2021-2022学年北师大版数学九年级下册3.4圆周角和圆心角的关系 解答培优练习题 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版数学九年级下册3.4圆周角和圆心角的关系 解答培优练习题 （word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 456.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 11:02:01 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
解答培优练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
2．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，AC+BC＝8．
（1）设点E到BC的距离为y，BC长为x，求y与x的函数关系式，并求当CE取最大值时x的值；
（2）连接AD、BD，四边形ACBD的面积是否为唯一确定的值？如果是，请求出它的面积；如果不是，请说明理由．
4．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
5．如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F，点G在DE延长线上，EA平分∠CEG．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求△ACE的面积．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
8．如图，在锐角三角形ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD＞CD），作BH⊥AC，依次交⊙O于点E，交AC于点G，交⊙O于H．
（1）求证：△ECD∽△BCE；
（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于5，BC＝7，求CE的长．
9．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，弦DE∥BC，交AC于点F，弧AD＝弧DE，连接AE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）连接OB，若BD＝2，求OB的长．
11．如图，⊙O的直径MN⊥弦AB于C，点P是AB上的一点，延长MP交⊙O于D，连接AD，且AD∥BM：
（1）求证：MP＝PB：
（2）若MB＝6，⊙O的直径为10，求sin∠ADP的值．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，以点C为圆心，BC长为半径作⊙C，∠ABC的平分线与⊙C交于点D，连接AD、BD，AD、BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）延长DC交⊙C于点E，连接BE，若BE＝20，tan∠BED＝，求sin∠BCD．
14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
15．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E．已知AC＝4，DB＝2．
（1）求直径AB的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB′改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
16．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，点F为CE的中点，连接DF，DE，AD．
（1）求证：CD＝DE．
（2）若OA＝5，sin∠CAB＝，求DF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．
19．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB．
（1）求证：∠ACE＝∠DCO．
（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点E，连接CE交BD于点F，连接FG．
（1）求证：FG＝DE；
（2）若AB＝4，FG＝4，求AG的长．
参考答案
1．（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
2．证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
3．解：（1）如图1，
过点E作EF⊥BC，垂足为点F，
则点E到BC的距离为EF＝y，
∵CD是∠ACB的平分线，且AB为直径，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
又EF⊥BC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF＝EF＝y，
∴BF＝BC﹣CF＝x﹣y，AC＝8﹣BC＝8﹣x，
∵∠EBF＝∠ABC，∠BFE＝∠BCA＝90°，
∴△BEF∽△BAC
∴＝，即＝，
整理，得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，
∴当x＝4时，y有最大值，
在Rt△CEF中，
CE＝EF＝y，
故当CE取得最大值时，x＝4．
（2）如图2，
连接AD、BD，
由（1）可知∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
又AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝AB，
∴S△ADB＝AD×BD＝AB2，
∴AB2＝4S△ADB，
∵S△ACB＝AC BC，
∴AC BC＝2S△ACB，
∵AC+BC＝8，
∴（AC+BC）2＝64，即AC2+BC2+2AC BC＝64，
∵在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
∴4S△ADB+4S△ACB＝64，
∴S△ADB+S△ACB＝16，
∴S四边形ACBD＝S△ADB+S△ACB＝16．
4．（1）证明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C为的三等分点，
