2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 填空题专题训练（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 填空题专题训练（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 304.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 11:08:40 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》填空题专题训练（附答案）
1．△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是 ．
2．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为 ．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
4．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为 ．
5．如图，已知线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到AD，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到BE，⊙O外接于△CDE，则⊙O的半径最小值为 ．
6．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．
7．⊙O的半径为R，圆心O到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2﹣4x+4＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 ．
8．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0），B（2，0），连接PA、PB，则当PA2+PB2取得最大值时，PO＝ ．
9．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为 ．
10．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是 ．
11．已知在半径为2的⊙O中，圆内接三角形△ABC的边AB＝2，则∠C的度数为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且∠A＝30°，AB＝8cm，BC＝AC＝5cm，则点O到AB的距离为 cm．
13．如图，已知A、B两点的坐标分别是（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标是 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝1，那么△ABC的周长为 ．
15．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝6，则△ABC的面积为 ．
16．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长是 ．
17．如图，在马路上出现了如图所示的三角形塌陷，数据如图，工人师傅想用一个圆形井盖把它覆盖，那么井盖的最小半径是 cm．
18．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上的一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是 ．
19．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是 ．
20．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O内，则过点P的最长的弦长为 cm．
21．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 ．
22．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝20，AH＝16，⊙O的半径为15，则AB＝ ．
23．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF＝，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为 ．
参考答案
1．解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为，
故答案为：．
2．解：连接OA、OC，
∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABC＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴AC＝OA＝2，
故答案为：2．
3．解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
4．解：如图，连接CE．
∵AM∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的上运动（△BOC是等腰三角形，∠BOC＝120°，OB＝OC＝3），连接OA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB＝60°，∠BCO＝30°，
∴∠ACO＝90°，
∴OA＝＝5，
∴AE′＝OA﹣OE′＝5﹣3＝2，
∴AE的最小值为2．
故答案为：2．
5．解：如图，连接OD、OA、OC、OB、OE．
∵OA＝OA，OD＝OC，AD＝AC，
∴△OAD≌△OAC，
∴∠OAC＝∠OAD＝∠CAD＝60°，
同法可证：∠OBC＝∠OBE＝∠ABE＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴当OC⊥AB时，OC的长最短，此时OC＝OA sin60°＝3，
故答案为3．
6．解：过B作BD∥AC交x轴于D，
∵C是OB的中点，
∴OA＝AD，
∴AC＝BD，
∴当BD取最小值时，AC最小，
由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，
∵A（3，0），
∴D（6，0），
∵M（3，4），
∴DM＝＝5，
∴BD＝5﹣1＝4，
∴AC＝BD＝2，即线段AC的最小值为2；
故答案为：2．
7．解：解方程x2﹣4x+4＝0，得x1＝x2＝2．
∵R、d分别是方程x2﹣4x+4＝0的两根，
∴R＝2，d＝2，
当R＝2，d＝2时，点A在⊙O上；
故答案是点A在⊙O上．
8．解：设P（x，y），
∵PA2＝（x+2）2+y2，PB2＝（x﹣2）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+8＝2（x2+y2）+8，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+8，
当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的长度为：OM+PM＝10+2＝12，
故答案为：12
9．解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，
∠A′＝180°﹣∠A＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
10．解：当点在圆内时，最近点的距离为5，最远点的距离为7，则直径是5+7＝12，因而半径是6；
故答案为：6
11．解：如图，∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝∠AOB＝45°，
∴∠C′＝180°﹣45°＝135°，
即圆内接三角形△ABC的∠C的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．
12．解：连接OC，OB，交AB于点M，
∵∠A＝30°，BC＝5cm，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，BC＝5，
∴OB＝OC＝BC＝5
∵AB＝8cm，
∴AM＝BM＝4，
∵OM⊥AB，
∴OM＝3．
故答案为3
13．解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
故答案为：
