2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.1圆 辅导训练 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.1圆》优生辅导训练（附答案）
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若OB＝DE，∠E＝26°，则∠AOC是（　　）
A．52° B．62° C．72° D．78°
2．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．点M，N是⊙O上两点，已知OM＝3cm，那么一定有（　　）
A．MN＞6cm B．MN＝6cm C．MN≤6cm D．MN＜6cm
4．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．
5．已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
6．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？
7．已知半径为5的⊙O，点A是⊙O内的一点（点A与O不重合），过点A且不过点O的直线与⊙O交于B，C两点，连接OB，OC，过A作OC的平行线交OB于点D．
（1）请正确画出示意图；
（2）证明：OD+DA为定值．
8．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．
9．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．
求证：AF＝BE．
10．如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF．
11．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC．求证：BA＝BC．
12．如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
13．如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC＝BD，OA与OB相等吗？为什么？
14．如图，在⊙O中，AB为弦，C、D在AB上，且AC＝BD，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由．
15．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上非直径的弦，判断AB与CD之间的数量关系，并说明理由．
16．如图，两个圆的圆心为O，大圆半径OC，OD交小圆于点A，B，判断AB与CD的位置关系，并说明原因．
17．已知MN为直径，ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径．
18．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC＝CD＝DB，求证：∠AOC＝∠DOB．
19．如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
20．如图，点P（x，y）在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上，若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．
如图，墙AB与墙AC垂直，在地面的P处有一木柱，系着一匹马，已知系马的绳子的长度为4m，试在图中画出马的活动区域．
22．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A、B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线AB上的一个动点（与O不重合），直线PC与⊙O相交于点Q，问：点P在直线AB的什么位置上时，QP＝QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数．
23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，求的度数．
24．如图，已知AB、AC是⊙O的弦，AD平分∠BAC交⊙O于D，弦DE∥AB交AC于P，求证：OP平分∠APD．
参考答案
1．解：连接OD，如图，
∵OD＝OB＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝26°，
∴∠ODC＝∠DOE+∠E＝26°+26°＝52°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝52°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝52°+26°＝78°．
故选：D．
2．解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，
∴OB＝＝＝6，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
3．解：∵M、N是⊙O上两点，OM＝3cm，
∴圆的半径为3cm，圆的直径为6cm，
∴MN≤6cm．
故选：C．
4．证明：连接ME、MD，
∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
5．解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，
∴AO＝BO，
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，
在△OCB和△ODA中，
，
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
6．解：AC与BD相等．理由如下：
连接OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，
∴AC＝BD．
7．解：（1）如图所示：
（2）∵AD∥OC，
∴△ABD∽△CBO，
∴，
∵OB＝OC＝5，
∴，
可得：OD+DA＝5，
即OD+DA为定值．
8．解：连接OD，
∵OC＝OD，∠C＝40°，
∴∠ODC＝∠C＝40°，
∵AB＝2DE，OD＝AB，
∴OD＝DE，
∵∠ODC是△DOE的外角，
∴∠E＝∠EOD＝∠ODC＝20°，
∵∠AOC是△COE的外角，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．
9．解：∵AB、CD为⊙O中两条直径，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∵CE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴AF＝BE．
10．证明：∵在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵OB＝OC
∴CE＝BF．
11．证明：连OA、OC，如图，
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAO＝∠BCO，
∴△OAB≌△OCB，
∴AB＝BC．
12．解：设∠B＝x，
∵BD＝OD，
∴∠DOB＝∠B＝x，
∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2x，
∵∠AOC＝∠A+∠B，
∴2x+x＝114°，解得x＝38°，
∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．
13．答：OA＝OB．
理由如下：
如图，过O作OE⊥AB于E，
∵CD是⊙O的弦，OE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵AC＝BD，
∴AE＝BE，
∵OE⊥CD，
∴OA＝OB．
14．解：等腰三角形有：△OAB、△OCD．
证明：∵OA＝OB（同圆半径相等），
∴△OAB是等腰三角形，
∴∠A＝∠B，
又∵AC＝BD，OA＝OB，
∴△OAC≌△OBD，
∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰三角形．
15．解：AB＞CD，
因为AB是圆的直径，长度大于所有的非直径的弦．
16．解：AB∥CD．
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，
∴∠OAB＝（180°﹣∠O），∠OCD＝（180°﹣∠O），
∴∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD．
17．解：连接OC、OF，
设AD＝2x，
∵CO2＝DO2+CD2，
∴x2+（2x）2＝r2，
∵OF2＝OG2+FG2，
∴r2＝（x+4）2+42＝x2+8x+32，
∴x2+（2x）2＝x2+8x+32，
解得：x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
∴r2＝5×42，
r＝4．
18．证明：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠AOC＝∠DOB．
19．证明：取AB的中点O，连接OC，OD，
∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°
∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OB＝OC＝OD．
∴A、B、C、D四点在同一个圆上．
20．解：分为两种情况：
①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（﹣5，0），（0，﹣5）；
②若这个点在象限内，
∵52＝42+32，而P都是整数点，
∴这样的点有8个，分别是（3，4），（﹣3，4），（3，﹣4），（﹣3，﹣4），（4，3）（﹣4，3），（4，﹣3 ），（﹣4，﹣3），
∴这些点的坐标共有12个．
21．解：作法：以p为圆心，以4米长为半径画一条与两墙均相交的弧．
22．解：①根据题意，画出图①，
在△QOC中，OC＝OQ，
∴∠OQC＝∠OCQ，
在△OPQ中，QP＝QO，
∴∠QOP＝∠QPO，
又∵∠QPO＝∠OCQ+∠AOC，∠AOC＝30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，
∴3∠OCP＝120°，
∴∠OCP＝40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图②）
∵OC＝OQ，∴∠OQP＝①，
∵OQ＝PQ，
∴∠OPQ＝②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，
把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°
∴∠OCP＝100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图③），
∵OC＝OQ，
∴∠OCP＝∠OQC＝①，
∵OQ＝PQ，
∴∠P＝②，
∵∠AOC＝30°，
∴∠COQ+∠POQ＝150°③，
∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，
①②③④联立得
∠P＝10°，
综上所述，∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°．
23．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°
∴∠A＝90°﹣∠B＝65度．
∵CA＝CD
∴∠CDA＝∠CAD＝65°
∴∠ACD＝50°
即弧AD的度数是50度．
24．证明：作OM⊥AC于M，ON⊥DE于N，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CD弧＝BD弧，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴AE弧＝BD弧，
∴AE弧＝CD弧，
∴AE弧+EC弧＝EC弧+CD弧，即AC弧＝ED弧，
∴AC＝DE，
∴OM＝ON，
∴OP平分∠APD．