2021-2022学年苏科版九年级数学下册5.2 二次函数y＝ax2+bx+c图象与性质 同步强化训练（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下
《5.2 二次函数y＝ax2+bx+c图象与性质》同步强化训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为(　　)
A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－1，3)
2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是 (　　)
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1 C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
3．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(　　)
A．0，－4　 B．0，－3　 C．－3，－4　 D．0，0
4．抛物线y＝2x2－5x＋6的对称轴是( )
A. 直线x＝ B. 直线x＝ C. 直线x＝－ D. 直线x＝－
5．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－m)2＋k的形式，结果为( )
A. y＝(x＋1)2＋4 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2＋4 D. y＝(x－1)2＋2
6．二次函数y＝－2x2＋4x－9的图象的最高点的纵坐标是( )
A. 7　　　B. －7　　　C. 9　　　D. －9
7﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A.只能是x＝－1 B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
8．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 (　 　)
A．y1>y2>y3 B．y1y2>y1 D．y2>y1>y3
9．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　　)
A．函数图像与y轴的交点坐标为(0，1) B．函数图像的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3
10．如图抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是(　　)
A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3
第10题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
11﹒已知二次函数y＝x2+(m－1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
12﹒已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A.图象关于直线x＝1对称
B.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是－1，3
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
13.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a－b+c＞0；④4a－2b+c＜0.其中正确的是（ ）
A.①② B.只有① C.③④ D.①④
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. a＞0 B. c＜0 C. x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 D. abc>0
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是( )
A. 2a－b＝0 B. a＋b＋c＞0 C. 3a－c＝0 D. 当a＝时，△ABD是等腰直角三角形
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x_______时，y随x的增大而减小．
17．抛物线y＝x2＋2x的顶点坐标为________，对称轴是直线____.
18．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为________．
19.若抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，则k－n的值为______．
20.请写出一个以直线x＝﹣3为对称轴，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是_______________________．
21.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB∥x轴，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为________________.
22.已知点A（－3，7）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为______________.
23.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为____________.
第23题图 第24题图 第25题图
24.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________.（用含a的式子表示）
25.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是___________.
（写序号）①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
三．解答题（70分）
26.（9分）已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请在坐标系中画出平移后的图象，并写出平移后图象所对应的函数关系式.
27.（9分）设函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k
取0时的函数图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）交函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值.
28．（10分）已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点(－1，0)．
(1)求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．
(2)若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．
29.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1与抛物线C1：y＝x2－2x－1相交于A、C两点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B.
（1）求点A、C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若抛物线C2：y＝ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
30.（10分）如图，已知抛物线y＝－x2－x+1与直线y＝－x+1相交于A、B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）若点N是抛物线上一点（点N在AB上方），过点N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（2）在（1）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.
31．（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0)．
(1)求a，b的值．
(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
32．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线的对称轴直线x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
(3)设P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为(　A　)
A．(1，1) B．(－1，1) C．(1，3) D．(－1，3)
[解析] 将所给抛物线的表达式配方成顶点式，得y＝(x－1)2＋1.由顶点式得抛物线的顶点坐标是(1，1)，故选A.
2．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是 (　C　)
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1 C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
3．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(　A　)
A．0，－4　 B．0，－3　 C．－3，－4　 D．0，0
[解析] A　抛物线的对称轴是直线x＝1，且抛物线开口向上，则在0≤x≤3的范围内，当x＝1时，y＝1－2－3＝－4，是最小值；当x＝3时，y＝9－6－3＝0，是最大值．故选A.
4．抛物线y＝2x2－5x＋6的对称轴是(A)
A. 直线x＝ B. 直线x＝ C. 直线x＝－ D. 直线x＝－
5．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－m)2＋k的形式，结果为(D)
A. y＝(x＋1)2＋4 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2＋4 D. y＝(x－1)2＋2
6．二次函数y＝－2x2＋4x－9的图象的最高点的纵坐标是(B)
A. 7　　　B. －7　　　C. 9　　　D. －9
7﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ D ）
A.只能是x＝－1 B.可能是y轴
C.在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧
8．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 (　A　)
A．y1>y2>y3 B．y1y2>y1 D．y2>y1>y3
[解析] 方法一：把A，B，C三点的坐标分别代入y＝－(x＋1)2＋m，得y1＝－1＋m，y2＝－4＋m，y3＝－9＋m，所以y1>y2>y3.方法二：抛物线y＝－(x＋1)2＋m的开口向下，对称轴为直线x＝－1，点B，C都在对称轴的右边，由点A(－2，y1)可知点(0，y1)也在抛物线上．根据二次函数图像的性质，可知当x>－1时，y随x的增大而减小，而0<1<2，所以y1>y2>y3.
