2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系优生辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
优生辅导训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．55°
2．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　）
A．+ B．2+ C．4 D．2+2
3．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA＝4，PB＝6，PD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP＝6，BP＝2，CP＝4，则PD的长是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）
A．70° B．55° C．35.5° D．35°
6．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝　 　度．
7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝　 　．
8．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B+∠E＝　 　．
9．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝　 　．
10．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝　 　．
11．若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于　 　．
12．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为　 　．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝　 　．
14．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是　 　度．
15．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠E+∠C＝　 　°．
16．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C．
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．
（1）求证：四边形AOCD是菱形；
（2）若AD＝6，求DE的长．
19．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长．
20．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）请判断△ABC的形状？说明理由；
（2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，BD平分∠ADC．
（1）试说明△ABC是等边三角形；
（2）若AD＝2，DC＝4，求四边形ABCD的面积．
22．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，＝，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的长．
参考答案
1．解：连接FB．
∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠FEB＝∠FOB＝70°
∵EF＝EB
∴∠EFB＝∠EBF＝55°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF＝20°，
∴∠EFO＝∠EBO，
∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，
故选：B．
2．解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
3．解：由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，
∵PA＝4，PB＝6，PD＝2，
∴CP＝12，
∴DC＝12+2＝14，
∵CD是⊙O直径，
∴⊙O半径是7．
故选：C．
4．解：由相交弦定理得AP PB＝CP PD，
∵AP＝6，BP＝2，CP＝4，
∴PD＝AP PB÷CP＝6×2÷4＝3．
故选：D．
5．解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，
故选：D．
6．解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴OA＝AB，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AE＝BE，＝，
即OA＝2AE，
∴∠AOD＝30°，
∴和的度数是30°
∴∠BAD＝15°，
故答案为：15．
7．解：连接BD，如图所示：
∵∠ACD＝54°，
∴∠ABD＝54°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝36°，
答案为：36°．
8．解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝30°，
∴∠B+∠E＝180°+30°＝210°．
故答案为：210°．
9．解：∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故答案为：70°．
10．解：∵OA＝OB，OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OC⊥OB，
∴∠COB＝90°，
∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABC＝15°，
故答案为：15°
11．解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．
连接OA、OB；则∠AOB＝90°；
①当所求的圆周角顶点位于D点时，
这条弦所对的圆周角∠ADB＝∠AOB＝45°；
②当所求的圆周角顶点位于C点时，
这条弦所对的圆周角∠ACB＝180°﹣∠ADB＝135°．
故答案为：45°，135°．
12．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
13．解：∵点C是半径OA的中点，
∴OC＝OD，
∵DE⊥AB，
∴∠CDO＝30°，
∴∠DOA＝60°，
∴∠DFA＝30°，
故答案为：30°．
14．解：连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
即点C在⊙O上，
∴∠EOA＝2∠ECA，
∵∠ECA＝2°×35＝70°，
∴∠AOE＝2∠ECA＝2×70°＝140°．
∵量角器0刻度线的端点N与点A重合，
∴点E在量角器上对应的读数是140，
故答案为：140．
15．解：连接EA，
∵为50°，
∴∠BEA＝25°，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA+∠C＝180°，
∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，
故答案为：155．
16．证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD＝，
∴AD＝＝＝2，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
过O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴OG＝DF＝2，
∴sin∠FAH＝，
∴，FH＝，
Rt△AFH中，AH＝＝．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB，
∴∠A＝∠AEB；
（2）∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形，
∵EO⊥CD，
∴CF＝DF，
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED＝EC，
∵DC＝DE，
∴DC＝DE＝EC，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
18．证明：（1）∵点D是AC的中点，连接OD，
∴，
∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠AOD＝∠DOC＝60°，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC＝CD＝AD，
∴四边形AOCD是菱形；
（2）由（1）可知，△COD是等边三角形．
∴∠OCD＝∠ODC＝60°，
∵CE＝AD，CD＝AD，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED＝∠OCD＝30°，
∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝OD tan∠DOE＝6×tan60°＝6．
19．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解：连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝＝．
20．解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：
在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：
如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝AB PE，S△ABC＝AB CF，
∴S四边形APBC＝AB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
21．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形
（2）解：过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．
∴∠AED＝90°
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝1，AE＝＝＝，
∵CD＝4，
∴CE＝CD+DE＝1+4＝5，
∴S△ACD＝CD AE＝4×＝2，
Rt△AEC中，∠AED＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴AF＝FC＝，
∴BF＝＝＝，
∴S△ABC＝×2×＝7，
∴四边形ABCD的面积＝7+2＝9．
22．证法1：连接OA，OC，
∵∠B＝∠1，∠D＝∠2，
∴∠B+∠D＝（∠1+∠2）＝×360°＝180°；
证法2：如图2，连接CA，BD，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ADC＝∠1+∠3＝∠2+∠4，
∴∠ADC+∠ABC＝∠2+∠4+∠ABC＝180°．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵＝，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝3．