2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第二册数列通项求法 学案

数列通项求法
.一、复习预习
1.等差、等比数列通项公式及性质；
2.等差、等比数列前n项和公式及性质.
二、知识讲解
考点1 累加法
形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.
考点2 累乘法
形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.
考点3 构造等比数列法
原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。
考点4 构造等差数列法
数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出.
考点5 取倒数法
有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两
项的倒数的关系容易求得，从而间接求出.
考点6 利用公式求通项
有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出.
考点7 重新构造新方程组求通项法
有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和.
三、例题精析
考点1 累加法
例1 在数列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通项公式.
【规范解答】
∵
这n-1个等式累加得：=
故 且也满足该式
∴ ().
【总结与反思】形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.
考点2 累乘法
例2 已知数列{}满足=，，求．
【规范解答】
由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入
上式得n-1个等式累乘，即=
所以，又因为也满足该式，所以.
【总结与反思】形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求.
考点3 构造等比数列法
例3 已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式．
【规范解答】
构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列
即= 整理得：=使之满足=
∴p=1.
即是首项为=2，q=2的等比数列∴=
∴= .
【总结与反思】原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出.
考点4 构造等差数列法
例4 数列{}满足且。求、、 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由
【规范解答】
由==81 得=33；又∵==33得=13；
又∵==13，
∴=5.
假设存在一个实数，使此数列为等差数列
即= = = 该数为常数
∴= 即为首项，d=1的等差数列
∴=2+=n+1
∴=.
【总结与反思】数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出.
考点5 取倒数法
例5 已知数列{}满足，且（）,求数列{}的通项公式.
【规范解答】
把原式变形成 两边同除以得
即 …… ⑴
构造新数列，使其成为公比q= 的等比数列
即整理得： 满足⑴式使 ∴
∴数列是首项为，q= 的等比数列
∴ ∴.
【总结与反思】递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出.
考点6 利用公式求通项
例6 已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=n∈ ,求{}的通项公式．
【规范解答】
由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得
=0
∵＞0
∴
从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.
【总结与反思】上数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出.
考点7 重新构造新方程组求通项法
例7 已知数列{}，{}满足=2，=1且（）,求数列{}，{}的通项公式.
【规范解答】两式相加得
则{}是首项为，d=2的等差数列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)
而两式相减得==
则{}是首项为=1，q=的等比数列，故=…………(2)
联立(1)、(2)得 由此得，.
【总结与反思】该题条件新颖,给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等比数列，从而再通过解方程组很顺利求出{}、{}的通项公式