14．解：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AC、AB的中点，
∴MN是等边△ABC的中位线，
∵MN＝1，
∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，
∴△ABC的周长为：3AB＝6．
故答案是：6．
15．解：作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
∵∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
在△OBD中，OD＝＝3，
当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝6+3，此时△ABC的面积＝×6×（6+3）＝18+9；
当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝6﹣3，此时△ABC的面积＝×6×（6﹣3）＝18﹣9．
综上所述，△ABC的面积为18+9或18﹣9．
故答案为18+9或18﹣9．
16．解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18﹣14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13．
故答案为：13．
17．解：∵502+502＜802，
∴△ABC是钝角三角形，
所以工人师傅想用一个圆形井盖把它覆盖，那么井盖的最小半径是80cm＝40cm，
故答案为：40．
18．解：在等腰Rt△ABC中，BC＝4，
∴AB是⊙O的直径，AB＝4，
∴∠D＝90°，
∵AD＝，AB＝4，
∴BD＝，
∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝＝，即BE＝5AE，
在Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（4﹣AE）2+42＝（5AE）2，
解得，AE＝1，
故答案为：1．
19．解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
故答案为6．
20．解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O内，
∴过点P的最长的弦长就是直径的长＝8cm．
故答案为8．
21．解：设P（x，y），
∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，
当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的最小值为CO﹣CP＝﹣1，
∴PA2+PB2最小值为14﹣4．
故答案为：14﹣4．
22．解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
有圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝24，
故答案为：24．
23．解：延长AO交BD于H，连接OB，OD，
∵∠ADC＝∠AOC＝（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）＝（180°﹣4∠CAB）＝90°﹣2∠CAB，
∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，
∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，
∴∠AOB＝∠AOD，
在△OAB与△OAD中，
∴△OAB≌△OAD，
∴AB＝AD，
∵∠OAB＝∠OAD，
∴AH垂直平分BD，
∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，
∴OB∥AF，
∴，
令OH＝4a，则BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，
∴BD＝2BH＝12，
当O′在BD上时，O′H＝O′B﹣BH＝4，
∴OO′＝＝4，
过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，
则四边形OAO′B是菱形，
∴O′B＝OB＝5，BK＝AB＝3，
∴OK＝＝，
∴OO′＝2OK＝2．
故答案为：4或2．
1．△ABC的三边分别是3，4，5，则△ABC的外接圆的半径是 ．
2．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为 ．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
4．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于点E，则AE的最小值为 ．
5．如图，已知线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点（不与A、B重合），将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到AD，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到BE，⊙O外接于△CDE，则⊙O的半径最小值为 ．
6．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连接BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．
7．⊙O的半径为R，圆心O到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2﹣4x+4＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 ．
8．在平面直角坐标系中，M（6，8），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（﹣2，0），B（2，0），连接PA、PB，则当PA2+PB2取得最大值时，PO＝ ．
9．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为 ．
10．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是 ．
11．已知在半径为2的⊙O中，圆内接三角形△ABC的边AB＝2，则∠C的度数为 ．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且∠A＝30°，AB＝8cm，BC＝AC＝5cm，则点O到AB的距离为 cm．
13．如图，已知A、B两点的坐标分别是（2，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上第一象限内的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标是 ．
14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝1，那么△ABC的周长为 ．
15．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝6，则△ABC的面积为 ．
16．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝18，则AB的长是 ．
17．如图，在马路上出现了如图所示的三角形塌陷，数据如图，工人师傅想用一个圆形井盖把它覆盖，那么井盖的最小半径是 cm．
18．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上的一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是 ．
19．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是 ．
20．已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O内，则过点P的最长的弦长为 cm．
21．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 ．
22．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝20，AH＝16，⊙O的半径为15，则AB＝ ．
