2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章 圆以及圆周角定理章末练习（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章 圆以及圆周角定理章末练习（word版、含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 16:26:20 | ||
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文档简介
2021-2022年北师大版九年级数学下册第3章《圆周角定理》章末精选题（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
2．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB＝8，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）
A．15° B．35° C．25° D．45°
6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
7．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（ ）
A．100° B．72° C．64° D．36°
9．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
10．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
11．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（ ）
A．32° B．38° C．52° D．66°
12．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
13．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
14．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则DC＝ ．
16．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝ ．
17．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝ °．
19．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为 ．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝ °．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
23．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝ 度．
24．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为 ．
25．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝50°，则∠CAD＝ °．
26．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ．
27．如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是 ．
28．如图△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝6，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度最小值为 ．
29．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝ ．
30．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝26°，则∠D＝ ．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝74°，则∠BAE＝ °．
32．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
33．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
34．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
35．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
36．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．
37．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
38．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．
39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD；
（1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数；
（2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长．
40．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
参考答案
1．解：连接FB．
∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠FEB＝∠FOB＝70°
∵EF＝EB
∴∠EFB＝∠EBF＝55°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF＝20°，
∴∠EFO＝∠EBO，
∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，
故选：B．
2．解：连接OB，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
由OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠BAO＝（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
3．解：过B作⊙O的直径BM，连接AM；
则有：∠MAB＝∠CDB＝90°，∠M＝∠C；
∴∠MBA＝∠CBD；
过O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE＝AB＝4，OB＝5；
由勾股定理，得：OE＝3；
∴tan∠MBA＝＝；
因此tan∠CBD＝tan∠MBA＝，故选D．
4．解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AED＝20°，
∴∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，
解法二：连接BE，易得∠BED为70°，再由圆内接四边形互补可得∠BCD为110°．
故选：B．
5．解：∵AB＝AC、∠BCA＝65°，
∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
又∵∠ABD＝∠BDC＝50°，
∴∠DBC＝∠CBA﹣∠ABD＝15°，
故选：A．
6．解：∵∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝40°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
7．解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
8．解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝28°，
∴∠OAB＝64°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝64°，
故选：C．
9．解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝∠AOC＝55°．
故选：D．
10．解：圆上取一点A，连接AB，AD，如图所示，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°，
故选：D．
11．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝38°；
∴∠BCD＝∠A＝38°．
故选：B．
12．解：∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，
∴∠B＝85°﹣60°＝25°，∠CDO＝95°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣95°﹣50°＝35°
故选：D．
13．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
14．解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
15．解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
又∵∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝×60°＝30°，
∵AD＝6，
∴在Rt△ABD中，BD＝AD÷sin60°＝6÷＝4，
在Rt△BCD中，DC＝BD＝×4＝2．
故答案为：2．
16．解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝25°，
∴∠CAD＝∠CBD＝25°．
故答案为：25°．
17．解：∵∠A＝45°，
∴∠DOE＝2∠A＝90°．
故答案为：90°．
18．解：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
19．解：由图可得，∠AED＝∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB＝2，AC＝1，
则tan∠ABC＝＝，
∴tan∠AED＝．
故答案为：．
20．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．
∵＝，
∴OM⊥PD，
∴∠MOD＝90°，
∴∠MCD＝∠MOD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝10，
∴AT＝AC sin45°＝5，
∵AM≥AT，
∴AM≥5，
∴AM的最小值为5，
故答案为5．
21．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝72°，
∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝72°，∠B＝180°﹣∠BCD＝72°
∴∠BAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36
22．解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为．
故答案为：．
23．解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴OA＝AB，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AE＝BE，＝，
即OA＝2AE，
∴∠AOD＝30°，
∴和的度数是30°
∴∠BAD＝15°，
故答案为：15．
24．解：连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝15°，
∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠C＝∠AOB＝75°．
故答案为75°．
25．解：连接OC，OD，如图所示：
∵∠CAB＝50°，
∴∠COB＝2∠CAB＝100°．
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝（180°﹣∠COB）＝40°，
∴∠CAD＝∠COD＝20°．
故答案为：20．
26．解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
27．解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝OD＝AB，
∴A，C，B，D四点共圆，
∵CA＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，
∴∠CDB＝∠CDA，
∴DE平分∠ADB，
∵BE平分∠ABD，
∴点E是△ABD的角平分线的交点，
∴AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴CA＝CE＝定值，
∴当CD的值最大时，的值最小，
∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，
故答案为．
28．解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝6，