9．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(　D　)
A．函数图像与y轴的交点坐标为(0，1) B．函数图像的对称轴在y轴的右侧
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3
[解析] 　y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3.当x＝0时，y＝－1，所以图像与y轴的交点坐标为(0，－1)，故选项A错误；图像的对称轴是直线x＝－1，在y轴的左侧，故选项B错误；因为抛物线的对称轴是直线x＝－1，开口向上，所以当x<－1时，y的值随x的增大而减小，故选项C错误；二次函数y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是(－1，－3)，所以当x＝－1时，y的最小值为－3，故选项D正确．
10．如图抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是(　B　)
A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3
[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，∴b＝a－3，∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.∵抛物线的顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0.故选B.
第10题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
11﹒已知二次函数y＝x2+(m－1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ D ）
A.m＝－1 B.m＝3 C.m≤－1 D.m≥－1
12﹒已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ D ）
A.图象关于直线x＝1对称
B.函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4
C.抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是－1，3
D.当x＜1时，y随x的增大而增大
13.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a－b+c＞0；④4a－2b+c＜0.其中正确的是（ D ）
A.①② B.只有① C.③④ D.①④
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(C)
A. a＞0 B. c＜0 C. x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根 D. abc>0
第4题图 第6题图
15．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D)
A. 2a－b＝0 B. a＋b＋c＞0 C. 3a－c＝0 D. 当a＝时，△ABD是等腰直角三角形
【解】　∵抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即－＝1，∴2a＋b＝0，故A错误．当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0，故B错误．
∵点A的坐标为(－1，0)，∴a－b＋c＝0.又∵b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0，故C错误．∵当a＝时，b＝－1，c＝－，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－.把x＝1代入，得y＝－1－＝－2，∴点D的坐标为(1，－2)．设对称轴x＝1与x轴的为E，
如解图，则AE＝2，BE＝2，DE＝2，∴△ADE和△BDE都是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，故D正确．
二．填空题(每小题2分 共20分)
16．已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x___<2_____时，y随x的增大而减小．
[解析] 在y＝(x－2)2＋3中，a＝1.∵a＞0，∴函数的图像开口向上．∵函数图像的对称轴为直线x＝2，∴当x<2时，y的值随x的增大而减小；当x>2时，y的值随x的增大而增大．
17．抛物线y＝x2＋2x的顶点坐标为_(－1，－1)_______，对称轴是直线__x＝－1__.
[解析] ∵y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴抛物线y＝x2＋2x的顶点坐标是(－1，－1)，对称轴是直线x＝－1.
18．已知抛物线y＝－x2－2x＋3，当－2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为___－5≤y≤4_____．
[解析] ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点坐标为(－1，4)．∵抛物线开口向下，∴当x＝－1时，y取得最大值为4.又∵2与抛物线对称轴直线x＝－1的距离远，且当x＝2时，y＝－4－4＋3＝－5，∴当－2≤x≤2时，－5≤y≤4.故答案为－5≤y≤4.
19.若抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，则k－n的值为___4___．
解答：∵抛物线y＝x2－4x+k的顶点的纵坐标为n，∴＝n，∴k－n＝4，
故答案为：4.
20.请写出一个以直线x＝﹣3为对称轴，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是___不唯一，如y＝－(x+3)2+2____________________．
解答：本题答案不唯一，如y＝－(x+3)2+2，故答案为：y＝－(x+3)2+2，不唯一.
21.已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB∥x轴，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为___（4，3）_____________.
解答：由题意知：A、B两点的纵坐标相等，且到对称轴的距离相等，∴点B的坐标为（4，3），故答案为：（4，3）.
22.已知点A（－3，7）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴对称的点的坐标为___（－1，7）___________.
解答：抛物线的对称轴为直线x＝－2，设点A关于对称轴对称的点的坐标为（x，7），
则＝－2，解得：x＝－1，所以对称点的坐标为（－1，7），故答案为：（－1，7）.
23.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____1_______.
解答：∵y＝x2－2x+2＝(x－1)2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC，∵AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1，故答案为：1.
第23题图 第24题图 第25题图
24.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为__a+4_______.（用含a的式子表示）
解答：如图，∵对称轴为直线x＝﹣2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，∴OB＝4，
∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB＝△ABC的周长+OB＝a+4，故答案为：a+4．
25.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是___③④________.
（写序号）①b＞0；②a－b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.
解答：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x＝－＞0，∴b＜0，故①不正确；
∵x＝－1时，y＞0，∴a－b+c＞0，故②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底为2，∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝－2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2＝4，故③正确；由＝－2，得c＝－1，∴b2＝4a，故④正确，综合上述，结论正确的有：③④，故答案为：③④.
