人教版数学八上高分笔记之导与练14.2.2完全平方公式（原卷+答案）

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14.2.2完全平方公式
知识要点：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______加上（或减去）它们积的2倍，用式子表示为（a±b）2＝__________
2．计算：（1）（x＋2y）2＝___________(2)(x-2y)2= ________
易错点睛
计算：（1）（-a＋b）2；（2）（-a-b）2．
【点睛】（-a＋b）2＝（b-a）2，（-a-b）2＝［-（a+b)]2=(a+b)2.
【解】（1）a2-2ab＋b2；(2)a2+2ab+b2.
典型例题
题型一、利用完全平方公式化简求值
例1、先化简，再求值：（2a＋1）2-4a（a-1），其中 a=
变式练习：
先化简，再求值：2b2＋（a＋b）（a-b）-（a-b）2，其中a＝-3，b＝
题型二、完全平方公式的几何解释
例2、［数形结合思想］请你观察下图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（ )
A.(x+y)(x-y)=x2-y2 B.(x+y)2=x2+2xy+y2 C.(x-y)2=x2-2xy+y2 D.(x+y)2=x2+xy+y2
变式练习：
2、利用图形面积的相等关系可以得到某些数学公式，例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；根据图②，能得到的数学公式是（ ）
A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b)
3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到a（a＋b）＝a2＋ab，那么利用图②所得到的数学等式是（ ）
(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+ac+bc
D.(a+b+c)2=2a+2b+2c
基础练习：
计算（a＋3）2的结果是（ ）
A.a2+9 B.a2+6a+9 C.a2-6a+9 D.a2-9
2．计算（2x-y）2的结果是（ ）
A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2
3．计算（2m-1）2等于（ ）
A.-4㎡-4m+1 B.4㎡-4m+1
4．下列各式中计算正确的是（ ）
A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2+1)2=a4+2a+1 D.(a+b)2=a2+2ab+b2
填空：x2＋10x＋ =(x+ )2.
6．若x2＋ax＋9＝（x＋3）2，则a的值为（ )
A.3 B.±3 C.6 D.±6
7．若a-b＝1，a2＋b2＝13，则ab的值为（ )
A.6 B.7 C.8 D.9
8．若a＋＝4，则a2＋＝_____
9．已知（a＋b）2＝25，（a-b）2＝9，求ab与a2＋b2的值．
已知a＋b＝5，ab＝2．
（1）求a2＋b2的值； （2）求（a-b）2的值；
求a2-ab＋b2的值； （4）求a2＋b2＋3ab的值．
已知x＋y＝6，xy＝7，求（3x＋y）2＋（x＋3y）2的值．
综合题探究
12.如图，长方形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68c㎡，求长方形ABCD的面积．
答案：
1．两个数的和（或差）的平方，等于它们平方和的加上（或减去）它们积的2倍，用式子表示为（a±b）2＝a2±2ab+b2
2．计算：（1）（x＋2y）2＝x2＋4xy＋4y2
(2)(x-2y)2= x2-4xy+4y2
易错点睛
计算：（1）（-a＋b）2；（2）（-a-b）2．
【点睛】（-a＋b）2＝（b-a）2，（-a-b）2＝［-（a+b)]2=(a+b)2.
【解】（1）a2-2ab＋b2；(2)a2+2ab+b2.
典型例题
题型一、利用完全平方公式化简求值
例1、先化简，再求值：（2a＋1）2-4a（a-1），其中 a=
解：原式＝4a2＋4a＋1-4a2＋4a＝8a＋1．
当a＝时，
原式＝8x＋1＝2．
变式练习：
1、先化简，再求值：2b2＋（a＋b）（a-b）-（a-b）2，其中a＝-3，b＝
解：原式＝2b2＋a2-b2-（a2-2ab＋b2）=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab.
当a＝-3，b＝时，原式＝2x（-3）x＝-3．
题型二、完全平方公式的几何解释
例2、［数形结合思想］请你观察下图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（ )
A.(x+y)(x-y)=x2-y2 B.(x+y)2=x2+2xy+y2 C.(x-y)2=x2-2xy+y2 D.(x+y)2=x2+xy+y2
答案：B
变式练习：
2、利用图形面积的相等关系可以得到某些数学公式，例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；根据图②，能得到的数学公式是（C）
A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b)
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到a（a＋b）＝a2＋ab，那么利用图②所得到的数学等式是（B）
(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+ac+bc
D.(a+b+c)2=2a+2b+2c
基础练习：
1.计算（a＋3）2的结果是（B）
A.a2+9 B.a2+6a+9 C.a2-6a+9 D.a2-9
2．计算（2x-y）2的结果是（A）
A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2
3．计算（2m-1）2等于（B）
A.-4㎡-4m+1 B.4㎡-4m+1
4．下列各式中计算正确的是（D）
A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2+1)2=a4+2a+1 D.(a+b)2=a2+2ab+b2
5.填空：x2＋10x＋ 25 =(x+ 5)2.
6．若x2＋ax＋9＝（x＋3）2，则a的值为（ C)
A.3 B.±3 C.6 D.±6
7．若a-b＝1，a2＋b2＝13，则ab的值为（ A )
A.6 B.7 C.8 D.9
8．若a＋＝4，则a2＋＝14
9．已知（a＋b）2＝25，（a-b）2＝9，求ab与a2＋b2的值．
解：ab＝4，a2＋b2＝17．
10．已知a＋b＝5，ab＝2．
（1）求a2＋b2的值； （2）求（a-b）2的值；
解：21； 解：17；
求a2-ab＋b2的值； （4）求a2＋b2＋3ab的值．
解：27． 解：19；
11．已知x＋y＝6，xy＝7，求（3x＋y）2＋（x＋3y）2的值．
解：原式＝10x2＋10y2＋12xy＝10（x＋y）2-8xy
∵x+y=6,xy=7,∴原式＝10x62-8x7＝304．
综合题探究
12.如图，长方形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68c㎡，求长方形ABCD的面积．
解：设AB＝x，AD＝y，根据题意得x2＋y2＝68①，2（x＋y）＝20②，
由①得（x＋y）2-2xy＝68，∴2xy＝100-68＝32，
∴xy＝16，长方形ABCD的面积是16c㎡．
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