5.2.2同角三角函数的基本关系
典型例题
例1. 求 的正弦、余弦和正切值.
解:在平面直角坐标系中，作如图。
易知的终边与单位圆的交点坐标为
点拨：
例2：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)(不与原点O重合)，点P与原点的距离为r=，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)
即,又sinα===
而tanα==
跟踪训练：已知角α的终边过点P(-12，5) 求：sin α，cos α，tan α..
点拨：求一个角的三角函数值有以下几种情况：
若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.
（1）若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
（2）若角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝.
（3）若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
跟踪训练： (1)(多选)若角α的终边经过点P(x，-3)，且sin α＝- ，则x的值为
A.－4 B.3 C.-3 D.4
[解析] (1) |OP|＝，∵sin α＝＝＝－，解得x2＝16，∴x＝±4.
故选：AD
(2)若角α的终边经过点P(x，－3)，且cos α＝－，则x的值为
A.－ B.－1 C.1 D.
跟踪训练：【练3】（大纲全国2014） 已知α的终边经过点（-4，3），则cos α= （ ）
A. B. C. D.
【解析】(2) |OP|＝，∴cos α＝＝＝－，解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.故选：B
（3）故选：A
例3： (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)确定下列三角函数值：
①cos 250°； ②sin; ③tan(- 672°）； ④tan 3
(3)设角a终边不在坐标轴上，那么函数=
【解析】（1）由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角. 由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角. 综上可知，α是第三象限角.
（2） ①250°在第三象限，故cos 100°<0；在第四象限，故sin0；
③-672°=48-2×360°，在第一象限，故tan（-672°）>0；
④3在x轴上，故tan 3=0
（3）答案：-1或3
点拨：判断三角函数值符号的两个步骤.
(1)定象限：确定角α所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.
跟踪训练：若sin α＜0，tan α＜0，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】∵sin α＜0，tan α＜0，∴α为第三象限角.
例4:求下列三角函数的值.
(1) cos （2）tan（）. (3)sin＋cos tan 4π.
【解析】（1）cos =cos( +=cos =
（2）tan（）= tan（）= tan（）=
（3）原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
点拨：利用诱导公式一进行化简求值的步骤.
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，k∈Z，其中α∈[0,2π).
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
跟踪训练：计算下列各式的值：
tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
sin ＋tan（）.
【解析】（1）原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
（2）sin ＋tan＝sin ＋tan ＝＋1.5.2.2同角三角函数的基本关系
一、复习回顾
1、初中的三角函数是如何定义的？
2、初中几个常见的三角函数值.
角α
sinα
cosα
tanα
二、探究新知
探究1：三角函数的概念：
（1）放在单位圆（半径为1的圆）内，给定三角函数新定义.
sinα=
cosα=
tanα=
思考：当α=时，点P的坐标是什么？当α=α=时，点P的坐标又是什么？
它们是唯一确定的吗？
(2)知识点
条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)
定义 正弦 把点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即________
余弦 把点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即_________
正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tan α，即 ________________
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠ ＋kπ，k∈Z
探究二：三角函数的定义域和函数值的符号
探究三：诱导公式
思考：终边相同角的三角函数值有何关系？
诱导公式一： sin(α＋2kπ)＝ ， cos(α＋2kπ)＝ ，
tan(α＋2kπ)＝ ，其中k∈Z.
典型例题
例1. 求 的正弦、余弦和正切值.
点拨：
例2：设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)(不与原点O重合)，点P与原点的距离为r=，求证：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
跟踪训练：已知角α的终边过点P(-12，5) 求：sin α，cos α，tan α..
点拨：求一个角的三角函数值有以下几种情况：
若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.
（1）若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
（2）若角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝.
（3）若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
跟踪训练： (1)(多选)若角α的终边经过点P(x，-3)，且sin α＝- ，则x的值为
A.－4 B.3 C.-3 D.4
(2)若角α的终边经过点P(x，－3)，且cos α＝－，则x的值为
A.－ B.－1 C.1 D.
跟踪训练：（大纲全国2014）已知α的终边经过点（-4，3），则cos α= （ ）
A. B. C. D.
例3： (1)若sin αtan α<0，且<0，则角α是
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
(2)确定下列三角函数值：
①cos 250°； ②sin; ③tan(- 672°）； ④tan 3
(3)设角a终边不在坐标轴上，那么函数=
点拨：判断三角函数值符号的两个步骤.
(1)定象限：确定角α所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.
跟踪训练：若sin α＜0，tan α＜0，则角α的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例4:求下列三角函数的值.
(1) cos （2）tan（）. (3)sin＋cos tan 4π.
点拨：利用诱导公式一进行化简求值的步骤.
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，k∈Z，其中α∈[0,2π).
(2)转化：根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值.
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
跟踪训练：计算下列各式的值：
tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
凡事尽力而为，而后顺其自然。
sin ＋tan（）.
