2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形选择题专题训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》选择题专题训练（附答案）
1．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（　　）
A．36° B．45° C．54° D．60°
2．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则tan∠MFG的值是（　　）
A． B． C． D．
3．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．2
4．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝1，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）
A．72° B．54° C．36° D．64°
7．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（　　）
A．0 B．2 C．1 D．
9．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，BE，BD，AC与BE，BD分别交于点F，G，若AB＝2，则FG的长为（　　）
A．3﹣ B．﹣1 C． D．2﹣3
10．如图，若⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（　　）
A．2：3 B．：1 C．： D．1：
嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用n个△ABC纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（　　）
A．正十二边形 B．正十边形 C．正九边形 D．正八边形
12．如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，E为格点．⊙O为大正方形的内切圆，BC交⊙O于点D，则cos∠AED＝（　　）
A． B． C． D．
13．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（　　）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
14．如图，两个正六边形ABCDEF、EDGHIJ的顶点A、B、H、I在同一个圆上，点P在上，则tan∠API的值是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．1
15．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
16．如图，将边长为6的正六边形ABCDEF沿HG折叠，点B的对应点B′恰好落在边AF的中点上，点C、D的对应点为C′、D′，延长B′C′交EF于点M，则C′M的长为（　　）
A．1 B． C． D．
17．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（　　）
A．18° B．30° C．36° D．40°
18．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环共需（　　）个五边形．
A．7 B．8 C．9 D．10
19．如图，是圆的内接n边形．M，N分别从B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，则∠APN的度数和正多边形边数n的关系是（　　）
A． B． C． D．
20．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
21．如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（　　）
A． B． C． D．
22．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
23．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（　　）
A．12° B．15° C．30° D．48°
24．如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于（　　）
A．3 B． C．2 D．
25．如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE交点为Q，则四边形APQD的面积等于（　　）
A． B． C． D．
参考答案
1．解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PB，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣∠P′BC＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
2．解：连接EG，
∵EG是切点，
∴EG过⊙O，
∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，
∴AE＝AB，EG＝BC，
根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．
∵tan∠MFG＝tan∠MEG＝＝．
故选：B．
3．解：如图，
∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF＝EF＝PE＝HP，∠GFE＝∠FEP＝∠HPE＝135°，
∴∠GFC＝∠B'FE＝∠DEP＝∠A'PH＝45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG＝x，则GF＝x，B'F＝x，
∴BG＝B'G＝x+x，
∴BC＝x+x+x＝2+，
∴x＝1，
∴GF＝，
故选：C．
4．解：如图所示，连接OE、OF，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EOF＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠OEM＝60°，
∴OM＝OE sin∠OEM，
∴OE＝＝，
∵∠OEN＝30°，
∴ON＝OE＝，EN＝1．
∴CE＝2EN＝2．
∴S△ACE＝．
故选：D．
5．解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
6．解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
7．解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
8．解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AD＝2，EC＝，
∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，
∵a+空白＝4，b+空白＝3，
∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，
故选：C．
9．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAF＝∠ABF＝∠DBE＝36°，
∴FA＝FB，
∴∠ABG＝∠AGB＝∠BFG＝72°，
∴AB＝AG＝2，BG＝BF，
设AF＝BF＝BG＝x，
∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠GAB，
∴△BGF∽△AGB，
∴BG2＝GF GA，
∴x2＝（2﹣x）×2，
∴x2+2x﹣4＝0，
∴x＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），
∴FG＝AG﹣AF＝2﹣（﹣1+）＝3﹣，
故选：A．
10．解：连接OA、OB．OE，如图所示：
设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，
∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为R：R＝：1，
∴正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比＝内接正方形和内接正六边形的边长之比＝4：6＝2：3，
故选：A．
11．解：∵正六边形每一个内角为120°，
∴∠ACB＝120°﹣80°＝40°，
∴∠CAB＝180°﹣120°＝60°，
∴图2中正多边形的每一个内角为60°+80°＝140°，
∵＝9，
∴可以得到外轮廓的图案是正九边形．
故选：C．
12．解：在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2，
∴BC＝＝＝，
∴cos∠ABC＝＝＝，
∵∠AED＝∠ABC，
∴cos∠AED＝cos∠ABC＝，
故选：B．
13．解：如图，设AB是正多边形的一边，O为正多边形的内切圆与外接圆的圆心，OC⊥AB于C，
∵正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，
∴＝，
在Rt△AOC中，cos∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝90°，
则正多边形边数为：＝4．
故选：C．
14．解：如图，连接AE，EI，AH，过点J作JM⊥EI于M．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠DEF＝∠F＝120°，
∵FA＝FE，
∴∠FEA＝∠FAE＝30°，
∴∠AED＝90°，
同法可证，∠DEI＝∠EIH＝90°，
∴∠AED+∠DEI＝180°，
∴A，E，I共线，
设IH＝IJ＝JE＝a，
∵JM⊥EI，
∴EM＝MI＝a，
∴AI＝2EI＝2a，
∵∠API＝∠AHI，
∴tan∠API＝tan∠AHI＝＝＝2，
故选：A．
15．解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
16．解：如图，过点H作FA的延长线的垂线HQ，
∵∠BAF＝120°，
∴∠HAQ＝60°，∠HQA＝90°，
∴∠AHQ＝30°，
设AH＝x，∴AQ＝x，QH＝x，
∴BH＝B′H＝AB﹣AH＝6﹣x，
∵AB′＝AB＝3，
∴B′Q＝B′A+AQ＝3+x，
在Rt△B′HQ中，根据勾股定理，得
B′H2＝B′Q2+QH2，
∴（6﹣x）2＝（3+x）2+x2，
解得x＝，
∴B′H＝6﹣x＝＝，
∵∠HAB′＝∠F＝∠HB′M＝120°，
∴∠AHB′+∠AB′H＝60°，∠FB′M+∠AB′H＝60°，
∴∠AHB′＝∠FB′M，
∴△AB′M∽△FMB′，
∴＝，
∴＝，
解得B′M＝7，
∴C′M＝B′M﹣B′C′＝7﹣6＝1．
故选：A．
17．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∴∠EAC＝72°，
∴∠AED+∠EAC＝180°，
∴DE∥AF，
∵AE＝AF＝DE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴∠EDF＝∠EAF＝72°，
∵∠EDC＝108°，
∴∠FDC＝36°，
故选：C．
18．解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故选：D．
19．解：∵点M、N以相同的速度中⊙O上逆时针运动，
∴＝，
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠APN＝∠ABP+∠NBC，
∵∠APN＝∠ABP+∠BAM＝∠ABP+∠CBN＝∠ABC，
∴∠APN的度数等于多边形的内角的度数，
当正多边形为n边形时，其内角和为（n﹣2）180°，
∵每个内角的度数为，
∴∠APN＝，
故选：B．
20．解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r sin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故选：C．
21．解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN＝S△PCD＝a2，
∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，
∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，
∵PM＝CM，
∴S△PBM＝S△BMC＝a2，
∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，
故选：A．
22．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
23．解：连接OA、OC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴∠AOC＝72°×2＝144°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，
∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．
故选：A．
24．解：连接BD，如图所示：
由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，
∴BD＝a．
∴BH＝DB+DH＝（+1）a．
在Rt△ABH中，tan∠HAB＝＝+1．
故选：B．
25．解：设AD与BE交于点R，AC与BD交于点H，AD与CE交于点J，连接RQ，如图所示：
∵由五角星的性质可知：△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，AP＝AR，JR＝JQ＝HQ＝HP，AR＝CQ，
∴RQ∥AC，
同理：PQ∥AD，
∴四边形APQR为平行四边形，
∵AP＝AR，
∴四边形APQR为菱形，
∴△APR与△PQR面积相等，PQ＝RQ，
在△HPQ和△JRQ中，，
∴△HPQ≌△JRQ（SSS），
∴△HPQ和△JRQ的面积相等，
设△APR的面积为S1，△HPQ的面积为S2，
则1＝6S1+2S2，
∴SAPQD＝3S1+S2＝，
故选：D．