湘教版九年级数学下册 1.4二次函数与一元二次方程的联系课件(共35张PPT)
文档属性
| 名称 | 湘教版九年级数学下册 1.4二次函数与一元二次方程的联系课件(共35张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 15:53:32 | ||
图片预览
文档简介
(共35张PPT)
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
第1章 二次函数
知识点
二次函数与一元二次方程的关系
知1－讲
1
1. 二次函数图象与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1，x=x2.
2.二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)与二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下：
知1－讲
判别式
结果
内容 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根
有两个相等
的实数根 没有实数根
知1－讲
二次函数
y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象 a>0
a<0
抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点
知1－讲
拓宽视野：
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m 时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m； 反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m 可以看成是已知y=ax2+bx+c的函数值y=m，求自变量x的值. 方程ax2+bx+c=m 的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的公共点的横坐标.
知1－讲
2. 二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次方程ax2+bx+c=0 的关系密切，二者可以相互转化. 已知二次函数的值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0; 反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=0 可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0，求自变量x 的值.
知1－讲
例 1
已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m ＞ 0)有两个根，其中一个根是3．若关于x 的方程ax2+bx+c+n=0(0 ＜ n＜ m)有两个整数根，则这两个整数根是( )
A. －2，0 B. －4，2 C. －5，3 D. －6，4
B
知1－讲
解：二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，即方程ax2+bx+c=0 的两个根是－3和1，由方程ax2+bx+c+m=0 有一个根是3，可得二次函数y=ax2+bx+c 的图象沿着y轴向上平移m个单位后经过点(3，0)，则必经过点(－5，0)，可得方程ax2+bx+c+m=0 的另一个根为－5. 由0＜n＜m，可知方程ax2+bx+c+n=0 的两根分别在－5 和－3 之间与1 和3之间，由此判断B 符合该范围．故选B．
知1－讲
解题秘方：由题意可得方程ax2+bx+c=0 的两个根是－3，1，方程左边在原来的基础上加m，可以理解为对应的二次函数的图象沿着y 轴向上平移m个单位, 由此可判断方程的两个根, 进而可判断选项．
方法点拨：
根据二次函数图象沿y轴上移或下移的方法来判断选项.
知2－讲
知识点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.
知2－讲
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的解
(1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，公共点的个数就是方程ax2+bx+c=0 的解的个数.
知2－讲
(2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解.
(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
知2－讲
方法点拨：
估计一元二次方程的解的方法：
在难以读出公共点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解，对于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0， 且ax22+bx2+c<0， 那么在x1与x2之间存在一个解， 取x3= ，若ax23+bx3+c>0， 则取x4= ； 若ax23+bx3+c<0，则取x4= .这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.
知2－讲
2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的解
(1)将一元二次方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2 和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
知2－讲
例2
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8 的近似解(结果精确到0.1).
解题秘方一：画出二次函数y=－x2+2x+5 的图象，利用二次函数的图象与x轴的公共点计算方程的近似解.
知2－讲
特别提醒：
用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现，但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的.
知2－讲
解法一：整理方程，得－x2+2x+5=0.
作函数y=－x2+2x+5 的图象如图1.4-1.
由图象可知，抛物线与x 轴公共点的横坐标分别在－2 和－1，3 和4 之间，即方程－x2+2x－3=－8 的两个实数解分别在－2 和－1，3 和4 之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.
知2－讲
知2－讲
由图象可知，当x=3 时，y>0；当x=4 时，y<0，
取3 和4 的平均数3.5，当x=3.5 时，y=－0.25，与x=3 时的函数值异号，所以方程的这个解在3 和3.5 之间.
取3 和3.5 的平均数3.25，当x=3.25 时，y=0.937 5，与x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25 和3.5 之间.
知2－讲
取3.25 和3.5 的平均数3.375，当x=3.375 时，y=0.359 375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375 和3.5 之间.
……
由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.
用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4.
所以方程－x2+2x－3=－8 的解为x1≈ －1.4，x2≈ 3.4.
知2－讲
解题秘方二：画出二次函数y=－x2+2x－3 的图象，再画出直线y=－8，利用两图象的公共点求方程的近似解.
知2－讲
解法二：作出函数y=－x2+2x－3 的图象，
再画出直线y=－8，如图1.4-2.
由图象知，方程－x2+2x－3=－8 的解是抛物线
y=－x2+2x－3 与直线y=－8 的公共点的横坐标，一个公共点的横坐标在－2 与－1 之间，另一个公共点的横坐标在3 与4 之间.
同样用取平均数的方法，可得方程－x2+2x－3=－8 的解为x1 ≈ －1.4，x2 ≈ 3.4.
知2－讲
知2－讲
另解：
将原方程变形，得－x2=－2x－5， 画出函数y=－x2和y=－2x－5 的图象， 如图1.4-3.
由图可知，抛物线和直线交于A，B 两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，可知A，B两点的横坐标分别约为－1.4和3.4，所以方程－x2+2x－3=－8的解是x1 ≈ －1.4，x2 ≈ 3.4.
