26.2.1 现实生活中的反比例函数问题同步练习（含答案）

26.2　实际问题与反比例函数
第1课时　现实生活中的反比例函数问题
一、选择题
1.若三角形框的面积一定,则这个三角形框的底边长a和底边上的高b之间的函数图象大致为( )
2.为了抵御洪水,长江无为大堤展开加固工程,该工程建设需要运送大量土石方.某运输公司承担了运送总量为108 m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)之间的函数关系式是( )
A.v＝ B.v＝108t C.v＝t2 D.v＝108t2
3.今年，华为公司推出的一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9 688元的新手机，前期付款2 000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是 (　　)
A.y＝＋2 000 B.y＝－2000 C.y＝ D.y＝
4.用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅，那么y与a之间的关系式为(　　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝150 000a2 D．y＝150 000a
5.【2021·宜昌】某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是(　　)
6.如图，一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
7.攀登珠穆朗玛峰的探险者一般携带一种容积为5 L的氧气瓶，一探险者的吸氧速度每小时不少于1 L，但不多于5 L，则表示此人的吸氧速度x(单位：L/h)与氧气可供使用的时间y(单位：h)的函数图象是(　　)
8.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32 mg镭缩减为1 mg所用的时间大约是(　　)
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
9.【2021·贵阳实验二中校级月考】已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/时)的函数图象为(　　)
10.为了响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召,建设生态文明,某工厂自2022年1月开始限产进行治污改造,其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示,治污完成前是反比例函数图象的一部分,治污完成后是一次函数图象的一部分.下列选项错误的是( )
A.4月份的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D.9月份该厂利润达到200万元
第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·太原期末改编】某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝(k≠0)的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度为(　　)
A．18 ℃ B．15.5 ℃ C．13.5 ℃ D．12 ℃
12.如图①，在矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，y与x满足的反比例函数关系如图②所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C，M为EF的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．当x＝3时，EC＜EM B．当x＝9时，EC＜EM
C．当x增大时，BE·DF的值不变 D．当x增大时，EC·CF的值增大
二、填空题
13.如图是一个蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象，若要5 h排完水池中的水，则每小时的排水量应为____m3/h.
第13题图 第15题图 第17题图 第18题图
14.把一个长、宽、高分别为3 cm,2 cm,1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为　 　.
15.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系式t＝,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和B(m,0.5).若行驶速度不得超过60 km/h,则汽车通过该路段最少需要时间为　 h.
16.某商品售价y(元/件)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比例,根据表格写出y与x的函数关系式为　 　.
售价y/(元·件－1) 11 10
月需求量x/件 100 120
17.随着私家车的增加,城市的交通也越来越拥挤,通常情况下,某段高架桥上车辆的行驶速度y(千米/时)与高架桥上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示,当x≥10时,y与x成反比例函数关系,当车速低于20千米/时时,交通就会拥堵.为避免出现交通拥堵,高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是　 　.
18.秋季是传染病的高发季节.为预防传染病,某学校会定期对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例;燃烧后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物10 min燃烧完,此时教室内每立方米空气中的含药量为6 mg.研究表明当每立方米空气中的含药量不低于1.2 mg时,消毒才有效,则这次有效的消毒时间是　 min.
三、解答题
19.某养鱼专业户准备挖一个面积为2000米2的长方形鱼塘.
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数解析式.
(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20米,当鱼塘的宽是20米时,鱼塘的长为多少米
20.某物流公司要把3000吨货物从M市运到W市.(每日的运输量为固定值)
(1)从运输开始,每天运输的货物吨数y(吨)与运输时间x(天)之间有怎样的函数关系式
(2)因受到沿线道路改扩建工程影响,实际每天的运输量比原计划少20%,以致推迟1天完成运输任务.求原计划完成运输任务的天数.
21.一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示,其中60≤v≤120.
(1)求v与t的函数关系式及t的取值范围;
(2)客车上午8时从甲地出发.
①客车需在当天14时40分至15时30分(含14时40分与15时30分)间到达乙地,求客车行驶速度v的范围;
②客车能否在当天12时30分前到达乙地 说明理由.
22.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动,交付首付款后,余额要在30个月内结清,不计算利息.王先生在活动期间购买了一辆价格为12万元的汽车,交了首付款后平均每月付款y万元,x个月结清,y与x成反比例,其函数图象如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式,并求出首付款的钱数.
(2)若王先生用20个月结清,则平均每月应付多少万元
(3)如果打算每月付款不超过4 000元,那么王先生至少要用多少个月才能结清余款
23.小明要把一篇文章录入电脑,已知他完成录入的时间y(分钟)与录入文字的速度x(字/分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)若小明在19:20开始录入,完成录入时间不超过19:35,小明每分钟至少应录入多少字
(3)小明为了收看19:30的《新闻联播》,将原定的录入速度提高了20%,结果比原计划提前2分钟完成,小明实际用了多少分钟完成文章的录入
24.【2021·乐山】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平衡状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值．
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标不低于36？请说明理由．
25【河北中考】长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为S头(m).
