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27.2.1 相似三角形的判定（1）教案
课题 27.2.1 相似三角形的判定（1） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级（下）
学习目标 了解相似三角形的概念；掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似；应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题；经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法。
重点 掌握相似三角形的概念质。2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似。
难点 运用平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似来解决问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题【复习知识】1.相似多边形的特征是什么？相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2.怎样判定两个多边形相似？对应角相等，对应边成比例多边形是相似多边形。3.什么叫相似比？相似多边形对应边的比叫做相似比.探究一:相似三角形的概念相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， =k ，即三个角分别相等，三条边成比例，那么△ABC与△A1B1C1相似，相似比为k。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，△ABC与△A1B1C1相似记作“△ABC∽△A1B1C1”.如果△ABC∽△A1B1C1相似，相似比为k。那么△A1B1C1与△ABC的相似比为。教师：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？探究二:平行线分线段成比例（基本事实）活动探究1.如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2 都相交的平行线 l3， l4，l5 ，请分别计算l3 , l4, l5在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, 相等吗？由勾股定理计算得： AB=2，BC=， DE=，EF=3。 =，==∴ 。2.任意平移l5 , 再计算AB, BC, DE, EF的长度, 还相等吗？ 由勾股定理计算得： AB=2，BC=2， DE=，EF=2∴ =由勾股定理得:AC=4，DF=4∴ ，.探究结论： 当l3 //l4//l5时， 有，， ，等。 思考自议学生学习关于相似三角形的知识，熟记相似的表示符号。 教师出示问题师生一起回顾上节课学习的关于图形的相似多边形相关知识。
讲授新课 提炼概念平行线分线段成比例一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。符号语言：若l3 //l4//l5，则 ，（），（），（），（）…三、典例精讲探究三:平行线分线段成比例的推论 【活动探究】如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段。如果把直线 l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？把直线l1 向左平移到D与A重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？把直线l1 向左平移到B与E重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？如果把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？成比例线段:，，， … 仍然成立。教师讲解：平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.探究四:三角形相似的判定定理一判定三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的两种常见类型：符号语言：∵ DE//BC,∴△ADE∽△ABC． 教师出示问题，师生共同探究关于平行线分线段成比例的基本事实。 教师出示问题，让学生在图片以及两个问题中进行内容探究，让学生自己动手、动脑，掌握平行线分线段成比例的推论。
课堂检测 四、巩固训练 1.如图，E是 ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F，则图中的相似三角形共有( )A.7对 B．6对C．5对 D．4对
B2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，则CF∶BC＝______________．1∶33.如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.(1)如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．(2)如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．
解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝，∴DE＝EF＝6(2)∵l1∥l2∥l3.∴＝＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝154.如图，F是ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC.（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.同理可得
课堂小结 平行线分线段成比例1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。3.相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
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27.2.1 相似三角形的判定（1）学案
课题 27.2.1 相似三角形的判定（1） 单元 第27单元 学科 数学 年级 九年级下册
学习目标 了解相似三角形的概念；掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似；应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题；经历平行线分线段成比例的认识过程，得到利用平行线法判定三角形相似的方法。
重点 掌握相似三角形的概念质。2.掌握平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似。
难点 运用平行线分线段成比例定理的基本事实、推论以及利用平行线法判定三角形相似来解决问题。
教学过程
导入新课 【引入思考】探究一:相似三角形的概念相似多边形中，最简单的就是相似三角形．什么叫相似三角形？判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）。 类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？探究二:平行线分线段成比例（基本事实）活动探究1.如图，小方格的边长都是1，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2 都相交的平行线 l3， l4，l5 ，请分别计算l3 , l4, l5在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, 相等吗？2.任意平移l5 , 再计算AB, BC, DE, EF的长度, 还相等吗？
新知讲解 提炼概念 平行线分线段成比例一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。符号语言：若l3 //l4//l5，则 ，（），（），（），（）…典例精讲 探究三:平行线分线段成比例的推论 【活动探究】如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段。如果把直线 l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？把直线l1 向左平移到D与A重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？把直线l1 向左平移到B与E重合的位置，说一说图中有哪些成比例线段？如果把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
课堂练习 巩固训练1.如图，E是 ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F，则图中的相似三角形共有( )A.7对 B．6对C．5对 D．4对
2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，则CF∶BC＝______________． 3.如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.(1)如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．(2)如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．
4.如图，F是ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：答案引入思考 如果∠A ＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， =k ，即三个角分别相等，三条边成比例，那么△ABC与△A1B1C1相似，相似比为k。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，△ABC与△A1B1C1相似记作“△ABC∽△A1B1C1”.如果△ABC∽△A1B1C1相似，相似比为k。那么△A1B1C1与△ABC的相似比为。探究结论： 当l3 //l4//l5时， 有，， ，等。提炼概念典例精讲 成比例线段:，，， … 仍然成立。教师讲解：平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.探究四:三角形相似的判定定理一判定三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的两种常见类型：符号语言：∵ DE//BC,∴△ADE∽△ABC．巩固训练B1∶33.解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴＝＝＝，∴DE＝EF＝6(2)∵l1∥l2∥l3.∴＝＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝154.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC.（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.同理可得
课堂小结 小 平行线分线段成比例1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。3.相似三角形判定的引理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
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人教版 九年级下
27.2.1 相似三角形的判定（1）
新知导入
情境引入
1.相似多边形的特征是什么？
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形。
新知导入
合作学习
A
B
C
A1
B1
C1
探究一:相似三角形的概念
注意：对应顶点写在对应位置.
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）。
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
(1) 计算 的值，
它们相等吗？
探究二:平行线分线段成比例（基本事实）
(2) 任意平移 l5，根据上述 操作，度量AB，BC，DE， EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？
可以发现，当l3，l4，l5平行时， ， ,
, 等.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
提炼概念
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若l3∥l4∥ l5，则
， ，
，
归纳总结：
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
观察与思考：如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
探究三:平行线分线段成比例的推论
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳总结：平行线分线段成比例的推论
符号语言：
如左图，∵A2B2∥ A3B3
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例. (“A”型和“X”型)
探究四:三角形相似的判定定理一
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题（1） :△ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题（2） :它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
（1） 由DE∥BC及∠A是公共角得三个内角
对应相等；
（2）由前面的结论可得 ，而 中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.
如何证明三边长对应成比例呢？
B
C
A
D
E
要证明 ，而除 DE 外，其他的线段都在
△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，
需要怎样做呢？
可以将 DE 平移到BC 边上去
证明：
在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴
∵ 四边形DEFB为平行四边形，
∴ DE=BF.
∴△ADE∽△ABC.
三角形相似的两种常见类型：
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形的判定定理（一）：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
归纳概念
课堂练习
1.如图，E是 ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F，则图中的相似三角形共有( )
A.7对 B．6对
C．5对 D．4对
B
2.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，则CF∶BC＝______________．
1∶3
3.如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.
(1)如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．
(2)如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．
4.如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.
求证：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得
课堂总结
注意：
如图,如果l3∥l4∥l5,那么
可以记忆为“上比下等于上比下”；
如可记忆为“上比全等于上比全”；
可记忆为“下比全等于下比全”,
可记忆为“上比上等于下比下等于全比全”.
(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等；
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等.
作业布置
教材课后配套作业题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
