人教版数学九上24.1.2垂直于弦的直径课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
垂直于弦的直径
如图，是1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）
是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
归纳
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴．
（2）线段：AE=BE
弧：
原因：由圆的对称性可知，将圆沿着CD 折叠时，A会与B重合，所以相应的线段和弧相等．
归纳
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
书写规范
运用垂径定理时，如何书写过程呢？
∵ CD是直径，CD⊥AB
∴ AE=BE，
类似的，若要运用垂径定理的推论，你会写过程了吗？
∵ CD是直径，AE=BE
∴ CD⊥AB，
几何语言表达
垂径定理
①CD是直径
②CD⊥AB
③AE=BE
垂径定理的推理
①CD是直径
③AE=BE
②CD⊥AB
知二推三
①CD是直径
②CD⊥AB
③AE=BE
其实垂径定理可以进一步地推广，
以上五个条件中，
只要其中任意两个成立，
就可以得到另外三个结论．
这就是所谓的“知二推三”
应用条件
下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
否
是
否
概念辨析
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
平分弦的直线有无数条
如果弦是直径会怎样？
概念辨析
判断下列说法的正误
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧
垂直平分线是直线
直径是线段，能相等吗？
如果弦是直径会怎样？
例题
如图，在⊙O中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC 于E，求证四边形ADOE是正方形．
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
练习
如图，AB是⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE
B．CE=DE
C．OE=AE
D.
C
练习
如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，
求证：AC=BD．
提示：作OE⊥AB
E
练习
已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D 两点．求证：AC＝BD．
提示：作OE⊥AB
E
练习
已知：⊙O 中弦AB∥CD．求证：
提示：作直径MN⊥AB
M
N
例题
如图，在⊙O 中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：作OE⊥AB于点E，连接AO，
在Rt △ AOE 中
答：⊙O的半径为5cm.
总结：
已知半径，弦长，圆心到弦的距离这三个中的任意两个，可以求第三个．
赵州桥拱半径问题
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
在图中，AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
R-7.2
18.7
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得：R≈27.9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
归纳
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
（1）d+h=r
特别的，若已知h和a，则需要设未知数，列方程求解
练习
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，
则AB=________cm．
16
练习
如图，在圆O 中，半径r=13，弦AB=24，则圆心O 到AB的距离为______．　
5
练习
如图，在圆O中，直径AB⊥弦 CD 于点 M，AM=18，BM=8，则 CD 的长为 ________．　
24
练习
如图，圆O 的半径为 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的最小值是 ________．　
3
练习
如图，CD是⊙O 的直径，弦AB⊥CD 于E，CE=1，AB=10，求直径CD 的长．
答案：CD=26．
练习
一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为 1 m，水面宽 AB 为 1.6 m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.2 m，求水面下降的高度．
答案：0.2米．
练习
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
答案：半径是3.9m，MN＞3，能通过.
练习
1．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm，圆心O 到AB 的距离为3cm，求⊙O 的半径．
练习
2．如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于D，OE⊥AC 于E，求证四边形ADOE 是正方形．
构造垂径求长度
如图，在△ABC中，已知BC=2，∠ACB=130°，∠BAC=20°，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为__________．
提示：过点C 作BD 的垂径
总结：要求弦长，就要想到作垂径，利用垂径定理．
平行弦间的距离
已知圆O 的半径是 10 cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则 AB 与 CD 的距离是________________．
总结：看到没图的问题，就要考虑到多解的可能．
14cm或2cm
总结
这节课我们学会了什么？
垂径定理
①CD是直径
②CD⊥AB
③AE=BE
垂径定理的推理
①CD是直径
③AE=BE
②CD⊥AB
总结
利用垂径定理计算的技巧
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
（1）d+h=r
特别的，若已知h和a，则需要设未知数，列方程求解.