2021-2022学年安徽省滁州市全椒县九年级（上）期中数学试卷(word解析版)

2021-2022学年安徽省滁州市全椒县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列函数中，二次函数的是（　　）
A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c D．y＝
2．已知＝，则下列变形错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．4a＝3b D．＝
3．抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
4．已知抛物线y＝x2﹣x，它与x轴的两个交点间的距离为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x） B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
7．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
8．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（　　）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
10．对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x＜3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a≤2 B．1＜a≤3 C．1＜a＜2 D．1＜a≤2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．顶点是（1，3），开口方向、大小与y＝2x2完全相同的抛物线解析式为 　 　．
12．2和8的比例中项是　 　．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作CD∥x轴，与抛物线交于点D．若OA＝1，CD＝4，则线段AB的长为　 　．
14．将矩形ABCD按如图方式折叠：BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一直线上，同时点E，O，F在另一条直线上．请完成下列探究：
（1）∠BEG的大小为　 　；
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．对于抛物线y＝x2+4x+3．
（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标．
16．线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
18．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以y轴为对称轴，作△ABC的对称△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴的下方，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
20．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．如图，已知反比例函数与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M，N各位于哪个象限，简要说明理由；
（3）点E为x轴上一个动点，若S△AEB＝10，求点E的坐标．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当△AMD的面积最大时M点的坐标及最大的面积．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，∠EDF＝45°，E、F分别在AC、BC的延长线上，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，求证CD2＝CE CF；
（3）若CD＝，CF＝1，求DN的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列函数中，二次函数的是（　　）
A．y＝﹣4x+5 B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c D．y＝
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．函数y＝﹣4x+5是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．函数y＝x（2x﹣3）＝2x2﹣3x是二次函数，故本选项符合题意；
C．a、b、c为常数，若a＝0，b≠0时，函数y＝ax2+bx+c是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．函数y＝是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．已知＝，则下列变形错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．4a＝3b D．＝
【分析】根据比例的性质对各选项进行判断．
解：∵＝，
∴4a＝3b，＝，＝．
故选：A．
3．抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
解：抛物线y＝x2向右平移1个单位，得：y＝（x﹣1）2；
再向下平移2个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
4．已知抛物线y＝x2﹣x，它与x轴的两个交点间的距离为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【分析】根据解方程x2﹣x＝0抛物线与x轴的两交点坐标，然后利用两点间的距离公式求出两交点间的距离．
解：当y＝0时，x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（2，0），
所以抛物线与x轴的两个交点间的距离为2．
故选：C．
5．下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
解：①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
②两个等边三角形，角都是60°，故相似；
③两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．
④两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；
⑤两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似．
⑥所以共有3个一定相似，
故选：C．
6．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20+x） B．y＝（200+5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．
解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故选：A．
7．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y＝相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【分析】由矩形的性质求出△CDO的面积，由平行线分线段成比例可求，可求△DEO的面积，由反比例函数的性质可求解．
解：如图，连接CD，过点D作DE⊥CO于E，
∵矩形OABC的面积为36，
∴S△BCO＝18，
∵OD：OB＝2：3，
∴S△CDO＝＝12，
∵DE⊥CO，BC⊥CO，
∴DE∥BC，
∴，
∴S△DEO＝＝8，
∵双曲线y＝图象过点D，
∴＝8，
又∵双曲线y＝图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣16，
