2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.7切线长定理优生辅导训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.7切线长定理优生辅导训练（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 537.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 11:32:47 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》优生辅导训练（附答案）
1．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
2．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
4．如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3．则DE长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE FB＝AB CF．其中正确的只有（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（ ）
A．6圈 B．5圈 C．4.5圈 D．4圈
10．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是 °．
12．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
13．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝ ，△PMN的面积是 ．
15．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B．PA＝5，在劣弧上取点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长等于 ．
16．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
18．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
19．如图，⊙O的直径AB＝18，AC和BD是它的两条切线，CD与⊙O相切于E，且与AC、BD相交于点C、D，设
AC＝x，BD＝y，试求xy的值．
20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
21．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
22．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
23．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
24．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，求△PED的周长．
25．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
26．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
27．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．
参考答案
1．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
2．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
3．解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
4．解：连OM，ON，如图，
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM CN＝BC2，
∴＝．
故选：B．
5．解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故选：C．
6．解：连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝，AC＝3．
∴CD＝，
∵OD＝OC＝OA，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC＝90°．
∵∠OCD+∠DCB＝90°，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∴＝，
∴BC＝＝＝4，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠B+∠DCB＝90°，∠B+∠CDE＝90°，∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CE＝DE．
∴DE＝BC＝×4＝2．
故选：B．
7．解：连接OD，DE，EB，
CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，
∵OC＝OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD＝∠COB，
∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，
∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，
∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB＝GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，
又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，
∴∠BCE＝∠GBA，
而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB＝∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE GB＝AB CF，
又∵FB＝GB，
∴CE FB＝AB CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
8．解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE＝AB
∵OB＝OE，AO＝AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB＝∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2
∵OB＝1，AB＝3
∴AO＝
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO＝OF：OB
∴1：＝OF：1
∴OF＝
sin∠CBE＝＝
故选：D．
9．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等
∴圆在菱形的边上转了4圈
∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，
∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈
∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．
故选：B．
10．解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，
∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．
正确的有②③．
故选：B．
11．解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中
，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，
Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
故答案为：70°．
12．解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
13．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝15；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝30．
即△PCD的周长是：30．
故答案为：30．
14．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB；
∵CD＝CB，
∴CM＝CD＝4．
设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1；
故AE＝1．
（2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3；
则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP，
∴PM＝PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME cos∠DEC＝，MR＝ME sin∠DEC＝；
过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM＝；
易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，
∴＝（）2＝；
∵S△REM＝MR RE＝××＝，
∴S△PMG＝×＝，
故S△PMN＝2S△PMG＝．
15．解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；
故△PDE的周长为10．
16．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
17．解：①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；
②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，
∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．
18．解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝，
即BC＝；
②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG＝＝3，
∴EG＝AG＝．
19．解：连接OC，OD．
∵AB＝18，∴OA＝OB＝9，
∵AC和BD是它的两条切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∴AC∥BD，
∴∠ACD+∠BDE＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵AC＝x，BD＝y，
∴OC＝，OD＝，
∵CD是圆O的切线，
∴CE＝AC＝x，DE＝BD＝y，
∴OC2+OD2＝CD2，
即x2+81+y2+81＝（x+y）2，
整理得2xy＝162，
∴xy＝81．
20．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，
∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．
设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，
∴x+（x+6）＝10．
∴x＝2．
∴AD＝2，BC＝2+6＝8．
方法2：连OD、OE、OC，
由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，
设AD＝x，则BC＝x+6，
由射影定理可得：OE2＝DE EC．
即：x（x+6）＝16，
解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）
∴AD＝2，BC＝2+6＝8．
（2）存在符合条件的P点．
设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，∴y＝；
②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．
故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．
21．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
22．（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
23．解：如图所示，结论：①∠3＝∠4；或∠7＝∠8；或∠1＝∠5；或∠2＝∠6；
②OP⊥AB；③AC＝BC．
证明②：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°．
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
∵，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴PA＝PB，∠3＝∠4，
∴OP⊥AB．
24．解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB＝4，
∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∴△PED的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．
25．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
26．解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴△PDE的周长为20；
（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO＝∠EBO＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°
∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．
27．解：∵PA，PB是圆O的切线．
∴PA＝PB，∠PAB＝60°
∴△PAB是等边三角形．
在直角△ABC中，AB＝AC sin60°＝2×＝
∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝3．
1．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（ ）
A．6 B．3 C．6 D．3
2．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
4．如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3．则DE长为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE FB＝AB CF．其中正确的只有（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了（ ）
A．6圈 B．5圈 C．4.5圈 D．4圈
10．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（ ）个：
①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是 °．
12．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 ．