(1)当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围)；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲(m)，求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)；
(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．
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参考答案
一、选择题
1.若三角形框的面积一定,则这个三角形框的底边长a和底边上的高b之间的函数图象大致为( C )
2.为了抵御洪水,长江无为大堤展开加固工程,该工程建设需要运送大量土石方.某运输公司承担了运送总量为108 m3土石方的任务,该运输公司平均运送土石方的速度v(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)之间的函数关系式是( A )
A.v＝ B.v＝108t C.v＝t2 D.v＝108t2
3.今年，华为公司推出的一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买新手机的活动，一部售价为9 688元的新手机，前期付款2 000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是 (　C　)
A.y＝＋2 000 B.y＝－2000 C.y＝ D.y＝
4.用规格为50 cm×50 cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺该客厅，那么y与a之间的关系式为(　A　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝150 000a2 D．y＝150 000a
5.【2021·宜昌】某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是(　B　)
6.如图，一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( A )
7.攀登珠穆朗玛峰的探险者一般携带一种容积为5 L的氧气瓶，一探险者的吸氧速度每小时不少于1 L，但不多于5 L，则表示此人的吸氧速度x(单位：L/h)与氧气可供使用的时间y(单位：h)的函数图象是(　D　)
【点拨】氧气瓶容积一定，则吸氧速度x与氧气可供使用的时间y成反比例函数关系．由题意知y＝，又1≤x≤5，所以1≤y≤5.故选D.
【答案】D
8.实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32 mg镭缩减为1 mg所用的时间大约是(　C　)
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
【点拨】由题图可知：1620年时，镭质量缩减为原来的，再经过1620年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的＝，再经过1620×2＝3240年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的＝，
∴再经过1620×4＝6480年，
即当8100年时，镭质量缩减为原来的＝，
此时32×＝1(mg)，
故选C.
9.【2021·贵阳实验二中校级月考】已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t(单位：小时)关于行驶速度v(单位：千米/时)的函数图象为(　D　)
10.为了响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召,建设生态文明,某工厂自2022年1月开始限产进行治污改造,其月利润y(万元)与月份x之间的变化如图所示,治污完成前是反比例函数图象的一部分,治污完成后是一次函数图象的一部分.下列选项错误的是( C )
A.4月份的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D.9月份该厂利润达到200万元
第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·太原期末改编】某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝(k≠0)的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度为(　C　)
A．18 ℃ B．15.5 ℃ C．13.5 ℃ D．12 ℃
12.如图①，在矩形ABCD中，BC＝x，CD＝y，y与x满足的反比例函数关系如图②所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C，M为EF的中点，则下列结论正确的是(　C　)
A．当x＝3时，EC＜EM B．当x＝9时，EC＜EM
C．当x增大时，BE·DF的值不变 D．当x增大时，EC·CF的值增大
【点拨】易知△BEC和△DCF都是等腰直角三角形．观察反比例函数图象可知当x＝3时，y＝3，则反比例函数的解析式为y＝.
A选项，当x＝3时，y＝3，即BC＝CD＝3，所以CE＝BC＝3，CF＝CD＝3，所以C点与M点重合，则EC＝EM，故A错误．
B选项，当x＝9时，y＝1，即BC＝9，CD＝1，所以EC＝9，EF＝10.所以EM＝5.所以EC＞EM，故B错误．
C选项，BE·DF＝BC·CD＝xy＝9，即BE·DF的值不变，故C正确．
D选项，因为EC·CF＝x·y＝2·xy＝18，故EC·CF为定值，故D错误．
二、填空题
13.如图是一个蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数关系图象，若要5 h排完水池中的水，则每小时的排水量应为____m3/h.
【答案】9.6
第13题图 第15题图 第17题图 第18题图
14.把一个长、宽、高分别为3 cm,2 cm,1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为　S＝　.
15.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系式t＝,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和B(m,0.5).若行驶速度不得超过60 km/h,则汽车通过该路段最少需要时间为 　h.
16.某商品售价y(元/件)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比例,根据表格写出y与x的函数关系式为　y＝+5　.
售价y/(元·件－1) 11 10
月需求量x/件 100 120
17.随着私家车的增加,城市的交通也越来越拥挤,通常情况下,某段高架桥上车辆的行驶速度y(千米/时)与高架桥上每百米拥有车的数量x(辆)的关系如图所示,当x≥10时,y与x成反比例函数关系,当车速低于20千米/时时,交通就会拥堵.为避免出现交通拥堵,高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是　 　.
【答案】018.秋季是传染病的高发季节.为预防传染病,某学校会定期对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例;燃烧后,y与x成反比例(如图所示).现测得药物10 min燃烧完,此时教室内每立方米空气中的含药量为6 mg.研究表明当每立方米空气中的含药量不低于1.2 mg时,消毒才有效,则这次有效的消毒时间是　 min.
【答案】48　
三、解答题
19.某养鱼专业户准备挖一个面积为2000米2的长方形鱼塘.