∴AD＝BD＝3，即此时圆的直径为3，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE sin∠EOH＝×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝，
故答案为：．
29．解：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠DAB＝∠BOC＝50°，
∵OA＝OD
∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，
∴∠ACD＝∠AOD＝40°
故答案为40°
30．解：由圆周角的定律可知：∠D＝∠ABC，
∵AB是直径，
∵E点是CD的中点，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D＝64°，
故答案为：64°
31．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝74°，
∴∠B＝∠D＝74°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝74°，
∴∠BAE＝180°﹣74°﹣74°＝32°，
故答案为：32．
32．解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OH＝AH tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，
∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，
∴BE≤2+2，
∴BE的最大值为2+2，
∵BE＝2DE，
∴DE的最大值为1+，
∴BD的最大值为3+3．
故答案为3+3．
33．解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
34．解：（1）如图1，连接OD，OC，BD，
∵OD＝OC＝CD＝2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°
∴∠DBC＝30°
∴∠EBD＝30°
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠E的度数为60°；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC．
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EBD＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
（3）如图3，连接OD，OC，
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝60°．
35．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．
36．（1）证明：连接AD，
∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∴∠EBC+∠DCA＝90°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠DCA）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BH；
（2）解：∵∠BDA＝180°﹣∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∵BD＝8，∴AD＝8，
在直角三角形ADC中，AD＝8，AC＝10，
根据勾股定理得：DC＝6，则BC＝BD+DC＝14，
∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴，即CE2＝BC CD＝14×6＝84，
∴CE＝＝2．
37．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
38．解：（1）△ABC为等腰三角形．
理由如下：连接AE，如图，
∵，
∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴，
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝＝＝8，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
39．解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CAD＝∠CBE＝23°，
∴∠ACB＝90°﹣23°＝67°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠BAC＝180°﹣67°﹣67°＝46°．
（2）∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴△ABE，△CED都是等腰直角三角形，
∵AC＝AB＝13，
∴AE＝AB＝，
∴EC＝AC﹣AE＝13﹣，
∴CD＝EC＝13﹣13．
40．（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝．
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
41．（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵ADCG在⊙O上，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图2，连接BG，AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，
∵DG平分∠AGC，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，
∴∠CGF＝∠AGD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EAF＝30°+15°＝45°，
Rt△AEF中，AE＝EF，
∵AF＝，
∴AE＝EF＝，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝1，
∴DC＝2DE＝2．
1．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
2．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB＝8，则tan∠CBD的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ）
A．15° B．35° C．25° D．45°
6．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
7．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝（ ）
A．100° B．72° C．64° D．36°
9．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
10．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
11．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（ ）
A．32° B．38° C．52° D．66°
12．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
13．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
14．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则DC＝ ．
16．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝40°，则∠CAD＝ ．
17．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝ °．
19．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝8，点D是BC上一点，BC＝3CD，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点M为的中点，连接AM，则AM的最小值为 ．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝ °．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
23．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝ 度．
24．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为 ．
25．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝．若∠CAB＝50°，则∠CAD＝ °．
26．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ．
27．如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是 ．
28．如图△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝6，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度最小值为 ．
29．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝ ．
30．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝26°，则∠D＝ ．
31．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝74°，则∠BAE＝ °．
32．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
33．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
34．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为 ；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
35．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
36．已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．
37．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
38．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求BD的长．
39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E，连接CD；
（1）若∠CAD＝23°，求∠BAC的度数；
（2）若∠ACD＝45°，AC＝13，求CD的长．
40．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．
41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
参考答案
1．解：连接FB．
∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠FEB＝∠FOB＝70°
∵EF＝EB
∴∠EFB＝∠EBF＝55°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF＝20°，
∴∠EFO＝∠EBO，
∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，
故选：B．
2．解：连接OB，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
由OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠BAO＝（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
3．解：过B作⊙O的直径BM，连接AM；
则有：∠MAB＝∠CDB＝90°，∠M＝∠C；
∴∠MBA＝∠CBD；
过O作OE⊥AB于E；
Rt△OEB中，BE＝AB＝4，OB＝5；
由勾股定理，得：OE＝3；
∴tan∠MBA＝＝；
因此tan∠CBD＝tan∠MBA＝，故选D．
4．解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AED＝20°，
∴∠ACD＝20°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，
解法二：连接BE，易得∠BED为70°，再由圆内接四边形互补可得∠BCD为110°．
故选：B．
5．解：∵AB＝AC、∠BCA＝65°，
∴∠CBA＝∠BCA＝65°，∠A＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
又∵∠ABD＝∠BDC＝50°，
∴∠DBC＝∠CBA﹣∠ABD＝15°，
故选：A．
6．解：∵∠D＝40°，