13．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝15，则△PCD的周长为 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝ ，△PMN的面积是 ．
15．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B．PA＝5，在劣弧上取点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长等于 ．
16．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB于点E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周长；
②求∠EOF的度数．
18．已知：AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
19．如图，⊙O的直径AB＝18，AC和BD是它的两条切线，CD与⊙O相切于E，且与AC、BD相交于点C、D，设
AC＝x，BD＝y，试求xy的值．
20．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．
（1）求边AD、BC的长；
（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
21．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
22．如图，AB为⊙O直径，PA、PC分别与⊙O相切于点A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q．
（1）求证：OQ＝PQ；
（2）连BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长．
23．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
24．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，求△PED的周长．
25．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
26．如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA＝10，求△PDE的周长．
（2）若∠P＝50°，求∠O度数．
27．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．
参考答案
1．解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB＝60°，
在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，
∴光盘的直径为6，
故选：A．
2．解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB＝3，
∴PA＝．
故选：A．
3．解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
4．解：连OM，ON，如图，
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM CN＝BC2，
∴＝．
故选：B．
5．解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故选：C．
6．解：连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝，AC＝3．
∴CD＝，
∵OD＝OC＝OA，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC＝90°．
∵∠OCD+∠DCB＝90°，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∴＝，
∴BC＝＝＝4，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠B+∠DCB＝90°，∠B+∠CDE＝90°，∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CE＝DE．
∴DE＝BC＝×4＝2．
故选：B．
7．解：连接OD，DE，EB，
CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，
∵OC＝OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD＝∠COB，
∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，
∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，
∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB＝GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，
又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，
∴∠BCE＝∠GBA，
而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB＝∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE GB＝AB CF，
又∵FB＝GB，
∴CE FB＝AB CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
8．解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE＝AB
∵OB＝OE，AO＝AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB＝∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2
∵OB＝1，AB＝3
∴AO＝
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO＝OF：OB
∴1：＝OF：1
∴OF＝
sin∠CBE＝＝
故选：D．
9．解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等
∴圆在菱形的边上转了4圈
∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，
∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈
∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．
故选：B．
10．解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE，
∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC．
①AF＝BG；④BG＜CG无法判断．
正确的有②③．
故选：B．
11．解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中
，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，
Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．
故答案为：70°．
12．解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故答案为：14．
13．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB＝15；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∴△PDC的周长＝PC+CE+DE+DP＝PC+AC+PD+DB＝PA+PB＝2PA＝30．
即△PCD的周长是：30．
故答案为：30．
14．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB；
∵CD＝CB，
∴CM＝CD＝4．
设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1；
故AE＝1．
（2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3；
则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP，
∴PM＝PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME cos∠DEC＝，MR＝ME sin∠DEC＝；
过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM＝；
易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，
∴＝（）2＝；
∵S△REM＝MR RE＝××＝，
∴S△PMG＝×＝，
故S△PMN＝2S△PMG＝．
15．解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；
故△PDE的周长为10．
16．解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA＝PB＝6，
同理可得：AC＝CE，BD＝DE，
△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；
（2）∵PA PB与圆O相切，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC＝∠COE，
同理：∠DOE＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝65°．
17．解：①∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
又∵直线EF是⊙O的切线，
∴EB＝EQ，FQ＝FA，
∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE+PF+EB+FA＝PA+PB＝2PA＝24cm；
②连接OE，OF，则OE平分∠BEF，OF平分∠AFE，
则∠OEF+∠OFE＝（∠P+∠PFE）+∠（P+∠PEF）＝（180°+40°）＝110°，
∴∠EOF＝180°﹣110°＝70°．
18．解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝，
即BC＝；
②∵AB为⊙O的直径，∠BAD＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG＝＝3，
∴EG＝AG＝．
19．解：连接OC，OD．
∵AB＝18，∴OA＝OB＝9，
∵AC和BD是它的两条切线，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∴AC∥BD，
∴∠ACD+∠BDE＝180°，
∴∠OCD+∠ODC＝90°，
∵AC＝x，BD＝y，
∴OC＝，OD＝，
∵CD是圆O的切线，
∴CE＝AC＝x，DE＝BD＝y，
∴OC2+OD2＝CD2，
即x2+81+y2+81＝（x+y）2，
整理得2xy＝162，
∴xy＝81．
20．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，
∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．
设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，
∴x+（x+6）＝10．
∴x＝2．
∴AD＝2，BC＝2+6＝8．
方法2：连OD、OE、OC，
由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，
设AD＝x，则BC＝x+6，
由射影定理可得：OE2＝DE EC．
即：x（x+6）＝16，
解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）
∴AD＝2，BC＝2+6＝8．
（2）存在符合条件的P点．
设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，∴y＝；
②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．
故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．
21．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
22．（1）证明：连接OP．
∵PA、PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA＝PC，OA⊥PA，
∵OA＝OC，OP＝OP，
∴△OPA≌△OPC（SSS），
∴∠AOP＝∠POC，
∵QP⊥PA，
∴QP∥BA，
∴∠QPO＝∠AOP，
∴∠QOP＝∠QPO，
∴OQ＝PQ．
（2）设OA＝r．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OB∥QD，
∴∠QDC＝∠B，
∵∠OCB＝∠QCD，
∴∠QCD＝∠QDC，
∴QC＝QD＝6，∵QO＝QP，
∴OC＝DP＝r，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝∠PCQ＝90°，
在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2+QC2，
∴（6+r）2＝62+（2r）2，
r＝4或0（舍弃），
∴OP＝＝4，
∵OB＝PD，OB∥PD，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴BD＝OP＝4．
23．解：如图所示，结论：①∠3＝∠4；或∠7＝∠8；或∠1＝∠5；或∠2＝∠6；
②OP⊥AB；③AC＝BC．
证明②：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°．
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
∵，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴PA＝PB，∠3＝∠4，
∴OP⊥AB．
24．解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴PA＝PB＝4，
∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∴△PED的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．
25．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
26．解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10+10＝20；
∴△PDE的周长为20；
（2）连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO＝∠EBO＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣50°＝130°
∵∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠AOB＝×130°＝65°．
27．解：∵PA，PB是圆O的切线．
∴PA＝PB，∠PAB＝60°
∴△PAB是等边三角形．
在直角△ABC中，AB＝AC sin60°＝2×＝
∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝3．