2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 辅导训练 （Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》优生辅导训练（附答案）
1．长度等于6的弦所对的圆心角是90°，则该圆半径为　 　．
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．③＝，④AC＝AD．其中正确的有　 　（填序号）．
3．如图的齿轮有30个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于　 　度．
4．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝　 　．
5．如图，在⊙O中，＝2，则线段AB　 　2AC（填“＞”“＜”或“＝”）．
6．如图．点A、B把⊙O分成2：7两条弧，则∠AOB＝　 　．
7．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是　 　．
8．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为　 　．
9．如图，扇形AOB的圆心角∠AOB＝90°，半径为，正方形CDEF内接于该扇形，则正方形CDEF的边长为　 　．
10．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
11．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且＝．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
12．如图，射线AM交⊙O于点B、C，射线AN交⊙O于点D、E，且＝，求证：AB＝AD．
13．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且点B是劣弧DF的中点．
（1）求证：△EBD≌△EBF；
（2）已知AE＝1，EB＝5，∠DEB＝30°，求CD的长．
14．如图，A、B是⊙O上两点，点C是弧AB的中点，∠AOB＝120°．
（1）求证：四边形OACB是菱形；
（2）延长OA至P使得OA＝AP，连接PC，PC＝，求⊙O的半径．
15．如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证：＝2．
16．如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．
17．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．
（1）求证：DE＝EC；
（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径
18．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD＝CE．
（2）求证：＝．
19．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．
20．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OB，求∠A的度数．
21．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC．求证：∠1＝∠2．
22．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
23．如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数．
24．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
参考答案
1．解：如图AB＝6，∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝＝＝6，
故答案为6．
2．解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，＝，①②③正确，
∵＝，
∴AC＝AD，④正确，
故答案为：①②③④．
3．解：相邻两齿间的圆心角α＝＝12°，
故答案为：12．
4．解：∵，∠COD＝40°，
∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．
故答案为60°．
5．解：连接BC，
∵＝2，
∴＝，
∴AC＝BC，
∵AC+BC＞AB，
∴AB＜2AC，
故答案为：＜．
6．解：∠AOB的度数＝×360°＝80°．
故答案为80°．
7．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，
过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12，
∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆
＝π OB2﹣π OC2
＝π（OB2﹣OC2）
＝πBC2
＝72π．
故答案为72π．
8．解：如图，
∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
故答案为60°．
9．解：过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OE，
设DH＝a，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，△OCD是等腰直角三角形，
∴CH＝DH＝a，
∵∠AOC＝90°，
∴CH＝OH，
∴OG＝3a，
在Rt△OEG中，
OE2＝GE2+OG2，即（）2＝a2+（3a）2，
解得a＝1，
∴CF＝2a＝2．
故正方形CDEF的边长为2．
故答案为2
10．（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝1，
∴CD＝＝＝，
∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，
同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，
∴四边形DOEC的面积＝+＝．
11．证明：（1）连接OB、OC，
∵＝．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
12．证明：连BD、CE．
∵＝，
∴+＝，∴＝，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE．
∵＝，
∴BC＝DE．
∴AC﹣BC＝AE﹣DE，
即AB＝AD．
13．解：（1）连接OD、OF，
∵B是劣弧DF的中点．
∴，
∴，
∴BD＝BF，∠DBE＝∠EBF，
在△EBD和△EBF中，
∵，
∴△EBD≌△EBF（SAS）；
（2）∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴OD＝OA＝3，OE＝3﹣1＝2，
过O作OG⊥CD于G，则CD＝2DG，
∵∠DEB＝30°，∠EGO＝90°，
∴OG＝OE＝1，
由勾股定理得：DG＝＝＝2，
∴CD＝2DG＝4．
14．证明：（1）连接OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
（2）∵由（1）知，△OAC是等边三角形，
∴AC＝OA，∠OAC＝∠ACO＝60°，
∴∠PAC＝120°．
又∵OA＝AP，
∴AP＝AC，
∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°，
即PC⊥OC．
又∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵PC＝，
∴OC＝1，
即⊙O的半径是1．
15．解：连接OE、CE，
∵OC⊥AB，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∵D是OC中点，
∴CE＝OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠COE＝60°，∠AOE＝30°，
∴．
16．证明：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OA＝OB，M、N分别是OA、OB的中点
∴OM＝ON，
在△MOC和△NOC中，，
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC＝NC．
17．解：（1）连接AE，BD，
∵E为的中点，
∴＝，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEB是直径所对的圆周角，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△AEC和△AEB中，
∴△AEC≌△AEB（ASA），
∴CE＝BE，
∴DE＝CE＝BE＝BC；
（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，
设半径为r，则AB＝2r，
由（1）得AC＝AB＝2r，
AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，
在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，
∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，
解得：r＝4.5，
∴⊙O的半径为4.5．
18．（1）证明：连接OC．
∵＝，
∴∠COD＝∠COE，
∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE．
（2）分别连接OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，
∵OC＝OM＝ON，
∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，
∴∠OMD＝∠ONE，
∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，
∴∠MOD＝∠NOE，
∴＝．
19．证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE＝2AD，
∵，
∴，
∴AB＝AE，
∴AB＝2AD．
20．解：∵AB＝BO，
∴∠BOC＝∠A，
∴∠EBO＝∠BOC+∠A＝2∠A，
而OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A，
∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A，
而∠EOD＝84°，
∴3∠A＝84°，
∴∠A＝28°．
21．证明：连接OB、OC．
∵AB＝AC，OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠1＝∠2．
22．（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD；
（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．
23．解：∵在⊙O中，AC＝BD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，
∴∠1＝∠2＝30°．
24．证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．