2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 解答题专题训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 解答题专题训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 481.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 11:05:01 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》解答题专题训练（附答案）
1．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
2．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：BE＝CF．
3．如图，已知△ABC的一个外角∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，且DA的延长线与△ABC的外接圆交于F，连接FB、FC，且FC与AB交于E．
（1）判断△FBC的形状，并说明理由；
（2）请给出一个能反映AB、AC和FA之间数量关系的一个等式，并说明你给出的等式成立．
4．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
5．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
6．已知：△AC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC＝2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P．求证：∠ACD＝∠APB．
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
8．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．
（1）求证：＝
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝a（a＞5）．点P在以A为圆心、AB长为半径的⊙A上，且在矩形ABCD的内部，P到AD、CD的距离PE、PF相等．
（1）若a＝7，求AE长；
（2）若⊙A上满足条件的点P只有一个，求a的值；
（3）若⊙A上满足条件的点P有两个，求a的取值范围．
10．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
11．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：∠BAD＝∠PCB；
（2）求证：BG∥CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠COD＝23°，求∠P的度数．
12．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD，求证：AD＝CD．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．
15．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC＝BC，∠CAB的平分线AD交BC于点E、交⊙O于点D，延长BD交AC的延长线于点F，连接CD、OG平分CD．
（1）求证：AF＝AB；
（2）求证：2OG＝AD；
（3）若CD＝4﹣2，求⊙O的面积．
16．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠ABC＝30°，点E是OC的中点，连接AE并延长交⊙〇于点D，连接OD，CD，BD．
（1）求证：△AEO≌△DEC；
（2）若AB＝12，则四边形AODC的面积是 ．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是△ABC的一个外角，∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F．请你在图上连接EF．
（1）证明：EF是⊙O的直径；
（2）请你判断EF与BC有怎样的位置关系？并请证明你的结论．
18．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．
19．如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．
求：（1）⊙O的半径；
（2）BE的长．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°，BC＝时，求⊙O的半径．
21．（1）如图（1），AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．
（2）如图（2），⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，且BD＝2，连接CD，求BC的长．
22．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．
（1）求△ABC的外接圆的圆心点M的坐标；
（2）求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．
参考答案
1．证明：∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2．（1分）
又∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．（2分）
∴AE＝DE．（3分）
又∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°．（4分）
∴∠EBD+∠1＝∠EDB+∠3＝90°．（5分）
∴∠EBD＝∠EDB．（6分）
∴BE＝DE．（7分）
∴AE＝BE＝DE．（8分）
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．（10分）
2．证明：连接DB、DF，
∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
3．解：（1）△FBC是等边三角形，
∵∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，
∴∠MAD＝∠CAD＝60°，
∵四边形AFBC是圆内接四边形，
∴∠FBC＝∠CAD＝60°，又∠BCF＝∠FAB＝∠MAD＝60°，
∴△FBC是等边三角形；
（2）AB＝AC+FA．
理由如下：在AB上截取AH＝AC，
∵∠HAC＝∠BFC＝60°，
∴△AHC是等边三角形，
∴∠ACH＝60°，CA＝CH，
∵∠FCB＝60°，
∴∠BCH＝∠FCA，
在△BCH和△FCA中，
，
∴△BCH≌△FCA，
∴BH＝FA，
∴AB＝BH+AH＝FA+AC．
4．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
5．解：∵OO′＝r＝＝，O′P＝＝2
同理可得：O′Q＝1，O′R＝，
∴O′P＞r，点P在⊙O′外；
O′Q＜r，点Q在⊙O′内；
O′R＝r，点R在⊙O′上．
6．（1）证明：∵OD⊥BC，
∴BH＝HC，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OH．
（2）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠B＝∠ADC，∠APB+∠BAD+∠B＝180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠APB＝∠ACD．
