
6．(2021·中山期末)如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD，CE分别是△ABC的高和中线，下列说法错误的是(D)
A．AD＝AB B．S△CEB＝S△ACE
C．AC，BC的垂直平分线都经过E D．图中只有一个等腰三角形
【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，
∴AC＝AB，AD＝AC，
∴AD＝AB，故A正确；
∵CE是△ABC的中线，∴S△BCE＝S△ACE，故B正确；
∵CE＝AE＝BE＝AB，∴AC，BC的垂直平分线都经过E，故C正确；
∴△ACE和△BCE是等腰三角形，故D错误．
7．(2021·荆州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是(D)
A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP
C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A
【解析】由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，故选项A正确；∴∠A＝∠ACD＝40°，
由作图可知，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确；
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－40°)＝70°，
∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB－∠ACD＝30°，
∴∠BPC＝180°－35°－30°＝115°，故选项C正确；
若∠PBC＝∠A，则∠A＝35°，显然不符合题意，故选项D错误．
8．如图，AC＝BC，AD＝BD，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：①△ACD≌△BCD；②AO＝BO；③AB⊥CD；④∠CAB＝∠ABD.其中正确结论的序号是(B)
A．①②③④ B．①②③
C．①②④ D．②③④
【解析】在△ACD和△BCD中，，
∴△ACD≌△BCD(SSS)，故①正确；
∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD垂直平分AB，∴AO＝BO，AB⊥CD，故②③正确；
由已知和图形无法判断∠CAB＝∠ABD，故④错误．
9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF.下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°.其中正确结论的个数有(C)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N.
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确；
∵∠DOF＝∠AOE，∠BDA＝∠AEC，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确；
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴FA平分∠EFB，
∵BD⊥EC，∴∠EFB＝90°，
∴∠AFE＝45°，故④正确；
若③成立，则∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，而AB与AD不一定相等，故③错误．
10．如图所示，直线m，n交于点B，m，n的夹角为50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】∵△ABC为等腰三角形，∴分三种情况：
①当以∠C为顶角时，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，可知满足条件；
②当以∠A为顶角时，则有AC＝AB，由两直线夹角为50°，可知此时点C只能在直线m的上方，有一个点；
③当以∠B为顶角时，则有AB＝CB，此时点C可以在直线m的上方，也可以在直线m的下方，有两个点，
综上可知满足条件的C点有4个．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2021·珠海期末)等腰三角形有一个内角等于110°，则它的底角等于__35__度．
【解析】∵等腰三角形的一个内角等于110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°.
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，若AB＝18，AC＝12，△ABC的面积等于30，则DE＝__2__．
【解析】
过点D作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，
∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，∴×DE×18＋×DF×12＝30，即9DE＋6DE＝30，∴DE＝2.
13．(2021·天津期末)如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝5，则OA＝__10__．
【解析】
作OE⊥AB交AB于E，∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，∴OE＝OH＝5，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，∴∠BAO＝30°，∴AO＝2OE＝10.
14．(2020·宁夏中考)如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝__32__度．
【解析】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∴∠A＝∠ABD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，且∠C＝84°，
∴∠A＋2∠ABD＝180°－∠C，即3∠A＝180°－84°，∴∠A＝32°.
15．(2020·北京中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是__BD＝CD__(写出一个即可).
【解析】∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__PB2＋AP2＝2CP2__．
【解析】如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵△PCQ是等腰直角三角形，∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°＝∠ACB，PQ2＝2CP2，∴∠ACP＝∠BCQ，
又∵AC＝BC，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴∠CAP＝∠CBQ＝45°，AP＝BQ，
∴∠ABQ＝90°，∴PB2＋BQ2＝PQ2，∴PB2＋AP2＝2CP2.
17．(2021·眉山中考)如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 ____．
【解析】如图所示：连接EC，由作图方法可得：MN垂直平分AC，则AE＝EC，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
设DE＝x，则AE＝EC＝4－x，
在Rt△EDC中，DE2＋DC2＝EC2，即x2＋32＝(4－x)2，
解得：x＝，故DE的长为.
18．如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连接BD.若BD的长为2，则m的值为__2或2__．
【解析】
由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝，当点D，B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
当点D，B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2，∴D′E＝3，
∴AD′＝＝2，∴m＝2，
综上所述，m的值为2或2.
三、解答题(共46分)
19.(6分)如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.
(1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑)；
(2)求证：△BCD是等腰三角形．
【解析】(1)如图，点D为所作；
(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－36°)＝72°，
∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．
20.(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数．
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.
【解析】(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°；
(2)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE.
21.(8分)(2021·温州中考)如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【解析】(1)∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；
(2)∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.
∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°.
22.(8分)如图所示，在△ABC中，BC＝8 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC.
(1)求△PDE的周长．
(2)若∠A＝50°，求∠BPC的度数．
【解析】(1)∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝8 cm.
(2)∵∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°，∠ABC＋∠ACB＝65°，
∵∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC＋∠PCB＝65°，∴∠BPC＝180°－65°＝115°.
23.(8分)如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.
(1)求证：∠DEF＝∠DFE；
(2)求证：AD垂直平分EF.
【证明】(1)∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE；
(2)根据已知条件可得∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴∠ADE＝∠ADF；
在△DEO和△DFO中，，
∴△DEO≌△DFO，∴EO＝FO，∠EOD＝∠FOD，
∵∠EOD＋∠FOD＝180°，∴∠EOD＝∠FOD＝90°，∴AD垂直平分EF.
24．(10分)阅读下面的材料，并解决问题：
(1)如图①，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数．由于PA，PB，PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP.这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；
(2)请你利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋FC2.
【解析】(1)由旋转的性质可得：△ACP＇≌△ABP；连接PP′，如图所示：
∴AP＝AP′＝3，PC＝5，BP＝CP′＝4，∠BAP＝∠CAP′，∠AP′C＝∠APB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，即∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAC＋∠CAP′＝60°，即∠PAP′＝60°，
∴△PAP′是等边三角形，
∴∠AP′P＝60°，AP＝PP′＝3，
∴PP′2＋P′C2＝32＋42＝25＝PC2，
∴△PP′C是直角三角形，即∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝150°；
(2)把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，如图所示：
由旋转的性质可得：CD＝BE，∠EAD＝90°，AE＝AD，∠B＝∠ACD，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，
∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠DAF＝45°，
在△AEF和△ADF中，，
∴△AEF≌△ADF(SAS)，∴DF＝EF，
在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2＝BE2＋CF2，
∴EF2＝BE2＋CF2.
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