23．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF＝，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为 ．
参考答案
1．解：∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆的半径为，
故答案为：．
2．解：连接OA、OC，
∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABC＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴AC＝OA＝2，
故答案为：2．
3．解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
4．解：如图，连接CE．
∵AM∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的上运动（△BOC是等腰三角形，∠BOC＝120°，OB＝OC＝3），连接OA交于E′，此时AE′的值最小．
∵∠ACB＝60°，∠BCO＝30°，
∴∠ACO＝90°，
∴OA＝＝5，
∴AE′＝OA﹣OE′＝5﹣3＝2，
∴AE的最小值为2．
故答案为：2．
5．解：如图，连接OD、OA、OC、OB、OE．
∵OA＝OA，OD＝OC，AD＝AC，
∴△OAD≌△OAC，
∴∠OAC＝∠OAD＝∠CAD＝60°，
同法可证：∠OBC＝∠OBE＝∠ABE＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴当OC⊥AB时，OC的长最短，此时OC＝OA sin60°＝3，
故答案为3．
6．解：过B作BD∥AC交x轴于D，
∵C是OB的中点，
∴OA＝AD，
∴AC＝BD，
∴当BD取最小值时，AC最小，
由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值，
∵A（3，0），
∴D（6，0），
∵M（3，4），
∴DM＝＝5，
∴BD＝5﹣1＝4，
∴AC＝BD＝2，即线段AC的最小值为2；
故答案为：2．
7．解：解方程x2﹣4x+4＝0，得x1＝x2＝2．
∵R、d分别是方程x2﹣4x+4＝0的两根，
∴R＝2，d＝2，
当R＝2，d＝2时，点A在⊙O上；
故答案是点A在⊙O上．
8．解：设P（x，y），
∵PA2＝（x+2）2+y2，PB2＝（x﹣2）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+8＝2（x2+y2）+8，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+8，
当点P处于OM与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的长度为：OM+PM＝10+2＝12，
故答案为：12
9．解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，
∠A′＝180°﹣∠A＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
10．解：当点在圆内时，最近点的距离为5，最远点的距离为7，则直径是5+7＝12，因而半径是6；
故答案为：6
11．解：如图，∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝∠AOB＝45°，
∴∠C′＝180°﹣45°＝135°，
即圆内接三角形△ABC的∠C的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．
12．解：连接OC，OB，交AB于点M，
∵∠A＝30°，BC＝5cm，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，BC＝5，
∴OB＝OC＝BC＝5
∵AB＝8cm，
∴AM＝BM＝4，
∵OM⊥AB，
∴OM＝3．
故答案为3
13．解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
故答案为：
14．解：∵⊙O是等边△ABC的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AC、AB的中点，
∴MN是等边△ABC的中位线，
∵MN＝1，
∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，
∴△ABC的周长为：3AB＝6．
故答案是：6．
15．解：作AD⊥BC于D，如图，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在AD上，
∵∠BOC＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
在△OBD中，OD＝＝3，
当等腰△ABC为锐角三角形时，AD＝6+3，此时△ABC的面积＝×6×（6+3）＝18+9；
当等腰△A′BC为钝角三角形时，A′D＝6﹣3，此时△ABC的面积＝×6×（6﹣3）＝18﹣9．
综上所述，△ABC的面积为18+9或18﹣9．
故答案为18+9或18﹣9．
16．解：连接OP，OQ，
∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝9，
∵MH+NI＝AC+BC＝18，MP+NQ＝14，
∴PH+QI＝18﹣14＝4，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝9+4＝13．
故答案为：13．
17．解：∵502+502＜802，
∴△ABC是钝角三角形，
所以工人师傅想用一个圆形井盖把它覆盖，那么井盖的最小半径是80cm＝40cm，
故答案为：40．
18．解：在等腰Rt△ABC中，BC＝4，
∴AB是⊙O的直径，AB＝4，
∴∠D＝90°，
∵AD＝，AB＝4，
∴BD＝，
∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴＝＝，即BE＝5AE，
在Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（4﹣AE）2+42＝（5AE）2，
解得，AE＝1，
故答案为：1．
19．解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
故答案为6．
20．解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O内，
∴过点P的最长的弦长就是直径的长＝8cm．
故答案为8．
21．解：设P（x，y），
∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，
当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的最小值为CO﹣CP＝﹣1，
∴PA2+PB2最小值为14﹣4．
故答案为：14﹣4．
22．解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
有圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝24，
故答案为：24．
23．解：延长AO交BD于H，连接OB，OD，
∵∠ADC＝∠AOC＝（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）＝（180°﹣4∠CAB）＝90°﹣2∠CAB，
∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，
∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，
∴∠AOB＝∠AOD，
在△OAB与△OAD中，
∴△OAB≌△OAD，
∴AB＝AD，
∵∠OAB＝∠OAD，
∴AH垂直平分BD，
∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，
∴OB∥AF，
∴，
令OH＝4a，则BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，
∴BD＝2BH＝12，
当O′在BD上时，O′H＝O′B﹣BH＝4，
∴OO′＝＝4，
过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，
则四边形OAO′B是菱形，
∴O′B＝OB＝5，BK＝AB＝3，
∴OK＝＝，
∴OO′＝2OK＝2．
故答案为：4或2．