人教版数学八上高分笔记之导与练14.2.1平方差公式（原卷+答案）

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14.2.1 平方差公式
知识要点：
1．两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的 ，用式子表示为（a＋b）（a-b）＝ ．
2．计算：（x＋3）（x-3）＝
(y-x)(y+x)=
易错点睛：
计算：（a-b）（-a-b）＝
【点睛】运用平方差公式时，其中相同项的平方作为被减数；相反项的平方作为减数.
典型例题：
题型一、多次运用平方差公式进行计算
例1、计算：（a＋1）（a-1）（a2＋1）（a4＋1）．
解题策略：当题目中出现多个二项式相乘时，要仔细观察因式的特点，若出现可多次运用平方差公式的形式，则依次运用平方差公式，直到不能运用为止.:
变式练习：
计算：
(1)(2y+1)(4y2+1)(2y-1);
(2)(m-2)(m+2)(㎡+4)-(m4-16).
题型二、运用平方差公式进行简便计算
例2、计算：
(1)102x98; (2)59.8x60.2.
解题策略：把两个数拆成两数和与两数差的积，再利用平方差公式进行计算.
变式练习：
计算：
（1）99x100 （2）20202-2019x2021
基础练习：
填空：
(1)(x+3)(x-3)= ; (2)(2a-b)(2a+b)=
(3)(2x+1)(2x-1)=_____ ;(4)(2m+3)( )=4㎡-9.
2．计算（1＋y）（1-y）的结果是（ ）
A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2
3．若（2a＋3b）（ ）＝4a2-9b2，则括号内应填的代数式是（ ）
A.-2a-3b B.2a+3b C.2a-3b D.3b-2a
4．计算（x＋1）（x-1）-x2的结果是（ ）
A.2x2-1 B.2x2 C.-1 D.1
5．下列各式中，计算结果为81-x2的是（ ）
A.(x+9)(x-9) B.(x+9)(-x-9)
C.(x-9)(9+x) D.(-x-9)(9-x)
6．已知a-b＝3，则a2-b2-6b的值是（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
7．计算：
(1)(x+2)(2-x); (2)(2a-1)(-2a-1).
计算：
(1)(x+y)(x-y)(x2+y2); (2)20212-2020x2022.
9．先化简，再求值：（a＋b）（a-b）＋b（a＋2b）-b2，其中a＝1，b＝-2．
10.有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后的正方形绿地面积．
综合探究
已知a-b＝10，b-c＝5，a＋c＝20，求a2-c2的值．
答案：
1．两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的 平方差，用式子表示为（a＋b）（a-b）＝a2-b2．
2．计算：（x＋3）（x-3）＝x2-9
(y-x)(y+x)=y2-x2
易错点睛：
计算：（a-b）（-a-b）＝ b2-a2
【点睛】运用平方差公式时，其中相同项的平方作为被减数；相反项的平方作为减数.
典型例题：
题型一、多次运用平方差公式进行计算
例1、计算：（a＋1）（a-1）（a2＋1）（a4＋1）．
解：原式＝（a2-1）（a2＋1）（a4＋1）
=(a4-1)(a4+1)
=a8-1.
解题策略：当题目中出现多个二项式相乘时，要仔细观察因式的特点，若出现可多次运用平方差公式的形式，则依次运用平方差公式，直到不能运用为止.:
变式练习：
计算：
(1)(2y+1)(4y2+1)(2y-1);
解：原式＝（4y2-1）（4y2＋1）＝16y4-1；
(2)(m-2)(m+2)(㎡+4)-(m4-16).
解：原式＝（㎡-4）（㎡＋4）-（m4-16）=(m4-16)-(m4-16)=0.
题型二、运用平方差公式进行简便计算
例2、计算：
(1)102x98; (2)59.8x60.2.
解：（1）原式＝（100＋2）（100-2）=1002-22=10000-4=9996;
（2）原式＝（60-0.2）（60＋0.2）=602-0.22=3600-0.04=3599.96.
解题策略：把两个数拆成两数和与两数差的积，再利用平方差公式进行计算.
变式练习：
计算：
（1）99x100 （2）20202-2019x2021
(1)解：原式＝(100-)(100+)=100-()2=10000- =9999
(2)解：原式＝20202-（2020-1）（2020＋1）=20202-(20202-1)=1.
基础练习：
填空：
(1)(x+3)(x-3)=x2-9;(2)(2a-b)(2a+b)=4a2-b2
(3)(2x+1)(2x-1)=4x2-1 ;(4)(2m+3)(2m-3 )=4㎡-9.
2．计算（1＋y）（1-y）的结果是（C）
A.1+y2 B.-1-y2 C.1-y2 D.-1+y2
3．若（2a＋3b）（ ）＝4a2-9b2，则括号内应填的代数式是（C）
A.-2a-3b B.2a+3b C.2a-3b D.3b-2a
4．计算（x＋1）（x-1）-x2的结果是（C）
A.2x2-1 B.2x2 C.-1 D.1
5．下列各式中，计算结果为81-x2的是（C）
A.(x+9)(x-9) B.(x+9)(-x-9)
C.(x-9)(9+x) D.(-x-9)(9-x)
6．已知a-b＝3，则a2-b2-6b的值是（C）
A.3 B.6 C.9 D.12
7．计算：
(1)(x+2)(2-x); (2)(2a-1)(-2a-1).
解：2-x2； 解：1-4a2．
8．计算：
(1)(x+y)(x-y)(x2+y2); (2)20212-2020x2022.
解：x2-y2； 解：1．
9．先化简，再求值：（a＋b）（a-b）＋b（a＋2b）-b2，其中a＝1，b＝-2．
解：原式＝a2＋ab＝-1．
10．有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后的正方形绿地面积．
解：设改造后正方形的边长为xm，2（x＋2）（x-2）＝x2，∴x2＝8．
答：正方形绿地面积为8㎡．
综合探究
11．已知a-b＝10，b-c＝5，a＋c＝20，求a2-c2的值．
解：∵a-b＋b-c＝10＋5，∴a-c＝15，∴a2-c2＝（a＋c）（a-c）＝15x20＝300．
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