2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1数列的概念分类练习（wrod含答案）

4.1数列的概念分类练习
数列的相关定义
1．（2021·全国·高二课时练习）有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；
④数列0，1，0，1，…，是常数列．
其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（多选）（2021·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
D．a，，，1，b，5，7一定能构成数列
数列的通项公式
1．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，则 ___________.
2．（2021·全国·高二课时练习）已知数列，3，，…，，…，那么9在此数列中的项数是（ ）．
A．12 B．13 C．14 D．15
3．（2021·全国·高二课时练习）给出以下通项公式：
①；②；③，其中可以作为数列，，，，，，…的通项公式的是（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
4．（2021·全国·高二专题练习）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①，，，，…；②－3，7，－15，31，…；③2，6，2，6，….
数列的递推公式
1．（2021·河南·高二期中（文））设数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高一月考）已知数列中，.
（1）写出数列的前5项.
（2）猜想数列的通项公式.
3．（2020·江苏·）根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；
(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
数列的求和公式
1．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为（ ）．
A．15 B．37 C．27 D．64
2．（2021·全国·高二专题练习）若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为（ ）
A．an＝2an－1 B．an＝an－1
C．an＝－2an－1 D．an＝－an－1
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列的前n项和为
（1）当取最小值时，求n的值；
（2）求出的通项公式.
巩固提升
一、单选题
1．下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3与数列3，2，1是同一数列；
②数列{an}与{a2n－1}表达同一数列；
③数列－1，1，－1，1，…的通项公式不唯一；
④数列－1，1，3，5，8，…的通项公式为an＝2n－3，n∈N*.
A．①④ B．②③ C．③ D．①②
2．数列，，，，，…的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若数列满足，，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
6．在数列中，，则（ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
7．已知数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多选题
8．一个无穷数列{an}的前三项是1，2，3，下列可以作为其通项公式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．数列的前项和为，若，，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
10．已知数列满足，下列命题正确的有（ ）
A．当时，数列为递减数列
B．当时，数列一定有最大项
C．当时，数列为递减数列
D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
11．(多选题)已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，若a4＝4，则m所有可能的取值为（ ）
A．4 B．5
C．21 D．32
三、填空题
12．已知数列{an}的前四项为11，102，1003，10004，…，则它的一个通项公式为________．
13．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则数列{an}的最大项是第____项．
14．已知数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式______．
15．已知数列满足，且，则的通项公式为______．
四、解答题
16．根据数列的通项公式，分别写出数列的第10项.
（1）；
（2）.
17．已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并求数列的最大项．
18．已知中，，求的值．
19．数列的前项和为，已知，.
（1）设，证明：当时，；
（2）求的通项公式.
参考答案
数列的相关定义
1．A
①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；
②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；
③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，是无穷数列；
④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，不是常数列．
故选：A.
2．AC
根据数列的相关概念，易知第1项即首项为4，故A正确．
同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误．
由无穷数列的概念，易知C正确．
由数列是按一定次序排列的一列数，若a，b都代表数时构成数列，若a，b中至少有一个不代表数时不能构成数列，故D错误．
故选：AC
数列的通项公式
1．2
，
故答案为：2
2．C
根据题意，．
由，解得，即9是此数列的第14项，
故选：C．
3．D
对于①：当时，对应的项分别为：，，，，，，故①正确；
对于②：当时，对应的项分别为：，，，，，，故②正确；
对于③：当时，对应的项分别为：，，，，，，故③正确；
所以①②③的通项公式都符合题意，
故选：D.
4．①；②；③或.
①由题设，，，，…，
∴第n项为.
②由题设，，，，…，
∴第n项为．
③由题设，数列为摆动数列，而，而2＝4－2，6＝4＋2，
∴第n项为，也可表示为.
数列的递推公式
1．A
当时，；当时，.
故选：A.
2．（1）；（2）
（1）由，可得：
，，
， .
（2）猜想：
3．(1)an＝.(2) an＝.(3) an＝2×3n－1－1.
(1)因为an＝an－1(n≥2)，所以an－1＝an－2，…，a2＝a1，由以上(n－1)个式子得an＝.又a1＝1，所以an＝.
(2)因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋(3n－7)＋…＋5＋2＝ (n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合上式，所以an＝.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，a1＋1＝2，所以＝3.所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，首项为2，所以an＋1＝2×3n－1.所以an＝2×3n－1－1.
数列的求和公式
1．B
由题意得，，
故选：B．
2．A
∵Sn＝2an－2，
∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
故选：A.
3．（1）或；（2）
解：（1），
因为，
所以当或时，取最小值，
（2）当时，，
当时，，
当时，满足上式，
所以
巩固提升
参考答案
1．C
①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；
②是错误的，数列{an}表达数列a1，a2，a3，a4，…，an，…，
而数列{a2n－1}表达数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一数列；
③是正确的，数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；
④是错误的，显然当n＝5时，a5＝7，不是数列中的项．
故选：C.
2．A
，，，，，
一个通项公式为：.
故选：A.
3．D
因为，，
所以
，
所以.
故选：D.
4．D
因数列的前n项和为，，，则，
，，
所以.
故选：D
5．C
由，代入可得，同理可得.
由，得，从而有，
即，从而有，
所以数列的周期为3，
所以.
故选：C.
6．B
解：令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
7．B
由，得，
即，所以，
因为，，所以，
又因为，
，
，
，
所以时，，，
所以的整数部分为2022.
故选：B.
8．AD
对于A，若，则，，，符合题意；
对于B，若，则，不符合题意；
对于C，若，当时，，不符合题意；
对于D，若，则，，，符合题意.
故选：AD.
9．ABD
由题意，数列的前项和满足，
当时，，
两式相减，可得，
可得，即，
又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为；
当时，，
又由时，，适合上式，
所以数列的的前项和为；
又由，所以数列为公比为3的等比数列，
综上可得选项是正确的.
故选：ABD.
10．BCD
当时，，知A错误；
当时，，当，，，，
所以可判断一定有最大项，B正确；
当时，，所以数列为递减数列，C正确；
当为正整数时，，当时，，
当时，令，
解得，则，当时，，
结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；
故选：BCD.
11．ABD
①若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
若a2为偶数，则.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，(舍去)，
若a1为偶数，则；
②若a3为偶数，则；
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，(舍去).
若a2为偶数，则.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则.
故m所有可能的取值为4，5，32.
故选：ABD
12．an=10n+nn=n+10n
由于11=10+1，102=102+2，1003=103+3，10004=104+4，这四项都具有10的项数次幂再加上4的特点，
所以该数列的一个通项公式是an=10n+n.
故答案为：an=10n+n
13．6
an＝＝ (1＋)，
当n＞5时，an＞0，且单调递减；当n≤5时，an＜0，且单调递减，
∴当n＝6时，an最大．
故答案为：6
14．
由，
得．
又，所以数列的通项公式．
故答案为：
15．
依题意数列满足，且①.
当时，，
②，
②-①得，
则，
所以，
都符合上式.
所以的通项公式为.
故答案为：
16．
（1）
（2）
解：因为，
所以
（2）
解：因为，
所以
17．图象见解析，最大项为第项．
，，，，，，数列的图象如图所示．
因为，故数列的最大项为第项．
18．
解：当为奇数时，
，
，
以上两式相减可得：，
；
当为偶数时，
，
，
以上两式相加可得：，
，
，
的值为.
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）由，可知时，.
可得，又，
所以
.
（2）因为，所以，
当时，
，
当时，，于是.
所以，从而.
由可得.