2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》优生辅导训练（附答案）
1．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O内一定点，且PO＝1．过点P作⊙O的弦，其中最短的弦的长度是（　　）
A．4 B． C．2 D．2
2．如图⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AB＝6cm，PD＝3cm，则⊙O的半径为（　　）
A．6cm B．5cm C．3cm D．4cm
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）
A．9.6 B．4 C．5 D．10
4．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
5．若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为（　　）
A．7 B．17 C．5或12 D．7或17
6．如图，在半径为5的⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC、EB．若CD＝2，则EC的长为（　　）
A．2 B．8 C．2 D．2
7．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
8．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（　　）
A．OE＝m tanα B．CD＝2m sinα
C．AE＝m cosα D．S△COD＝m2 sinα
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为（　　）
A．5 B．6 C． D．
11．小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　 　cm．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝2，则⊙O的半径OC＝　 　．
13．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 　 　．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 　 　．
15．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　 　m．
16．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为13，直线y＝kx﹣3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC长的最小值等于　 　．
17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．
18．如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝5，AC＝3，CD平行于AB，与弧AB相交于点M、N．
（1）求线段OD的长；
（2）若tan∠C＝，求弦MN的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
20．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
参考答案
1．解：当过P的弦与OP垂直时，此时的弦长最短，连接OA，
利用垂径定理得到P为AB的中点，即AP＝AB，
在Rt△AOP中，OA＝2，OP＝1，
根据勾股定理得：AP＝＝＝，
则过点P最短的弦长AB＝2．
故选：C．
2．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r cm，则OP＝（r﹣3）cm，OA＝rcm，
∵CD⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝3cm，
在Rt△OAP中，（r﹣3）2+（3）2＝r2，
解得r＝6，
即⊙O的半径为6cm．
故选：A．
3．解：∵OE⊥AC于点E．
∴AE＝EC．
∵OE＝3，OB＝5．
∴AE＝．
∴AC＝8．
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC．
∴△AEO∽△AFC．
∴，即：．
∴．
∵CD⊥AB．
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
4．解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴＝，AE＝DE＝2，
∴∠COD＝2∠ABC＝45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE＝ED＝2，
∴OD＝＝2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF＝OC，
∵OC＝OD＝2，
∴CF＝2，
故选：B．
5．解：过O点作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝5，CF＝DF＝CD＝12，
在Rt△OAE中，OE＝＝＝12，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝5，
当圆心O在AB、CD之间，如图1，EF＝OE+OF＝12+5＝17，
当圆心O不在AB、CD之间，如图2，EF＝OE﹣OF＝12﹣5＝7，
综上所述，AB，CD之间的距离为7或17．
故选：D．
6．解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OD＝5，
∵CD＝2，
∴OC＝OD﹣CD＝3，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝＝＝4，
∵OA＝OE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∴EC＝＝＝2，
故选：D．
7．解：如图，连接OA，OC．
∵OP⊥CD，CD∥AB，
∴OP⊥AB，
∴CN＝DN＝6，AM＝MB＝9，
设OA＝OC＝r，OM＝MN＝a，
则有，
解得，r＝4，
故选：C．
8．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．
9．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，
在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，
∴tanα＝，
∴OE＝＝，
故选项A不符合题意；
∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，
∴CD＝2DE，
∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，
∴DE＝OD sinα＝m sinα，
∴CD＝2DE＝2m sinα，
故选项B正确，符合题意；
∵cosα＝，
∴OE＝OD cosα＝m cosα，
∵AO＝DO＝m，
∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m cosα，
故选项C不符合题意；
∵CD＝2m sinα，OE＝m cosα，
∴S△COD＝CD×OE＝×2m sinα×m cosα＝m2sinα cosα，
故选项D不符合题意；
故选：B．
10．解：连接OP，如图，
∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠APO＝90°，
∴P点在以OA为直径的⊙D上（A点除外），
过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，
∴点P点在P′点的位置时，P点到CE的距离最小，此时△PCE面积有最小值，
当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则E（0，4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则C（3，0），
∴CE＝＝5，
∵∠DCH＝∠ECO，∠CHD＝∠COE，
∴△CDH∽△CEO，
∴＝，即＝，解得DH＝，
∴P′H＝DH﹣DP′＝﹣1＝，
∴S△EP′C＝×5×＝，
∴△PCE面积的最小值为．
故选：D．
11．解：∵C点是的中点，CD⊥AB，
∴CD过圆心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），
设圆心为O，连接OA，如图，
设⊙O的半径为Rcm，则OD＝（R﹣1.6）cm，
在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），
所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm．
故答案为4．
12．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝10，
∴CE＝CD＝5，∠OEC＝90°，
设OB＝OC＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，
即52+（x﹣2）2＝x2，
解得：x＝，
即OC＝，
故答案为：．
13．解：连接AB，如图，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CD＝AB＝．
故答案为．
14．解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
15．解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，
∴CF＝DF＝CD，
∴OE＝＝＝1.6（m），
∵水管水面上升了0.4m，
∴OF＝OE﹣EF＝1.6﹣0.4＝1.2（m），
∴CF＝＝＝1.6（m），
∴CD＝2CF＝3.2（m）
故答案为：3.2．
16．解：∵y＝kx﹣3k+4，
∴（x﹣3）k＝y﹣4，
∵k为无数个值，
∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，解得x＝3，y＝4，
∴直线y＝kx﹣3k+4过定点（3，4），
如图，P（3，4），连接OB，如图，
当BC⊥OP时，弦BC最短，此时BP＝PC，
∵OP＝＝5，
∴BP＝＝12，
∴BC＝2BP＝24，
即弦BC长的最小值等于24．
故答案为24．
17．（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG；
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r．
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG＝8，EC＝ED＝4，
∴OE＝AE﹣OA＝8﹣r，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴⊙O的半径为5．
18．解：（1）∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠OAB，∠D＝∠OBA，
∴∠C＝∠D，
∴OD＝OC＝OA+AC＝5+3＝8；
（2）过O点作OE⊥MN于E，连接OM，如图，则ME＝NE，
在Rt△OCE中，tanC＝＝，
设OE＝3x，则CE＝4x，
∴OC＝5x，
即5x＝8，解得x＝，
∴OE＝，
在Rt△OME中，ME＝＝＝，
∴MN＝2ME＝．
19．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝＝＝4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝＝5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴EF＝2ME＝．
20．解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），
∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AB＝＝26，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即＝，
∴AE＝，
∴DE＝．