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数解析式.
(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20米,当鱼塘的宽是20米时,鱼塘的长为多少米
解:(1)由长方形面积为2000米2,得到xy＝2000,即y＝.
(2)当x＝20时,y＝＝100,
答:当鱼塘的宽是20米时,鱼塘的长为100米.
20.某物流公司要把3000吨货物从M市运到W市.(每日的运输量为固定值)
(1)从运输开始,每天运输的货物吨数y(吨)与运输时间x(天)之间有怎样的函数关系式
(2)因受到沿线道路改扩建工程影响,实际每天的运输量比原计划少20%,以致推迟1天完成运输任务.求原计划完成运输任务的天数.
解:(1)由题意,得xy＝3000,∴y＝(x＞0).
(2)设原计划x天完成运输任务.
根据题意,得,解得x＝4.
经检验x＝4是原分式方程的根,且符合题意.
答:原计划4天完成运输任务.
21.一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示,其中60≤v≤120.
(1)求v与t的函数关系式及t的取值范围;
(2)客车上午8时从甲地出发.
①客车需在当天14时40分至15时30分(含14时40分与15时30分)间到达乙地,求客车行驶速度v的范围;
②客车能否在当天12时30分前到达乙地 说明理由.
解:(1)设v与t的函数关系式为v＝(k≠0),
将(5,120)代入v＝,
解得k＝600,
∴v与t的函数关系式为v＝(5≤t≤10).
(2)①当t＝时,v＝80,
∴客车行驶速度v的范围为80≤v≤90.
②不能.
理由:若客车在当天12时30分到达,则t＝4.5＜5,
而5≤t≤10,故客车不能在当天12时30分前到达乙地.
22.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动,交付首付款后,余额要在30个月内结清,不计算利息.王先生在活动期间购买了一辆价格为12万元的汽车,交了首付款后平均每月付款y万元,x个月结清,y与x成反比例,其函数图象如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式,并求出首付款的钱数.
(2)若王先生用20个月结清,则平均每月应付多少万元
(3)如果打算每月付款不超过4 000元,那么王先生至少要用多少个月才能结清余款
解:(1)设y关于x的函数解析式为y＝(k≠0),
把(5,1.8)代入y＝(k≠0),得k＝9,
∴y＝(0＜x≤30,且x为正整数).
∴余额为9万元,12－9＝3(万元),
∴首付款为3万元.
(2)当x＝20时,y＝＝0.45.
∴平均每月应付0.45万元.
(3)由题意,知≤0.4,∴x≥22.5.
∵x为正整数,∴王先生至少要用23个月才能结清余款.
23.小明要把一篇文章录入电脑,已知他完成录入的时间y(分钟)与录入文字的速度x(字/分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)若小明在19:20开始录入,完成录入时间不超过19:35,小明每分钟至少应录入多少字
(3)小明为了收看19:30的《新闻联播》,将原定的录入速度提高了20%,结果比原计划提前2分钟完成,小明实际用了多少分钟完成文章的录入
解:(1)设y关于x的函数解析式为y＝(k≠0).
把点(150,10)代入,得10＝,∴k＝1500,
∴y与x之间的函数解析式为y＝.
(2)∵k＞0,在第一象限内,y随x的增大而减小,
∴当y≤15时,x≥100.
答:小明每分钟至少录入100字.
(3)设小明实际用了t分钟,则原计划用时(t+2)分钟.
由题意,得(1+20%)×,解得t＝10,
经检验t＝10是原分式方程的解,且符合题意.
答:小明实际用了10分钟完成文章的录入.
24.【2021·乐山】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平衡状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值．
解：设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝.
将C(20，45)的坐标代入，得45＝，解得k＝900.
∴反比例函数的解析式为y＝.
当x＝45时，y＝＝20，∴D(45，20)．
∴A(0，20)，即A对应的指标值为20.
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标不低于36？请说明理由．
解：设当0≤x＜10时，线段AB的解析式为y＝mx＋n.
将A(0，20)，B(10，45)的坐标代入，
得解得
∴线段AB的解析式为y＝x＋20(0≤x＜10)．
当y≥36时，x＋20≥36，解得x≥.
由(1)得反比例函数的解析式为y＝.
当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴当≤x≤25时，注意力指标不低于36.
∵25－＝>17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标不低于36.
25【河北中考】长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进，如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为S头(m).
(1)当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围)；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲(m)，求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)；
(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．
解：(1)①排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，则排头也离开原排头t(s)，
∴S头＝2t＋300　②甲从排尾赶到排头的时间为300÷(2v－v)＝300÷v＝300÷2＝150(s)，此时S头＝2t＋300＝600(m)，甲返回时间为：(t－150)s，
∴S甲＝S头－S甲回＝2×150＋300－4(t－150)＝－4t＋1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t＋300，当甲赶到排头位置时，S头的值为600 m；
在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝－4t＋1200　
(2)T＝t追及＋t返回＝＋＝，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×＝400；因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为400 m