∴∠B＝∠D＝40°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
7．解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
8．解：连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝28°，
∴∠OAB＝64°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝64°，
故选：C．
9．解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°，
∴∠COD＝40°，
∴∠AOC＝110°，
∴∠B＝∠AOC＝55°．
故选：D．
10．解：圆上取一点A，连接AB，AD，如图所示，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°，
故选：D．
11．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝38°；
∴∠BCD＝∠A＝38°．
故选：B．
12．解：∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，
∴∠B＝85°﹣60°＝25°，∠CDO＝95°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣95°﹣50°＝35°
故选：D．
13．解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
14．解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
15．解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
又∵∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝AC，
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC＝×60°＝30°，
∵AD＝6，
∴在Rt△ABD中，BD＝AD÷sin60°＝6÷＝4，
在Rt△BCD中，DC＝BD＝×4＝2．
故答案为：2．
16．解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝25°，
∴∠CAD＝∠CBD＝25°．
故答案为：25°．
17．解：∵∠A＝45°，
∴∠DOE＝2∠A＝90°．
故答案为：90°．
18．解：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，
故答案为35．
19．解：由图可得，∠AED＝∠ABC，
∵⊙O在边长为1的网格格点上，
∴AB＝2，AC＝1，
则tan∠ABC＝＝，
∴tan∠AED＝．
故答案为：．
20．解：如图，连接OM，CM，过点A作AT⊥CM交CM的延长线于T．
∵＝，
∴OM⊥PD，
∴∠MOD＝90°，
∴∠MCD＝∠MOD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝45°，
∵AT⊥CT，
∴∠ATC＝90°，
∵AC＝10，
∴AT＝AC sin45°＝5，
∵AM≥AT，
∴AM≥5，
∴AM的最小值为5，
故答案为5．
21．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝72°，
∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝72°，∠B＝180°﹣∠BCD＝72°
∴∠BAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36
22．解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为．
故答案为：．
23．解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴OA＝AB，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AE＝BE，＝，
即OA＝2AE，
∴∠AOD＝30°，
∴和的度数是30°
∴∠BAD＝15°，
故答案为：15．
24．解：连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝15°，
∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠C＝∠AOB＝75°．
故答案为75°．
25．解：连接OC，OD，如图所示：
∵∠CAB＝50°，
∴∠COB＝2∠CAB＝100°．
∵＝，
∴∠AOD＝∠COD＝（180°﹣∠COB）＝40°，
∴∠CAD＝∠COD＝20°．
故答案为：20．
26．解：连接OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，
∵OA＝OB＝2，AB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB＝30°，
∵AC⊥AP，
∴∠C＝60°，
∵AB＝2，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，
∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，
∴∠ADB＝120°，如图2，
当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，
∴△ABC的最大面积为．
故答案为：．
27．解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝OD＝AB，
∴A，C，B，D四点共圆，
∵CA＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，
∴∠CDB＝∠CDA，
∴DE平分∠ADB，
∵BE平分∠ABD，
∴点E是△ABD的角平分线的交点，
∴AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴CA＝CE＝定值，
∴当CD的值最大时，的值最小，
∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，
故答案为．
28．解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝6，
∴AD＝BD＝3，即此时圆的直径为3，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE sin∠EOH＝×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝，
故答案为：．
29．解：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠DAB＝∠BOC＝50°，
∵OA＝OD
∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，
∴∠ACD＝∠AOD＝40°
故答案为40°
30．解：由圆周角的定律可知：∠D＝∠ABC，
∵AB是直径，
∵E点是CD的中点，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D＝64°，
故答案为：64°
31．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝74°，
∴∠B＝∠D＝74°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝74°，
∴∠BAE＝180°﹣74°﹣74°＝32°，
故答案为：32．
32．解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，
∴AE＝2，
∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OH＝AH tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，
∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，
∴BE≤2+2，
∴BE的最大值为2+2，
∵BE＝2DE，
∴DE的最大值为1+，
∴BD的最大值为3+3．
故答案为3+3．
33．解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．
∵AD平分∠CAB，
∴＝，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
34．解：（1）如图1，连接OD，OC，BD，
∵OD＝OC＝CD＝2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°
∴∠DBC＝30°
∴∠EBD＝30°
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
∠E的度数为60°；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC．
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠EBD＝30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
（3）如图3，连接OD，OC，
∵OD＝OC＝CD＝2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，
∴∠AEC＝60°．
35．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．
36．（1）证明：连接AD，
∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∴∠EBC+∠DCA＝90°，
∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠DCA）＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BH；
（2）解：∵∠BDA＝180°﹣∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∵BD＝8，∴AD＝8，
在直角三角形ADC中，AD＝8，AC＝10，
根据勾股定理得：DC＝6，则BC＝BD+DC＝14，
∵∠EBC＝∠DEC，∠BCE＝∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴，即CE2＝BC CD＝14×6＝84，
∴CE＝＝2．
37．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
38．解：（1）△ABC为等腰三角形．
理由如下：连接AE，如图，
∵，
∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠ABC+∠BAE＝90°，
∴∠C＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴，
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE＝＝＝8，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
39．解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CAD＝∠CBE＝23°，
∴∠ACB＝90°﹣23°＝67°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠BAC＝180°﹣67°﹣67°＝46°．
（2）∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠CED＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴△ABE，△CED都是等腰直角三角形，
∵AC＝AB＝13，
∴AE＝AB＝，
∴EC＝AC﹣AE＝13﹣，
∴CD＝EC＝13﹣13．
40．（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝．
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CE CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∴⊙O的半径为．
41．（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵ADCG在⊙O上，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图2，连接BG，AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，
∵DG平分∠AGC，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，
∴∠CGF＝∠AGD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EAF＝30°+15°＝45°，
Rt△AEF中，AE＝EF，
∵AF＝，
∴AE＝EF＝，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝1，
∴DC＝2DE＝2．