∴＝＝，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知＝＝，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE，
∴＝，即，
解得DE＝，
∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．
5．（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．
6．（1）证明：∵AE平分∠CEG，
∴∠AEG＝∠AEC，
∵∠AEG+∠AED＝180°，∠AED+∠ACD＝180°，
∴∠AEG＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠ACD，
∴＝，
∴AB⊥CD．
（2）解：如图，连接AD．BD．
∴AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠DFB＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠DAF＝∠FDB，
∴△AFD∽△DFB，
∴DF：FB＝AF：DF，
∴DF2＝AF BF＝9，
∵DF＞0，
∴DF＝3，
∵AB⊥CD，
∴DF＝CF＝3，
∴AD＝AC，
∴CD＝2DF＝6，
∵AC＝CE，
∴CA＝CE＝AD，
∴∠CAE＝∠CEA＝∠ACD＝∠ADC，
在△ACE和△DAC中，
，
∴△ACE≌△DAC（AAS），
∴S△ACE＝S△ADC＝ CD AF＝×6×9＝27．
7．解：（1）如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝，
∴DF＝2DE＝2．
8．（1）证明：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∵BH⊥AC，
∴∠BGC＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝∠GBC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠GBC，
又∵∠DAC＝∠DEC，
∴∠EBC＝∠DEC，
∵∠ECD＝∠BCE，
∴△ECD∽△BCE；
（2）解：由（1）得：∠EBC＝∠DEC，
∵∠ABG+∠DEC＝45°，
∴∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD，
∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝7，
∵∠ADC＝90°，AC＝5，
∴AD2+DC2＝AC2，即（7﹣DC）2+DC2＝52，
解得：DC＝4或DC＝3，
∵∠DAC＝∠GBC＜45°，
∴AD＞DC，
∴DC＝3，AD＝4，
由（1）得：△ECD∽△BCE，
∴CE：BC＝CD：CE，
∴CE2＝CD×BC＝3×7＝21，
∴CE＝．
9．解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝BC＝10，CD＝BC＝5，
又∵∠C＝60°，
∴DE＝CD sin60°＝．
10．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴EF＝DF＝DE，
∵弧AD＝弧DE，
∴AD＝DE，
∴DF＝AD，
∵DF＝DE，
∴∠DAF＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∵AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，DE∥BC，
∴∠CDB＝90°，
由（1）得△ADE是等边三角形，DE⊥AC，∠DAF＝30°，
∴∠DCA＝60°，CD＝AC＝OC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴CD＝＝2，
∴OC＝CD＝2，
∴OB＝＝2．
11．（1）证明：∵AD∥BM，
∴∠D＝∠BMD，
∵∠D＝∠ABM，
∴∠BMD＝∠ABM，
∴MP＝PB；
（2）解：连接NB，如图，
∵MN为⊙O的直径，
∴∠MBN＝90°，
∵MN⊥AB，
∴＝，
∴∠BNM＝∠ADM，
在Rt△BMN中，sin∠BNM＝＝＝，
∴sin∠ADP＝．
12．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
13．（1）证明：由题意得，BC＝CD，
∴AB＝BC＝CD，
∴∠1＝∠CDB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：过点D作DH⊥BC交BC于点H．
由题意得，DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，BE＝20，
∴BD＝10，，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，点O是AC的中点，
∵点C是DE的中点，
∴，
∴AC＝2OC＝20，
∵，
即，
∴，
在Rt△DBE中，∠DHC＝90°，
∴．
14．解：（1）∵＝，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝10，
∴，
∵DE＝4，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52，
∴，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE＝，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝．
15．解：（1）连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵弦CD垂直直径AB于点E，
∴由垂径定理可知：AD＝AC＝4，
在Rt△ADB中，AB＝；
（2）小慧的说法正确；理由如下：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，如图所示：
∵AF为直径，
∴∠ACF＝90°，即∠ACD+∠FCD＝90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
而∠DBE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠BDE，
∴，
∴，
∴CF＝BD＝2，
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴⊙O的直径仍不变．
16．解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