故选：D．
8．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【分析】根据根的判别式与二次函数的定义列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，
∴，即，
解得k＜3且k≠0．
故选：B．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（　　）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
【分析】由S△BDE：S△CDE＝1：4，得到，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可得到结论．
解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝，
∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20，
∴S△BDE：S△ADC＝1：20．
故选：C．
10．对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量x满足a≤x＜3时，函数值y的取值范围为﹣1≤y＜0，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a≤2 B．1＜a≤3 C．1＜a＜2 D．1＜a≤2
【分析】函数的顶点D坐标为：（2，﹣1），则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y≤0时，1＜a≤2；即可求解．
解：函数图象如下，函数的对称轴为：x＝2，顶点D坐标为：（2，﹣1），
则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），
从图象可以看出：y的取值范围为﹣1≤y＜0时，
1＜a≤2；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．顶点是（1，3），开口方向、大小与y＝2x2完全相同的抛物线解析式为 　y＝2（x﹣1）2+3　．
【分析】设二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，根据顶点是（1，3），即可求得h、k的值，与抛物线y＝2x2的开口方向及大小相同，即可确定a的值，即可得到抛物线的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵抛物线顶点是（1，3），
∴h＝1，k＝3，
∵抛物线开口方向、大小与y＝2x2完全相同，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3，
故答案为：y＝2（x﹣1）2+3．
12．2和8的比例中项是　±4　．
【分析】根据比例的基本性质，a：b＝b：c，设其比例中项是x，则其比例中项可求．
解：设其比例中项是x，
∴x2＝2×8，
∴x＝±4．
故答案为±4．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作CD∥x轴，与抛物线交于点D．若OA＝1，CD＝4，则线段AB的长为　2　．
【分析】由题意得出点D与点C是抛物线上的对称点，得出CD＝2OA+AB，即可得出结果．
解：∵对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A、B，CD∥x轴，
∴点D与点C是抛物线上的对称点，
∴CD＝2OA+AB，
∴AB＝CD﹣2OA＝4﹣2×1＝2；
故答案为：2．
14．将矩形ABCD按如图方式折叠：BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一直线上，同时点E，O，F在另一条直线上．请完成下列探究：
（1）∠BEG的大小为　90°　；
（2）若AD＝4，则四边形BEGF的面积为　　．
【分析】（1）由折叠的性质和平角的性质可求解；
（2）设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，由勾股定理得出a2+42＝（3a）2，解得a＝，证明△EDG∽△GCF，得出比例线段，求出CF．则可求出EF．由四边形面积公式可求出答案．
解：（1）由折叠可得：∠AEB＝∠BEO，∠DEG＝∠GEO，
∵∠AEB＝∠BEO+∠DEG＝∠GEO＝180°，
∴∠BEG＝90°，
故答案为90°；
（2）由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设DG＝CG＝a，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝4，
∵∠C＝90°，
∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
∴a2+42＝（3a）2，
∴a＝，
∴DG＝CG＝，
∴BG＝OB+OG＝2+＝3，
由折叠可得∠EGD＝∠EGO，∠OGF＝∠FGC，
∴∠EGF＝90°，
∴∠EGD+∠FGC＝90°，
∵∠EGD+∠DEG＝90°，
∴∠FGC＝∠DEG，
∵∠EDG＝∠GCF＝90°，
∴△EDG∽△GCF，
∴，
∴＝．
∴CF＝1，
∴FO＝1，
∴EF＝3，
∵点B，O，G在同一条直线上，
∴EF⊥BG，
∴S四边形EBFG＝×BG×EF＝×3×3＝．
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．对于抛物线y＝x2+4x+3．
（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【分析】（1）解方程x2+4x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标，计算x＝0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标．
解：（1）当y＝0时，x2+4x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（﹣1，0）；
当x＝0时，y＝x2+4x+3＝3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；
（2）因为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．
16．线段a、b、c，且＝＝．
（1）求的值；
（2）如果线段a、b、c满足a+b+c＝27，求a+b﹣c的值．
【分析】（1）设＝＝＝t，则a＝2t，b＝3t，然后把它们代入中进行分式的运算即可；
（2）设＝＝＝t，则a＝2t，b＝3t，c＝4t，则利用a+b+c＝27可求出t，然后利用a+b﹣c＝t求解．
解：（1）设＝＝＝t，
∴a＝2t，b＝3t，
∴＝＝；
（2）设＝＝＝t，
∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，
∵a+b+c＝27，
∴2t+3t+4t＝27，解得t＝3，
∴a+b﹣c＝2t+3t﹣4t＝t＝3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣3），且经过点B（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）利用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式即可．
解：（1）把点（0，﹣3），（2，5）代入y＝x2+bx+c，
得，，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x+1）2﹣4．
18．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以y轴为对称轴，作△ABC的对称△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴的下方，将△ABC放大为原来的2倍得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于以原点为似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，小亮父亲想用长80m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB＝xm，面积为Sm2．