7．解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM＝＝2，
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
8．（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAC+∠OBA＝90°，
∴∠BTA＝90°，
∴BT⊥AC，
∴＝．
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠OAB+∠AED＝90°，
∵∠OAB+∠BAC＝90°，
∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，
∵AF为⊙O直径，
∴∠ACF＝90°，
同理：∠FCE＝∠BAC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
∵AO＝3，AE＝4，
∴OE＝1，FE＝FC＝2，
在Rt△FCA中
∴AC＝＝4
9．解：（1）连接AP，
设AE＝x，则（7﹣x）2+x2＝25，
解得x＝3或4
所以AE的长为3或4；
（2）当△APD是等腰直角三角形时，⊙A上满足条件的点P只有一个，
此时AD＝AP＝5
（3）观察图象可知：当5＜a＜5时，存在两个点P满足条件；
10．解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM＝＝5，
∴点C在⊙M上．
11．（1）证明：如图1，
∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB；
（2）证明：由（1）得∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，
∵AB＝DH，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
连接OD，
∵∠COD＝23°，OD＝OC，
∴∠OCD＝（180°﹣23°）＝（）°，
∴∠PCB＝180°﹣∠ACB﹣∠OCD＝（）°，
∵PC＝PB，
∴∠P＝180°﹣2×（）°＝97°．
12．解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝12．
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝6．
∴AC＝6．
13．证明：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OBD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD．
14．解：连接CD，
∵∠ABC＝∠DAC，
∴＝，
∴AC＝CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝AD＝6．
15．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠BAD，
在△ADF和△ADB中，
，
∴△FAD≌△BAD，
∴AF＝AB．
（2）连接OD，作OM⊥BD，则DM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM∥AD，AD＝2OM，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAB，
∴＝，
∴CD＝BD，
∵OG平分CD，
∴OG⊥CD，DG＝CG，
∴DG＝DM，
在Rt△ODG和Rt△ODM中，
，
∴△ODG≌△ODM（HL），
∴OG＝OM，
∴2OG＝AD．
（3）∵CD为Rt△CBF斜边上的中线，
∴BF＝2CD＝2（4﹣2）＝8﹣4，
设OA＝r，则AF＝AB＝2r，AC＝BC＝r，
∴CF＝（2﹣）r，
在Rt△BCF中，∵BC2+CF2＝BF2，
∴（r）2+[（2﹣）r]2＝（8﹣4）2，
∴r2＝8﹣4，
∴⊙O的面积为（8﹣4）π．
16．（1）证明：∵AB是直径，∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠CAO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∵CE＝EO，
∴AE⊥CO，∠CAE＝∠EAO＝30°，
∵∠CDE＝∠ABC＝30°，
∴∠CDE＝∠EAO，
在△CED和△OEA中，
，
∴△AEO≌△DEC．
（2）连接DO．
∵△AEO≌△DEC．∠CDE＝∠EAO
∴CD＝AO，CD∥AO，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴S平行四边形AODC＝2 S△ACO＝2××62＝18．
故答案为18．
17．解：（1）∵AF平分∠BAD，AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAD，∠BAE＝∠BAC，
∴∠BAF+∠BAE＝（∠BAD+∠BAC）＝×180°＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF为⊙O的直径；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴EF垂直平分BC．
18．解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴线段AB是⊙P的直径，
∵A（0，﹣6），B（8，0），PA＝PB，
∴P（4，﹣3）．
（2）∵＝，
∴∠OAM＝∠MAB，
∴AM是∠OAB的平分线．
19．解：（1）连接OB，
解方程x2﹣9x+18＝0，
得，x1＝3，x2＝6，
由图形可知，AC＝3，AB＝6，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OB＝AB＝3；
（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝，
∴BE＝＝．
20．（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝，
∴AB＝2BC＝2，
∴⊙O的半径为．
21．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠FBE＝∠2+∠FBE，即∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝CB，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）在圆O中，∵∠A＝45°，＝，
∴∠D＝45°，
∵BD为圆的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD sin45°，
∵BD＝2，
∴BC＝．
22．解：（1）∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），
∴线段BC的垂直平分线是x＝﹣2，
∵A（2，2），C（2，﹣4），
∴线段AC的垂直平分线是y＝﹣1，
∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为：（﹣2，﹣1）；
（2）连接OM，作MN⊥DE于N，
由题意得，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得，AB＝10，
则DN＝＝2，
由垂径定理得，DE＝2DN＝4．