17．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵圆内接四边形ABDE，
∴∠CED＝∠B，
∴∠CED＝∠C，
∴CD＝DE，
解：（2）连接BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵sin∠CAB＝，AB＝2OA＝10，
∴BE＝8，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AB为直径，
∴∠ADC＝90°
∴AD⊥BC，
由三线合一得：D是BC的中点，
∵点F为CE的中点，
∴FD为△CEB的中位线，
∴DF＝＝4．
18．解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）方法一、如图，连接AC，BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BCE＝∠CAE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
∴CE CE＝2×8＝16，
∴CE＝4，
∴CD＝8．
方法二、连接OC，
∵BE＝2，AE＝8，
∴BA＝10，
∴OC＝OB＝5，
∴OE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝8．
19．（1）证明：连接CO，
由翻折可知∠ECH＝∠BCH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCH+∠ACH＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAO+∠ACH＝90°，
∴∠BCH＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠ECH＝∠ACO，
即∠ACE+∠ECO＝∠DCO+∠ECO，
∴∠ACE＝∠DCO．
（2）解：连接CO，
由翻折可知∠B＝∠CEB，EH＝BH，
∵∠B＝∠AMC，∠CEB＝∠AEM，
∴∠AMC＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10，
∴OC＝OA＝13，
∴3+OH＝13﹣OH，
∴OH＝5，
∴sin∠ACE＝sin∠DCO＝．
20．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠E＝∠CBD，
∴∠E＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴DG＝EG，∠BGD＝90°，
∵∠ABD+∠BDG＝90°，
∴∠E+∠FDE＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴GF＝DE；
（2）解：连接OD，如图，则OD＝OA＝AB＝2，
∵FG＝DG＝4，
∴OG＝＝2，
∴AG＝OA﹣OG＝2﹣2．
解答培优练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
2．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，AC+BC＝8．
（1）设点E到BC的距离为y，BC长为x，求y与x的函数关系式，并求当CE取最大值时x的值；
（2）连接AD、BD，四边形ACBD的面积是否为唯一确定的值？如果是，请求出它的面积；如果不是，请说明理由．
4．如图，AB为⊙O的弦，D，C为的三等分点，AC∥BE．
（1）求证：∠A＝∠E；
（2）若BC＝3，BE＝5，求CE的长．
5．如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，圆内接四边形ACDE的边CD与直径AB交于点F，点G在DE延长线上，EA平分∠CEG．
（1）求证：AB⊥CD．
（2）若AC＝CE，AF＝9，BF＝1，求△ACE的面积．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
8．如图，在锐角三角形ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D（BD＞CD），作BH⊥AC，依次交⊙O于点E，交AC于点G，交⊙O于H．
（1）求证：△ECD∽△BCE；
（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于5，BC＝7，求CE的长．
9．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，弦DE∥BC，交AC于点F，弧AD＝弧DE，连接AE．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）连接OB，若BD＝2，求OB的长．
11．如图，⊙O的直径MN⊥弦AB于C，点P是AB上的一点，延长MP交⊙O于D，连接AD，且AD∥BM：
（1）求证：MP＝PB：
（2）若MB＝6，⊙O的直径为10，求sin∠ADP的值．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，以点C为圆心，BC长为半径作⊙C，∠ABC的平分线与⊙C交于点D，连接AD、BD，AD、BD交于点O．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）延长DC交⊙C于点E，连接BE，若BE＝20，tan∠BED＝，求sin∠BCD．
14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
15．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E．已知AC＝4，DB＝2．
（1）求直径AB的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB′改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
16．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．
（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，点F为CE的中点，连接DF，DE，AD．
（1）求证：CD＝DE．
（2）若OA＝5，sin∠CAB＝，求DF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．
