人教版数学八上高分笔记之导与练14.3.1提公因式法（原卷+答案）

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14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
知识要点：
1．把一个多项式化成几个 的 的形式，叫做因式分解.
2．如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个 提出来，从而将多项式化成 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
3．ma＋mb的公因式是 ；2a（y-x）和-3b（y-x）的公因式是__________
易错点睛：
因式分解：2a（x-y）＋4（y-x）．
【点睛】公因式可以是单项式，也可以是多项式，正确确定两个单项式的公因式是解决本题的关键.
典例讲解
题型一、利用提公因式法化简求值
例1、已知a＋b＝4，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解题策略：在求值问题中，如果不能求出所求式子中每一个字母的值，那么可考虑提公因式，利用整体代入法求值.
变式练习：
1、已知2x-y＝1，xy＝2，求2x4y3-x3y4的值.
题型二、利用因式分解进行简便运算
例2、计算：(1)39x37-13x91; (2)29x20.21+72x20.21+13x20.21-20.21x14.
解题策略：在计算几个式子的和时，若有公因式，常先提公因式，使整个计算过程得以简化.
变式练习：
2、计算：
(1)1.992+1.99x0.01;
(2)20202+2020-20212;
(3)5x24+3x24+4x22.
基础练习：
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ )
A.x(x-1)=x2-x B.x2-2x+1=(x-1)2
C.x2+3x-4=x(x+3)-4 D.y(y+1)=y2+y
2．下列多项式中，可以提取公因式的是（ ）
A.ab+cd B.mn+㎡ C.x2-y2 D.x2+2xy+y2
3．（1）多项式3ma-6mab的公因式是 _______
（2）多项式3a3b3-3a2b2-9a2b的公因式是_______
（3）多项式3x2y3z＋9x3y3z-6x4yz2的公因式是 3x2yz
4．分解因式：
(1)3x-12=_______ (2)ax+ay=________
(3)3a2-6a= ________ (4)x3-2x2y=________
5.a（x-y）与ay-ax的公因式是（ ）
A.a(x-y) B.ay+ax C.a D.x-y
6.（x-y）2-（x-y）因式分解的结果是（ ）
A.(y-x)(x-y) B.(x-y)(x-y+1) C.(x-y)(x-y-1) D.(x-y)(y-x-1)
7.因式分解：a2b-2ab2＝_________
8.若ab＝1，a＋b＝2，则a3b2＋a2b3＝_______
9.若ab＝2，a-2b＝3，则2a2b-4ab2的值为________
10.把下列各式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3x; (2)-14abc-7ab+49ab2c;
(3)6a(m-n)-3b(n-m); (4)4q(1-p)3+2(p-1)2.
11.用简便方法计算：
(1)5392-439x539; (2)20202+2020-2020x2021.
12.已知a＋b＝1，ab＝-3．
(1)a2+b2=_______ ;
（2）求2a3b＋2ab3的值．
综合题探究
（1）【问题背景】若x＋5是整式x＋mx-10的一个因式，求m的值．设x2＋mx-10＝（x＋5）（x＋n）＝x2＋（5＋n）x＋5n．则可知5＋n＝ ＿，5n＝ ， 可得n＝ ,m=
（2）【尝试应用】若x-2是整式x2＋2x＋k的一个因式，求k的值．
答案：
1．把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，叫做因式分解.
2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式 提出来，从而将多项式化成 整式的积 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
3．ma＋mb的公因式是 m ；2a（y-x）和-3b（y-x）的公因式是 (y-z)
易错点睛：
因式分解：2a（x-y）＋4（y-x）．
【点睛】公因式可以是单项式，也可以是多项式，正确确定两个单项式的公因式是解决本题的关键.
【解】 2(x-y)(a-2)
典例讲解
题型一、利用提公因式法化简求值
例1、已知a＋b＝4，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解：因为a＋b＝4，ab＝4，
所以a2b＋ab2＝ab（a＋b）＝4x4＝16．
解题策略：在求值问题中，如果不能求出所求式子中每一个字母的值，那么可考虑提公因式，利用整体代入法求值.