（1）写出S与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围．
（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）根据BC＝（栅栏总长﹣2AB），再利用矩形面积公式即可求出；
（2）根据配方法法求出二次函数最值即可；
解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80﹣2x）m，
∴S＝x（80﹣2x）＝﹣2x2+80x，
∵，
∴，
∴，
∴15≤x＜40
∴S＝﹣2x2+80x，（15≤x＜40）；
（2）∵S＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵15≤x＜40，
∴当x＝20时，S有最大值为800，
∴即当AB＝20m，BC＝40m时，面积S有最大值为800m2．
20．如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由三角形的外角性质可得：∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，可证得∠ADC＝∠CED，则有CE＝CD，再结合（1）的结论，以及AD是△ABC的中线，即可求解．
【解答】证明：（1）∵，∠BAD＝∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC2＝BC CD；
（2）∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，
由（1）可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA，
∴∠ADC＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2CD，
∴BC＝2CE，
由（1）得：AC2＝BC CD，
∴AC2＝2CE CE，
∴，
即．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．如图，已知反比例函数与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）．
（1）求k1，k2，b的值；
（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M，N各位于哪个象限，简要说明理由；
（3）点E为x轴上一个动点，若S△AEB＝10，求点E的坐标．
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质即可得到结果．
（3）设E（m，0）．由题意直线AB交x轴于F（﹣3，0），根据S△ABE＝S△AEF+S△EFB，构建方程即可解决问题．
解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m），
∴k1＝1×8＝8，m＝8÷（﹣4）＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．
将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y2＝k2x+b中，，
解得：．
∴k1＝8，k2＝2，b＝6；
（2）∵比例函数y＝的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M，N在不同的象限，
∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．
（3）设E（m，0）．
由题意直线AB交x轴于F（﹣3，0），
∵S△ABE＝S△AEF+S△EFB，
∴ |m+3| （8+2）＝10，
解得m＝﹣1或﹣5，
∴E（﹣5，0）或（﹣1，0）．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．
（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；
（2）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当△AMD的面积最大时M点的坐标及最大的面积．
【分析】（1）把B点和D点代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组确定抛物线解析式；再解方程﹣x2+2x+3＝0得A（﹣1，0），然后利用待定系数法求直线AD的解析式；
（2）过M点作MC∥y轴交AD于C，如图，设M（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜2），则C（t，t+1），则MC＝﹣t2+t+2，利用三角形面积公式得到S△MAD＝（﹣t2+t+2），然后根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）把B（3，0），D（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣1，0），D（2，3）代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1；
（2）过M点作MC∥y轴交AD于C，如图，
设M（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜2），则C（t，t+1），
∴MC＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2，
∴S△MAD＝×3×MC＝（﹣t2+t+2）＝﹣（t﹣）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴当t＝时，S△MAD有最大值，最大值为，此时P点坐标为（，）．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，∠EDF＝45°，E、F分别在AC、BC的延长线上，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；
（2）如图2，求证CD2＝CE CF；
（3）若CD＝，CF＝1，求DN的长．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD＝45°，证明△DCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
（2）证明△FCD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论；
（3）作DG⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出DG，由（2）的结论求出CE，证明△ENC∽△DNG，根据相似三角形的性质求出NG，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝∠DCE＝135°，
在△DCF和△DCE中，
，
∴△DCF≌△DCE（SAS），
∴DE＝DF；
（2）证明：∵∠DCF＝135°，
∴∠F+∠CDF＝45°，
∵∠FDE＝45°，
∴∠CDE+∠CDF＝45°，
∴∠F＝∠CDE，
∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE，
∴△FCD∽△DCE，
∴＝，
∴CD2＝CE CF；
（3）解：如图2，过点D作DG⊥BC于G，
∵∠DCB＝45°，∠CGD＝90°，CD＝，
∴CG＝DG＝CD＝1，
由（2）可知，CD2＝CE CF，
∵CF＝1，
∴CE＝＝2，
∵∠ECN＝∠DGN＝90°，∠ENC＝∠DNG，
∴△ENC∽△DNG，
∴＝，
即＝，
解得，NG＝，
由勾股定理得，DN＝＝＝．