（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；
（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．
19．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，若劣弧CD沿着直线CD翻折，点B落在OA上的点E处（点E不与点A，O重合），连接CA，CE，CB．
（1）求证：∠ACE＝∠DCO．
（2）延长CE交⊙O于点M，连接AM，若AM＝10，OE＝3，求∠ACE的正弦值．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点G，交⊙O于点E，连接CE交BD于点F，连接FG．
（1）求证：FG＝DE；
（2）若AB＝4，FG＝4，求AG的长．
参考答案
1．（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
2．证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
3．解：（1）如图1，
过点E作EF⊥BC，垂足为点F，
则点E到BC的距离为EF＝y，
∵CD是∠ACB的平分线，且AB为直径，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
又EF⊥BC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF＝EF＝y，
∴BF＝BC﹣CF＝x﹣y，AC＝8﹣BC＝8﹣x，
∵∠EBF＝∠ABC，∠BFE＝∠BCA＝90°，
∴△BEF∽△BAC
∴＝，即＝，
整理，得y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，
∴当x＝4时，y有最大值，
在Rt△CEF中，
CE＝EF＝y，
故当CE取得最大值时，x＝4．
（2）如图2，
连接AD、BD，
由（1）可知∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
又AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝AB，
∴S△ADB＝AD×BD＝AB2，
∴AB2＝4S△ADB，
∵S△ACB＝AC BC，
∴AC BC＝2S△ACB，
∵AC+BC＝8，
∴（AC+BC）2＝64，即AC2+BC2+2AC BC＝64，
∵在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
∴4S△ADB+4S△ACB＝64，
∴S△ADB+S△ACB＝16，
∴S四边形ACBD＝S△ADB+S△ACB＝16．
4．（1）证明：
∵AC∥BE，
∴∠E＝∠ACD，
∵D，C为的三等分点，
∴＝＝，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠E＝∠A，
（2）解：由（1）知＝＝，
∴∠D＝∠CBD＝∠A＝∠E，
∴BE＝BD＝5，BC＝CD＝3，△CBD∽△BDE，
∴＝，即，
解得DE＝，
∴CE＝DE﹣CD＝﹣3＝．
5．（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，
连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．
6．（1）证明：∵AE平分∠CEG，
∴∠AEG＝∠AEC，
∵∠AEG+∠AED＝180°，∠AED+∠ACD＝180°，
∴∠AEG＝∠ACD，
∴∠AEC＝∠ACD，
∴＝，
∴AB⊥CD．
（2）解：如图，连接AD．BD．
∴AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠DFB＝90°，
∵∠ADF+∠DAF＝90°，∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠DAF＝∠FDB，
∴△AFD∽△DFB，
∴DF：FB＝AF：DF，
∴DF2＝AF BF＝9，
∵DF＞0，
∴DF＝3，
∵AB⊥CD，
∴DF＝CF＝3，
∴AD＝AC，
∴CD＝2DF＝6，
∵AC＝CE，
∴CA＝CE＝AD，
∴∠CAE＝∠CEA＝∠ACD＝∠ADC，
在△ACE和△DAC中，
，
∴△ACE≌△DAC（AAS），
∴S△ACE＝S△ADC＝ CD AF＝×6×9＝27．
7．解：（1）如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝，
∴DF＝2DE＝2．
8．（1）证明：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∵BH⊥AC，
∴∠BGC＝90°，
∵∠DAC+∠ACD＝∠GBC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠GBC，
又∵∠DAC＝∠DEC，
∴∠EBC＝∠DEC，
∵∠ECD＝∠BCE，
∴△ECD∽△BCE；
（2）解：由（1）得：∠EBC＝∠DEC，
∵∠ABG+∠DEC＝45°，
∴∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD，
∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝7，
∵∠ADC＝90°，AC＝5，
∴AD2+DC2＝AC2，即（7﹣DC）2+DC2＝52，
解得：DC＝4或DC＝3，
∵∠DAC＝∠GBC＜45°，
∴AD＞DC，
∴DC＝3，AD＝4，
由（1）得：△ECD∽△BCE，
∴CE：BC＝CD：CE，
∴CE2＝CD×BC＝3×7＝21，
∴CE＝．
9．解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝BC＝10，CD＝BC＝5，
又∵∠C＝60°，
∴DE＝CD sin60°＝．
10．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴EF＝DF＝DE，
∵弧AD＝弧DE，
∴AD＝DE，
∴DF＝AD，
∵DF＝DE，
∴∠DAF＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∵AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，DE∥BC，
∴∠CDB＝90°，
由（1）得△ADE是等边三角形，DE⊥AC，∠DAF＝30°，
∴∠DCA＝60°，CD＝AC＝OC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴CD＝＝2，
∴OC＝CD＝2，
∴OB＝＝2．
11．（1）证明：∵AD∥BM，
∴∠D＝∠BMD，
∵∠D＝∠ABM，
∴∠BMD＝∠ABM，
∴MP＝PB；
（2）解：连接NB，如图，
∵MN为⊙O的直径，
∴∠MBN＝90°，
∵MN⊥AB，
∴＝，
∴∠BNM＝∠ADM，
在Rt△BMN中，sin∠BNM＝＝＝，
∴sin∠ADP＝．
12．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
13．（1）证明：由题意得，BC＝CD，
∴AB＝BC＝CD，
∴∠1＝∠CDB，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：过点D作DH⊥BC交BC于点H．
由题意得，DE是⊙O的直径，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，BE＝20，
∴BD＝10，，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，点O是AC的中点，
∵点C是DE的中点，
∴，
∴AC＝2OC＝20，
∵，
即，
∴，
在Rt△DBE中，∠DHC＝90°，
∴．
14．解：（1）∵＝，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝10，
∴，
∵DE＝4，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52，
∴，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE＝，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝．
15．解：（1）连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵弦CD垂直直径AB于点E，
∴由垂径定理可知：AD＝AC＝4，
在Rt△ADB中，AB＝；
（2）小慧的说法正确；理由如下：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，如图所示：
∵AF为直径，
∴∠ACF＝90°，即∠ACD+∠FCD＝90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
而∠DBE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠BDE，
∴，
∴，
∴CF＝BD＝2，
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴⊙O的直径仍不变．
16．解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝56°，
∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，
在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．
（II ）∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，
∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，
∴20°+∠CDB＝2∠CDB，
∴∠CDB＝20°，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．
17．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵圆内接四边形ABDE，
∴∠CED＝∠B，
∴∠CED＝∠C，
∴CD＝DE，
解：（2）连接BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵sin∠CAB＝，AB＝2OA＝10，
∴BE＝8，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AB为直径，
∴∠ADC＝90°
∴AD⊥BC，
由三线合一得：D是BC的中点，
∵点F为CE的中点，
∴FD为△CEB的中位线，
∴DF＝＝4．
18．解：（1）∠AGD＝∠ADC，
理由如下：∵弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，＝，
∴∠AGD＝∠ADC；
（2）方法一、如图，连接AC，BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠ACE+∠CAE，
∴∠BCE＝∠CAE，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
∴CE CE＝2×8＝16，
∴CE＝4，
∴CD＝8．
方法二、连接OC，
∵BE＝2，AE＝8，
∴BA＝10，
∴OC＝OB＝5，
∴OE＝3，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝8．
19．（1）证明：连接CO，
由翻折可知∠ECH＝∠BCH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCH+∠ACH＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAO+∠ACH＝90°，
∴∠BCH＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠ECH＝∠ACO，
即∠ACE+∠ECO＝∠DCO+∠ECO，
∴∠ACE＝∠DCO．
（2）解：连接CO，
由翻折可知∠B＝∠CEB，EH＝BH，
∵∠B＝∠AMC，∠CEB＝∠AEM，
∴∠AMC＝∠AEM，
∴AE＝AM＝10，
∴OC＝OA＝13，
∴3+OH＝13﹣OH，
∴OH＝5，
∴sin∠ACE＝sin∠DCO＝．
20．（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠E＝∠CBD，
∴∠E＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴DG＝EG，∠BGD＝90°，
∵∠ABD+∠BDG＝90°，
∴∠E+∠FDE＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴GF＝DE；
（2）解：连接OD，如图，则OD＝OA＝AB＝2，
∵FG＝DG＝4，
∴OG＝＝2，
∴AG＝OA﹣OG＝2﹣2．