1．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
2．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：BE＝CF．
3．如图，已知△ABC的一个外角∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，且DA的延长线与△ABC的外接圆交于F，连接FB、FC，且FC与AB交于E．
（1）判断△FBC的形状，并说明理由；
（2）请给出一个能反映AB、AC和FA之间数量关系的一个等式，并说明你给出的等式成立．
4．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
5．如图，以点O′（1，1）为圆心，OO′为半径画圆，判断点P（﹣1，1），点Q（1，0），点R（2，2）和⊙O′的位置关系．
6．已知：△AC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC＝2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P．求证：∠ACD＝∠APB．
7．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
8．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．
（1）求证：＝
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝a（a＞5）．点P在以A为圆心、AB长为半径的⊙A上，且在矩形ABCD的内部，P到AD、CD的距离PE、PF相等．
（1）若a＝7，求AE长；
（2）若⊙A上满足条件的点P只有一个，求a的值；
（3）若⊙A上满足条件的点P有两个，求a的取值范围．
10．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2＝；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x＝，y＝；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
11．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：∠BAD＝∠PCB；
（2）求证：BG∥CD；
（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠COD＝23°，求∠P的度数．
12．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD，求证：AD＝CD．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．
15．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC＝BC，∠CAB的平分线AD交BC于点E、交⊙O于点D，延长BD交AC的延长线于点F，连接CD、OG平分CD．
（1）求证：AF＝AB；
（2）求证：2OG＝AD；
（3）若CD＝4﹣2，求⊙O的面积．
16．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠ABC＝30°，点E是OC的中点，连接AE并延长交⊙〇于点D，连接OD，CD，BD．
（1）求证：△AEO≌△DEC；
（2）若AB＝12，则四边形AODC的面积是 ．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是△ABC的一个外角，∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F．请你在图上连接EF．
（1）证明：EF是⊙O的直径；
（2）请你判断EF与BC有怎样的位置关系？并请证明你的结论．
18．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．
（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；
（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线．
19．如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．
求：（1）⊙O的半径；
（2）BE的长．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°，BC＝时，求⊙O的半径．
21．（1）如图（1），AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF．
（2）如图（2），⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，且BD＝2，连接CD，求BC的长．
22．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（2，2），B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4）．
（1）求△ABC的外接圆的圆心点M的坐标；
（2）求△ABC的外接圆在x轴上所截弦DE的长．
参考答案
1．证明：∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2．（1分）
又∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．（2分）
∴AE＝DE．（3分）
又∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°．（4分）
∴∠EBD+∠1＝∠EDB+∠3＝90°．（5分）
∴∠EBD＝∠EDB．（6分）
∴BE＝DE．（7分）
∴AE＝BE＝DE．（8分）
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．（10分）
2．证明：连接DB、DF，
∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．
3．解：（1）△FBC是等边三角形，
∵∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，
∴∠MAD＝∠CAD＝60°，
∵四边形AFBC是圆内接四边形，
∴∠FBC＝∠CAD＝60°，又∠BCF＝∠FAB＝∠MAD＝60°，
∴△FBC是等边三角形；
（2）AB＝AC+FA．
理由如下：在AB上截取AH＝AC，
∵∠HAC＝∠BFC＝60°，
∴△AHC是等边三角形，
∴∠ACH＝60°，CA＝CH，
∵∠FCB＝60°，
∴∠BCH＝∠FCA，
在△BCH和△FCA中，
，
∴△BCH≌△FCA，
∴BH＝FA，
∴AB＝BH+AH＝FA+AC．
4．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
5．解：∵OO′＝r＝＝，O′P＝＝2
同理可得：O′Q＝1，O′R＝，
∴O′P＞r，点P在⊙O′外；
O′Q＜r，点Q在⊙O′内；
O′R＝r，点R在⊙O′上．
6．（1）证明：∵OD⊥BC，
∴BH＝HC，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OH．
（2）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠B＝∠ADC，∠APB+∠BAD+∠B＝180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴∠APB＝∠ACD．
