2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件优生辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》优生辅导训练（附答案）
1．已知⊙O的半径为4cm，若OA＝5cm，则点A与⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定
2．下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
3．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA＝，P为⊙O上一点，延长PO、PA交⊙O于M、N．当MN取最大值时，PA的长等于（　　）
A． B． C． D．
4．下列关于圆的说法，正确的是（　　）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴 D．过三点可以作一个圆
5．下列说法：（1）等弧所对的圆心角相等；（2）经过三点可以作一个圆；（3）劣弧一定比优弧短；（4）平分弦的直径垂直于这条弦；（5）圆的内接平行四边形是矩形．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）
A．50° B．60° C．25° D．30°
7．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
9．已知⊙O的半径为5，点A到点O的距离为7，则点A在圆 　 　．（填“内”或“上”或“外”）
10．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（3）圆周角等于圆心角的一半；（4）平分弦的直径平分弦所对的优弧．其中正确的有　 　（只填序号）
11．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　．
12．在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在　 　．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
13．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为　 　．
14．要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是　 　，另一个是　 　，其中，　 　确定圆的位置，　 　确定圆的大小．
15．如图所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 　 　点．
16．在半径长为的圆中，圆内接△ABC的边AB长为，则∠C的度数为 　 　．
17．如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
18．操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
19．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）圆心M的坐标为　 　；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝8cm，点P从点A向点D运动，运动的速度为1cm/s，点Q从点C向点B运动，运动的速度为2cm/s，运动时间为ts，若P、Q两点有一点停止，则另一点随之停止．
（1）若点Q正好在以PD为直径的圆上，试求出所有满足条件的t的值；
（2）若以点P为圆心，PA为半径画⊙P，试判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由．
21．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．
（1）在图中清晰标出点P的位置；
（2）点P的坐标是　 　．
22．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　 　．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．
23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求∠BAC．
24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求EF：FD的值．
参考答案
1．解：∵OA＝5cm，⊙O的半径为4cm，
∴d＞r，
∴点A在圆外．
故选：A．
2．解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
3．解：当OA⊥PN时，MN的值最大，
在Rt△POA中，由勾股定理得，
PA＝＝＝，
故选：C．
4．解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；
C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，正确，符合题意；
D、过不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
5．解：（1）等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
（2）经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；
（3）劣弧不一定比优弧短，故原命题错误，不符合题意；
（4）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；
（5）圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，
正确的有2个，
故选：B．
6．解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠CDB）＝（180°﹣130°）＝25°，
故选：C．
7．解：连接CF、GF，如图：
在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，
∴△AFD∽△EAD，
∴＝，
又∵DF＝5EF＝5，
∴AD＝＝＝＝CD，
在Rt△AFD中，AF＝＝＝，
∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF＝180°，
∵∠FGA+∠DGF＝180°，
∴∠FGA＝∠FCD，
∴△AFG∽△DFC，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝﹣，
故选：D．
8．解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴PQ＝﹣1，
故选：B．
9．解：∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点A在⊙O外．
故答案为：外．
10．解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，此说法错误；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此说法正确；
（3）同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，此说法错误；
（4）平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的优弧，此说法错误；
故答案为：（2）．
11．解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣3＝4，
∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+3＝10，
∴圆的半径为5，
故答案为2或5．
12．解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，
∴OP＞⊙O的半径，
∴点P在⊙O外．
故答案为圆外．
13．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
14．解：要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
故答案为：圆心，半径，圆心，半径．
15．解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，
则△ABC的外接圆圆心是点G，
故答案为：G．
16．解：如图，∵OA＝OB＝4，AB＝4，
∴OA2+OB2＝48+48＝96＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝∠AOB＝45°，
∴∠C′＝180°﹣45°＝135°，
即圆内接三角形△ABC的∠C的度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．
17．证明：连接AC、BD，交于点O，
∵四边形ABCD是矩形．
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以AC为半径的同一个圆上．
18．解：
（1）对角互补（对角之和等于180°）；
如图1，矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．
如图2，在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，A，B，C，D四点不共圆
如图3，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，∠A＝∠B，∠C＝∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．
综上所述，相对的两个角之间的关系是：互补．
如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．
图4：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°；
图5：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，
∴∠A+∠C＜180°．
19．解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM＝＝2，
线段MD＝＝＜2，
所以点D在⊙M内．
20．解：（1）如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于E．
3
若点Q正好在以PD为直径的圆上，则∠PQD＝90°，
∵QE⊥PD，
∴∠QED＝∠QEP＝90°，
∵∠PQE+∠EQD＝90°，∠EQD+∠EDQ＝90°，
∴∠PQE＝∠EDQ，
∴△PEQ∽△QED，
∴，
∵PA＝tcm，CQ＝DE＝2tcm，QE＝CD＝3cm，
∴PE＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，
∴32＝（8﹣3t） 2t，
解得t＝．
∴满足条件的t的值为．
（2）∵AP2＝t2，PQ2＝32+（8﹣3t）2，
∴PQ2﹣AP2＝32+（8﹣3t）2﹣t2＝8（t﹣3）2+1，
∵8（t﹣3）2≥0，
∴PQ2﹣AP2＞0，
∴PQ＞AP，
∴点Q在⊙P外．
21．解：弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，
因而交点P的坐标是（6，6）．
22．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，
S△ABC＝AB×BC＝BC，
S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．
23．解：由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC＝68°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣68°＝22°．
24．（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点．
∴OC⊥AD，AC＝CD，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，
∴sin∠CBA＝＝，
∴sin∠CAD＝，则CE＝，
则AE＝＝＝ED，
∵cos∠CBA＝，则cos∠CAD＝，
则AF＝＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，
则FD＝AD﹣AF＝﹣＝，
∴EF：FD＝9：7．
备注：也可以利用三角形相似的解答方式如下：
∵AB＝5，AC＝3，则BC＝4，
∵∠CAD＝∠CBA，∠ACB＝∠ACF，
∴△CAF∽△CBA，
∴，即，解得CF＝，则BF＝BC﹣CF＝4﹣＝；
同理可得：△CEF∽△BDF，
∴＝．