三．解答题（70分）
26.（9分）已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据图象，写出抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的两个交点坐标；
（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请在坐标系中画出平移后的图象，并写出平移后图象所对应的函数关系式.
解答：（1）画函数图象如图所示：
（2）抛物线的顶点坐标为（－1，2）；抛物线与x轴的两个交点坐标（－3，0），（1，0）；（3）∵y＝﹣x2﹣x+＝﹣(x+1)2+2，∴平移后的函数关系式为y＝﹣(x+1－3)2+2＝﹣(x－2)2+2，即y＝﹣x2+2x.
27.（9分）设函数y＝(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.
（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k
取0时的函数图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）交函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y3的图象，求函数y3的最小值.
解答：（1）当k＝0时，y＝－(x－1)(x+3)，所画函数图象如图所示：
（2）①根据图象可知，图象都经过点（1，0）和（－1，4）；
②图象与x轴的交点是（1，0）；③k取0和2时的函数图象关于点（0，2）中心对称；和（－1，4）等.（3）平移后的函数y3的表达式为y3＝(x+3)2－2，所以当x＝－3时，函数y3的最小值是－2.
28．（10分）已知抛物线y＝ax2＋x＋2经过点(－1，0)．
(1)求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．
(2)若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．
【解】　(1)把点(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋x＋2中，得a＝－1.
∴此抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2＝－＋，其顶点坐标是.
(2)把点P(t，t)的坐标代入y＝－x2＋x＋2中，
得t＝－t2＋t＋2，解得t1＝，t2＝－.
∴此抛物线上的不动点有两个，即点P1(，)，P2(－，－)．
29.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1与抛物线C1：y＝x2－2x－1相交于A、C两点，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B.
（1）求点A、C的坐标（2）求△ABC的面积；（3）若抛物线C2：y＝ax（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
解答：（1）由，得：，，∴点A、C的坐标分别为（3，2），（0，－1）；（2）由题意知：点A与B关于抛物线C1的对称轴对称，∵抛物线C1的对称轴为x＝1，且A（3，2），∴B（－1，2），∴AB＝4，设直线AB与y轴交于点D，则CD＝1+2＝3，∴S△ABC＝ABCD＝×4×3＝6；（3）如图，当C2过点A点，B点临界点时，把A（3，2）代入y＝ax2得：a＝，把B（－1，2）代入y＝ax2得：a＝2，∴a的取值范围为≤a＜2.
30.（10分）如图，已知抛物线y＝－x2－x+1与直线y＝－x+1相交于A、B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（－3，0）.
（1）若点N是抛物线上一点（点N在AB上方），过点N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（2）在（1）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标.
解答：（1）∵点A在y轴上，且直线y＝－x+1经过点A，∴当x＝0时，y＝1，∴A（0，1），∵BC⊥x轴，且C（－3，0），∴当x＝－3时，y＝－×(－3)+1＝，
∴B（－3，），∵点N是抛物线y＝－x2－x+1上，∴可设N（x，－x2－x+1），则M，P点的坐标分别为（x，－x+1），（x，0），∴MN＝PN－PM＝－x2－x+1－(－x+1)＝－x2－x＝－(x+)2+，∴当x＝－时，MN的最大值为；
（2）如图，连接BN，BM，BM与NC互相垂直平分，则四边形BCMN是菱形，
∴BC∥MN，MN＝BC，且BC＝MC，∴－x2－x＝，且(－x+1)2+(x+3)2＝，
解得：x＝－1，则y＝4，故当N的坐标为（－1，4）时，BM和NC互相垂直平分.
31．（10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)，B(6，0)．
(1)求a，b的值．
(2)若C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，请写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
【解】　(1)将点A(2，4)，B(6，0)的坐标分别代入y＝ax2＋bx，
得解得
(2)如解图，过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连结AC，BC，CD.则S△OAD＝OD·AD＝×2×4＝4，S△ACD＝AD·CE＝×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝BD·CF＝×(6－2)×＝－x2＋6x，∴S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.
32．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线的对称轴直线x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．
(3)设P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【解】　(1)由题意，得解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3.∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过点A(1，0)，∴点B(－3，0)．
把点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y＝mx＋n，得解得
∴直线BC的函数表达式为y＝x＋3.
(2)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，∴直线BC与对称轴x＝－1的交点就是使MA＋MC的值最小的点M.把x＝－1代入y＝x＋3，得y＝2，∴点M(－1，2)．
(3)如解图，设点P(－1，t)．∵点B(－3，0)，C(0，3)，
∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2.②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4.③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.综上所述，点P的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或 或.