2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形优生辅导训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》优生辅导训练（附答案）
1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（　　）
A．45° B．38° C．36° D．30°
2．若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
3．下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　）
A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为720°
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．75°
5．若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 　 　．
6．正六边形的半径为3，它的边长是 　 　，它的中心角是 　 　，它的面积是 　 　．
7．如图，某酒店有一张桌面边长为2米的正六边形桌子，每边围坐两人（平均每人占据1米长的桌沿），可坐下12人．现酒店方想将桌面改成正十二边形，每边坐1人，也可坐下12人．改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后，围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少 　 　米．（精确到0.01米，参考数据：≈1.73）
8．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为 　 　．
9．已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为 　 　cm．
10．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为 　 　cm2．
11．如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 　 　．
12．已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 　 　．
13．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 　 　．
14．若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的边长是 　 　．
15．如图，正六边形ABCDEF的面积是，则对角线AD的长是 　 　．
16．如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 　 　．
17．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 　 　．
18．一个正多边形的边长为6，它的内角和是外角和的2倍，则它的边心距是　 　．
19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D，E重合），求∠CPD的余角的度数．
21．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．
22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
23．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
24．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DP，C．
（1）∠CPD＝　 　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
25．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
26．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．
参考答案
1．解：在正五边形ABCDE中，∠B＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣108°）＝36°．
故选：C．
2．解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为24，
∴边长为4；
∵∠AOB＝×360°＝60°，且OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
即该圆的半径为4，
故选：B．
3．解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意；
C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意；
D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意．
故选：C．
4．解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：C．
5．解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝8，AB＝BC＝AC＝4，
故答案为：4．
6．解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∴中心角是：60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝3，
∴它的边长是3；
在Rt△OBH中，OH＝OB sin60°＝3×＝，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××3×＝．
故答案为：3，60°，．
7．解：如图，由题意得，AB＝AC＝DE，BD＝BC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
过A作AH⊥BC于H，
∴BC＝2BH，∠AHB＝90°，
设BH＝x，则BC＝BD＝2x，
∴AB＝DE＝x，
∵AE＝2米，
∴2×x+2x＝2，
解得x≈0.46，
∴BC＝2x＝0.92，
∴围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少1﹣0.92＝0.08（米），
答：围坐的12人每人占据的桌沿长度比改造前减少0.08米．
故答案为：0.08．
8．解：如图，连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H．
∵OH⊥AE，
∴∠AH＝EH，
∵∠AOE＝120°，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴AE＝2AH＝2×1×cos30°＝，
∴AG＝AC＝，
∵OG⊥AD，
∴OG＝＝＝，
故答案为：．
9．解：如图所示：连接BO，
由题意可得，OD⊥BC，OD＝cm，∠OBD＝30°，
故BO＝2DO＝2（cm）．
故答案为：2．
10．解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∴OH＝OA cos30°＝2×＝3（cm），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××＝18（cm）2．
故答案为：18．
11．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．
12．解：圆内接正方形的边BC所对的圆心角360°÷4＝90°，则360°﹣90°＝270°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
BC所对的圆周角的度数是90×＝45°或270°×＝135°．
故答案为45°或135°．
13．解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
14．解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图
正六边形中心角∠AOB＝＝60°，
∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，
∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，
即∠FON＝∠BOM，
在△FON和△BOM中
，
∴△FON≌△BOM（AAS），
∴S△FON＝S△BOM，
∴S多边形AMONF＝S四边形ABOF＝2S△OAF，
在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，
sin60°＝，
∴OG＝OF＝AF，
∴S△OAF＝AF OG＝AF2，
即2×AF2＝2，
解得AF＝2，
故答案为2．
15．解：设正六边形ABCDEF的边长为x，
∵正六边形ABCDEF的面积是，
∴6×＝24，
解得x＝4
连接AC，
∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC＝CD，∠B＝∠BCD＝∠BAF＝120°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∵∠BAD＝∠FAD＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2×4＝8，
故答案为：8．
16．解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝CD cos30°＝2，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝＝＝2，
故答案为：2．
17．解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
18．解：设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n﹣2） 180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n﹣2） 180°＝360°×2，
解得：n＝6．
∴这个正多边形是正六边形，
∴它的边心距＝6×＝3，
故答案为：3．
19．解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
20．解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∴∠CPD的余角的度数为90°﹣36°＝54°．
21．解：连接OB，OG⊥CB于G，
∵∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴CG＝BG＝CB＝×6＝3cm，
在Rt△COG中，r6＝OG＝＝3（cm），
∴S6＝×6×6×3＝54（cm2）．
22．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
23．解：（1）证明：连接CD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACD，
∠E＝∠B．
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，
连接OD、CE，
若∠E＝45°，
则∠AOD＝90°，
∵AC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴AD＝2．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．
24．解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
25．解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC＝90°，AC＝AB，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝＝，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝PE+BE＝+＝2．
26．（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．