变式练习：
已知2x-y＝1，xy＝2，求2x4y3-x3y4的值.解：原式＝x3y3（2x-y）＝（xy）3（2x-y）．
当2x-y＝1，xy＝2时，原式＝23x1＝8
题型二、利用因式分解进行简便运算
例2、计算：(1)39x37-13x91; (2)29x20.21+72x20.21+13x20.21-20.21x14.
解：（1）原式＝3x13x37-13x91=13x(3x37-91)=13x20=260;
（2）原式＝20.21x（29＋72＋13-14）=20.21x100=2021.
解题策略：在计算几个式子的和时，若有公因式，常先提公因式，使整个计算过程得以简化.
变式练习：
2、计算：
(1)1.992+1.99x0.01; 解：原式＝1.99x（1.99＋0.01）＝3.98；
(2)20202+2020-20212;
解：原式＝2020x（2020＋1）-20212＝2020x2021-20212=2021x(2020-2021)=-2021;
(3)5x24+3x24+4x22.
解：原式＝5x24＋3x24＋24＝24x（5＋3＋1）＝24x9=144.
基础练习：
1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ B)
A.x(x-1)=x2-x B.x2-2x+1=(x-1)2
C.x2+3x-4=x(x+3)-4 D.y(y+1)=y2+y
2．下列多项式中，可以提取公因式的是（B）
A.ab+cd B.mn+㎡ C.x2-y2 D.x2+2xy+y2
3．（1）多项式3ma-6mab的公因式是 3ma
（2）多项式3a3b3-3a2b2-9a2b的公因式是3a2b
（3）多项式3x2y3z＋9x3y3z-6x4yz2的公因式是 3x2yz
4．分解因式：
(1)3x-12=3(x-4) (2)ax+ay=a(x+y)
(3)3a2-6a= 3a(a-2) (4)x3-2x2y=x2(x-2y)
5.a（x-y）与ay-ax的公因式是（A）
A.a(x-y) B.ay+ax C.a D.x-y
6.（x-y）2-（x-y）因式分解的结果是（C）
A.(y-x)(x-y) B.(x-y)(x-y+1) C.(x-y)(x-y-1) D.(x-y)(y-x-1)
7.因式分解：a2b-2ab2＝ab（a-2b）
8.若ab＝1，a＋b＝2，则a3b2＋a2b3＝2
9.若ab＝2，a-2b＝3，则2a2b-4ab2的值为 12
10.把下列各式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3x; (2)-14abc-7ab+49ab2c;
解：-3x（x-2y＋1）； 解：-7ab（2c＋1-7bc）；
(3)6a(m-n)-3b(n-m); (4)4q(1-p)3+2(p-1)2.
解：3（m-n）（2a＋b）； 解：2（1-p）2（2q-2pq＋1）．
11.用简便方法计算：
(1)5392-439x539; (2)20202+2020-2020x2021.
解：53900； 解：0．
12.已知a＋b＝1，ab＝-3．
(1)a2+b2=_______ ;
（2）求2a3b＋2ab3的值．
解：（1）7；
原式＝2ab（a2＋b2）＝-6x7＝-42．
综合题探究
13.（1）【问题背景】若x＋5是整式x＋mx-10的一个因式，求m的值．设x2＋mx-10＝（x＋5）（x＋n）＝x2＋（5＋n）x＋5n．则可知5＋n＝m＿，5n＝-10，可得n＝ -2 ,m=3（2）【尝试应用】若x-2是整式x2＋2x＋k的一个因式，求k的值．
解：（1）m，-10，-2,3；
（2）设x2＋2x＋k＝（x-2）（x＋m）＝x2＋（m-2）x-2m，∴m-2＝2，∴m＝4，∴k＝-2m＝-8．
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