7．解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM＝＝2，
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
8．（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB＝90°，
∴∠BAC+∠OBA＝90°，
∴∠BTA＝90°，
∴BT⊥AC，
∴＝．
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，
∴∠OAB+∠AED＝90°，
∵∠OAB+∠BAC＝90°，
∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，
∵AF为⊙O直径，
∴∠ACF＝90°，
同理：∠FCE＝∠BAC，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴FE＝FC，
∵AO＝3，AE＝4，
∴OE＝1，FE＝FC＝2，
在Rt△FCA中
∴AC＝＝4
9．解：（1）连接AP，
设AE＝x，则（7﹣x）2+x2＝25，
解得x＝3或4
所以AE的长为3或4；
（2）当△APD是等腰直角三角形时，⊙A上满足条件的点P只有一个，
此时AD＝AP＝5
（3）观察图象可知：当5＜a＜5时，存在两个点P满足条件；
10．解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB＝＝10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x＝，y＝，得x＝4，y＝3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM＝＝5，
∴点C在⊙M上．
11．（1）证明：如图1，
∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB；
（2）证明：由（1）得∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（3）解：由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，
∵AB＝DH，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
连接OD，
∵∠COD＝23°，OD＝OC，
∴∠OCD＝（180°﹣23°）＝（）°，
∴∠PCB＝180°﹣∠ACB﹣∠OCD＝（）°，
∵PC＝PB，
∴∠P＝180°﹣2×（）°＝97°．
12．解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD＝12．
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝6．
∴AC＝6．
13．证明：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OBD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD．
14．解：连接CD，
∵∠ABC＝∠DAC，
∴＝，
∴AC＝CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝AD＝6．
15．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠BAD，
在△ADF和△ADB中，
，
∴△FAD≌△BAD，
∴AF＝AB．
（2）连接OD，作OM⊥BD，则DM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM∥AD，AD＝2OM，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAB，
∴＝，
∴CD＝BD，
∵OG平分CD，
∴OG⊥CD，DG＝CG，
∴DG＝DM，
在Rt△ODG和Rt△ODM中，
，
∴△ODG≌△ODM（HL），
∴OG＝OM，
∴2OG＝AD．
（3）∵CD为Rt△CBF斜边上的中线，
∴BF＝2CD＝2（4﹣2）＝8﹣4，
设OA＝r，则AF＝AB＝2r，AC＝BC＝r，
∴CF＝（2﹣）r，
在Rt△BCF中，∵BC2+CF2＝BF2，
∴（r）2+[（2﹣）r]2＝（8﹣4）2，
∴r2＝8﹣4，
∴⊙O的面积为（8﹣4）π．
16．（1）证明：∵AB是直径，∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠CAO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△ACO是等边三角形，
∵CE＝EO，
∴AE⊥CO，∠CAE＝∠EAO＝30°，
∵∠CDE＝∠ABC＝30°，
∴∠CDE＝∠EAO，
在△CED和△OEA中，
，
∴△AEO≌△DEC．
（2）连接DO．
∵△AEO≌△DEC．∠CDE＝∠EAO
∴CD＝AO，CD∥AO，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴S平行四边形AODC＝2 S△ACO＝2××62＝18．
故答案为18．
17．解：（1）∵AF平分∠BAD，AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠BAD，∠BAE＝∠BAC，
∴∠BAF+∠BAE＝（∠BAD+∠BAC）＝×180°＝90°，即∠EAF＝90°，
∴EF为⊙O的直径；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴EF垂直平分BC．
18．解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴线段AB是⊙P的直径，
∵A（0，﹣6），B（8，0），PA＝PB，
∴P（4，﹣3）．
（2）∵＝，
∴∠OAM＝∠MAB，
∴AM是∠OAB的平分线．
19．解：（1）连接OB，
解方程x2﹣9x+18＝0，
得，x1＝3，x2＝6，
由图形可知，AC＝3，AB＝6，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OB＝AB＝3；
（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝，
∴BE＝＝．
20．（1）证明：∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝，
∴AB＝2BC＝2，
∴⊙O的半径为．
21．证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠FBE＝∠2+∠FBE，即∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝CB，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）在圆O中，∵∠A＝45°，＝，
∴∠D＝45°，
∵BD为圆的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD sin45°，
∵BD＝2，
∴BC＝．
22．解：（1）∵B（﹣6，﹣4），C（2，﹣4），
∴线段BC的垂直平分线是x＝﹣2，
∵A（2，2），C（2，﹣4），
∴线段AC的垂直平分线是y＝﹣1，
∴△ABC的外接圆的圆心M的坐标为：（﹣2，﹣1）；
（2）连接OM，作MN⊥DE于N，
由题意得，AC＝6，BC＝8，
由勾股定理得，AB＝10，
则DN＝＝2，
由垂径定理得，DE＝2DN＝4．