知2－讲
知2－讲
解题通法：
用图象法求一元二次方程的近似解：
●先作出相应的二次函数的图象，确定一元二次方程的解的个数，找出公共点的横坐标的大致范围.
●然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解.
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的符号关系（拓展点）
知3－讲
3
二次函数y=ax2+bx+c中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x轴的交点情况，具体如下表：
知3－讲
符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y 轴
ab>0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧
ab<0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧
c c=0 图象过原点
c>0 图象与y 轴正半轴相交
c<0 图象与y 轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 图象与x轴有唯一一个交点
b2-4ac>0 图象与x 轴有两个交点
b2-4ac<0 图象与x 轴没有交点
知3－讲
收藏夹：
对于二次函数y=ax2+bx+c：
当x=1 时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0；
若y ＞ 0，则a+b+c ＞ 0；
若y ＜ 0，则a+b+c ＜ 0.
当x=-1 时，y=a-b+c，此时，若y=0，则a-b+c=0；
若y ＞ 0，则a-b+c ＞ 0；
若y ＜ 0，则a-b+c ＜ 0.
知3－讲
例 3
已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图1.4-4，有下列结论：
① a+b+c<0；② a－b+c>0；③ abc>0；④ b2<4ac；⑤ b=2a. 其中正确的结论有( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
B
知3－讲
解：当x=1 时，对应的函数值y<0，即a+b+c<0，故①正确；
详解：
当x=1时，对应的函数值y=ax2+bx+c=a+b+c，观察图象可知此时抛物线上对应的点在x轴下方，说明此时的函数值y<0，即a+b+c<0.
知3－讲
当x=－1 时，对应的函数值y>0，即a－b+c>0，故②正确；观察图象知抛物线过原点，∴ c=0，∴ abc=0，故③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2－4ac＞0，即b2 ＞ 4ac, 故④错误；
∵此抛物线的对称轴是直线x=－1，∴ － =－1，
∴ b=2a，故⑤正确.
知3－讲
解题秘方：根据二次函数的图象特征与a，b，c 之间的关系判断.
知3－讲
特别提醒：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=－ ，判断a，b之间的关系时，往往需要根据抛物线的对称轴的位置来判断.
二次函数与一元二次方程的联系
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
第1章 二次函数
知识点
二次函数与一元二次方程的关系
知1－讲
1
1. 二次函数图象与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程根的关系一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1，x=x2.
2.二次函数与一元二次方程的联系与区别一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)与二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)二者之间的内在联系与区别，列表如下：
知1－讲
判别式
结果
内容 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a ≠ 0)的根的情况 有两个不相等的实数根
有两个相等
的实数根 没有实数根
知1－讲
二次函数
y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象 a>0
a<0
抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点
知1－讲
拓宽视野：
1. 已知二次函数y=ax2+bx+c，求当y=m 时自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m； 反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m 可以看成是已知y=ax2+bx+c的函数值y=m，求自变量x的值. 方程ax2+bx+c=m 的解是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m的公共点的横坐标.
知1－讲
2. 二次函数y=ax2+bx+c 与一元二次方程ax2+bx+c=0 的关系密切，二者可以相互转化. 已知二次函数的值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0; 反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=0 可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0，求自变量x 的值.
知1－讲
例 1
已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m ＞ 0)有两个根，其中一个根是3．若关于x 的方程ax2+bx+c+n=0(0 ＜ n＜ m)有两个整数根，则这两个整数根是( )
A. －2，0 B. －4，2 C. －5，3 D. －6，4
B
知1－讲
解：二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过(－3，0)与(1，0)两点，即方程ax2+bx+c=0 的两个根是－3和1，由方程ax2+bx+c+m=0 有一个根是3，可得二次函数y=ax2+bx+c 的图象沿着y轴向上平移m个单位后经过点(3，0)，则必经过点(－5，0)，可得方程ax2+bx+c+m=0 的另一个根为－5. 由0＜n＜m，可知方程ax2+bx+c+n=0 的两根分别在－5 和－3 之间与1 和3之间，由此判断B 符合该范围．故选B．
知1－讲
解题秘方：由题意可得方程ax2+bx+c=0 的两个根是－3，1，方程左边在原来的基础上加m，可以理解为对应的二次函数的图象沿着y 轴向上平移m个单位, 由此可判断方程的两个根, 进而可判断选项．
方法点拨：
根据二次函数图象沿y轴上移或下移的方法来判断选项.
知2－讲
知识点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.
知2－讲
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一元二次方程ax2+bx+c=0 的解
(1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x 轴公共点的个数，公共点的个数就是方程ax2+bx+c=0 的解的个数.
知2－讲
(2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解.
(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
知2－讲
方法点拨：
估计一元二次方程的解的方法：
在难以读出公共点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解，对于y=ax2+bx+c(a≠0)，如果ax21+bx1+c>0， 且ax22+bx2+c<0， 那么在x1与x2之间存在一个解， 取x3= ，若ax23+bx3+c>0， 则取x4= ； 若ax23+bx3+c<0，则取x4= .这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止.
知2－讲
2. 利用二次函数y=ax2 的图象与直线y=－bx－c 的公共点求方程ax2+bx+c=0 的解
(1)将一元二次方程ax2+bx+c=0 化为ax2=－bx－c 的形式；
(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2 和直线y=－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
知2－讲
例2
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8 的近似解(结果精确到0.1).
解题秘方一：画出二次函数y=－x2+2x+5 的图象，利用二次函数的图象与x轴的公共点计算方程的近似解.
知2－讲
特别提醒：
用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现，但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的.
知2－讲
解法一：整理方程，得－x2+2x+5=0.
作函数y=－x2+2x+5 的图象如图1.4-1.
由图象可知，抛物线与x 轴公共点的横坐标分别在－2 和－1，3 和4 之间，即方程－x2+2x－3=－8 的两个实数解分别在－2 和－1，3 和4 之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.
知2－讲
知2－讲
由图象可知，当x=3 时，y>0；当x=4 时，y<0，
取3 和4 的平均数3.5，当x=3.5 时，y=－0.25，与x=3 时的函数值异号，所以方程的这个解在3 和3.5 之间.
取3 和3.5 的平均数3.25，当x=3.25 时，y=0.937 5，与x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25 和3.5 之间.
知2－讲
取3.25 和3.5 的平均数3.375，当x=3.375 时，y=0.359 375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375 和3.5 之间.
……
由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.
用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4.
所以方程－x2+2x－3=－8 的解为x1≈ －1.4，x2≈ 3.4.
知2－讲
解题秘方二：画出二次函数y=－x2+2x－3 的图象，再画出直线y=－8，利用两图象的公共点求方程的近似解.
知2－讲
解法二：作出函数y=－x2+2x－3 的图象，
再画出直线y=－8，如图1.4-2.
由图象知，方程－x2+2x－3=－8 的解是抛物线
y=－x2+2x－3 与直线y=－8 的公共点的横坐标，一个公共点的横坐标在－2 与－1 之间，另一个公共点的横坐标在3 与4 之间.
同样用取平均数的方法，可得方程－x2+2x－3=－8 的解为x1 ≈ －1.4，x2 ≈ 3.4.
知2－讲
知2－讲
另解：
将原方程变形，得－x2=－2x－5， 画出函数y=－x2和y=－2x－5 的图象， 如图1.4-3.
由图可知，抛物线和直线交于A，B 两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，可知A，B两点的横坐标分别约为－1.4和3.4，所以方程－x2+2x－3=－8的解是x1 ≈ －1.4，x2 ≈ 3.4.
知2－讲
知2－讲
解题通法：
用图象法求一元二次方程的近似解：
●先作出相应的二次函数的图象，确定一元二次方程的解的个数，找出公共点的横坐标的大致范围.
●然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解.
知识点
二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a，b，c的符号关系（拓展点）
知3－讲
3
二次函数y=ax2+bx+c中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，b2－4ac 的符号决定抛物线与x轴的交点情况，具体如下表：
知3－讲
符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b=0 对称轴为y 轴
ab>0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧
ab<0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧
c c=0 图象过原点
c>0 图象与y 轴正半轴相交
c<0 图象与y 轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 图象与x轴有唯一一个交点
b2-4ac>0 图象与x 轴有两个交点
b2-4ac<0 图象与x 轴没有交点
知3－讲
收藏夹：
对于二次函数y=ax2+bx+c：
当x=1 时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0；
若y ＞ 0，则a+b+c ＞ 0；
若y ＜ 0，则a+b+c ＜ 0.
当x=-1 时，y=a-b+c，此时，若y=0，则a-b+c=0；
若y ＞ 0，则a-b+c ＞ 0；
若y ＜ 0，则a-b+c ＜ 0.
知3－讲
例 3
已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图1.4-4，有下列结论：
① a+b+c<0；② a－b+c>0；③ abc>0；④ b2<4ac；⑤ b=2a. 其中正确的结论有( )
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
B
知3－讲
解：当x=1 时，对应的函数值y<0，即a+b+c<0，故①正确；
详解：
当x=1时，对应的函数值y=ax2+bx+c=a+b+c，观察图象可知此时抛物线上对应的点在x轴下方，说明此时的函数值y<0，即a+b+c<0.
知3－讲
当x=－1 时，对应的函数值y>0，即a－b+c>0，故②正确；观察图象知抛物线过原点，∴ c=0，∴ abc=0，故③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2－4ac＞0，即b2 ＞ 4ac, 故④错误；
∵此抛物线的对称轴是直线x=－1，∴ － =－1，
∴ b=2a，故⑤正确.
知3－讲
解题秘方：根据二次函数的图象特征与a，b，c 之间的关系判断.
知3－讲
特别提醒：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=－ ，判断a，b之间的关系时，往往需要根据抛物线的对称轴的位置来判断.
二次函数与一元二次方程的联系