新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 5.6　函数y=Asin(ωx+φ) 课件（27张）

(共27张PPT)
5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
1.了解参数的变化对函数图象的影响,掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关
系,并能正确地指出其变换步骤.
2.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
3.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
　　一般地,当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时,对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠
0),把正弦曲线上的所有点向①　左 (当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移②　|φ| 个
单位长度,就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
探索φ(φ≠0)对函数y=sin(x+φ)的图象的影响
　　一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的周期是③ ,把y=sin(x+φ)图象上所有点
的横坐标④　缩短 (当ω>1时)或⑤　伸长 (当0<ω<1时)到原来的 倍(纵坐标
⑥　不变 ),就得到y=sin(ωx+φ)的图象.
探索ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
　　一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的
纵坐标⑦　伸长 (当A>1时)或⑧　缩短 (当0变)而得到.从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是⑨　[-A,A] ,最大值是A,最小值是-A.
探索A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
函数y=sin x的图象与y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的关系
1.把函数y=sin x的图象向右平移2个单位长度得到函数y=sin(x+2)的图象. (
　)
2.把函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=sin 的图象.
( 　)
提示:应得到y=sin =sin 2x+ 的图象.
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin 2x的图象.
( 　)
提示:应得到y=sin x的图象.
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ” .
4.函数f(x)=sin 的图象的对称中心是 -kπ+ ,0 (k∈Z). ( 　)
提示:由x+ =kπ(k∈Z),得x=- +kπ(k∈Z),故对称中心是 (k∈Z).
5.在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期. ( 　)
提示:相邻的两条对称轴间的距离为半个周期.
图象的平移变换与伸缩变换

一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以看作是用下面的两种方法得
到的:
　　方法1:y=sin x的图象
y=sin(x+φ)的图象


y=Asin(ωx+φ)的图象.
　　方法2:y=sin x的图象

y=sin ωx的图象

y=sin(ωx+φ)的图象

y=Asin(ωx+φ)的图象.
　　将函数y= sin 2x+cos 2x的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为
( D　)
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
思路点拨
先将函数用辅助角公式化成一个角的函数,再根据平移规律,只需向右平移 个单
位长度即可.
解析 由已知得y= sin 2x+cos 2x=2sin ,周期T= =π,向右平移 个周期,
即向右平移 个单位长度后,得到的图象对应的函数为y=2sin 2 + =2sin
,故选D.

　　由函数y=sin x的图象经过怎样的变换,可以得到函数y=-2sin +1的图象.
思路点拨
本题考查三角函数的图象变换问题,可以从“先平移变换后伸缩变换”或“先伸
缩变换后平移变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.
解析 解法一:y=sin x的图象
y=2sin x的图象
y=-2sin x的图象
y=-2sin 2x的图象
y=-2sin 的图象

y=-2sin +1的图象.
解法二:y=sin x的图象
y=sin 的图象

y=sin 的图象

y=-sin 的图象

y=-2sin 的图象

y=-2sin +1的图象.
　　在物理中,作简谐运动的单摆的位移y与时间x的关系、交流电的电流强度y与
时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数.若单摆摆动的轨迹满足函数f(x)=
Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),函数图象如图所示.

利用图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
问题
1.由函数图象,能求出A,ω的值吗
提示:能.由题中函数图象的最高点可知,A= ,T=2|MN|=π,可得ω= =2.
2.你能求出函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式吗
提示:能.由问题1可知,A= ,ω=2,
故f(x)= sin(2x+φ).
将M 代入,得 sin +φ =0,
则 +φ=2kπ,k∈Z,
即φ=- +2kπ,k∈Z,
可以取φ=- ,得f(x)= sin 2x- .

由y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象确定解析式的方法
1.逐一定参法
(1)由函数图象上的最高点、最低点来确定A.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T,由T= 确定ω.
(3)确定函数y=Asin(ωx+φ)的初相φ的值.其方法有两种:
①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入y=Asin(ωx+φ)(此时A与ω已知),求得
φ.
②五点对应法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的点 为突破口.
2.待定系数法
通过将若干特殊点代入函数解析式,可以求得待定系数A,ω,φ的值.这里需要注意的
是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一个点,并能正确代入函数解析式.
3.图象变换法
运用逆向思维,先确定函数的基本解析式y=Asin ωx,再根据图象平移规律确定相关
的参数.

　　如图是函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的一部分,求此函数的解析
式.

思路点拨
解法一:由图象确定A和ω的值 取点 确定φ的值.
解法二:由图象确定A的值 将点 和 代入函数式列关于ω和φ的方程
组 解方程组.
解法三:确定基础函数y=3sin 2x 由图象变换得到解析式.
解析 解法一(逐一定参法):由题中图象知A=3,T= - =π,
∴ω= =2,∴y=3sin(2x+φ).
∵点 在函数图象上,
∴0=3sin .
∴- ×2+φ=kπ(k∈Z),
得φ= +kπ(k∈Z).
∵|φ|< ,
∴φ= .
∴y=3sin .
解法二(待定系数法):由题中图象知A=3.
∵图象过点 和 ,
∴
解得 ∴y=3sin .
解法三(图象变换法):由题图知A=3,T= - =π,∴ω= =2,又点 在图象上,
可知函数图象是由y=3sin 2x的图象向左平移 个单位长度得到的,所以y=3sin
,即y=3sin .

1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ+ ,k∈Z求得,即x= ,k
∈Z;图象的对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即为 ,k∈Z.
2.函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即x= ,k∈Z;图
象的对称中心由ωx+φ=kπ+ ,k∈Z求得,即为 ,k∈Z.
3.确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法:采用换元法整体代换,将ωx+φ
看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调
区间.若ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.
三角函数性质的综合应用
4.有关三角函数奇偶性问题的解题思路:
(1)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z).
(2)要使y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z).
(3)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z).
(4)要使y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).

　　已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0).将f(x)的图象向左平移 个单位长度后所得
的函数为偶函数,则函数f(x)的图象的对称轴方程是　　　　　 .
思路点拨
先确定函数平移后的解析式,由偶函数的性质确定φ,根据y=sin x的图象的对称性,
利用整体代换的思想求解.
解析 由题意知,平移后的解析式为y=sin ,因为此函数为偶函数,
所以y轴为其图象的对称轴之一,所以将x=0代入可得 +φ= +kπ(k∈Z),解得φ=-
+kπ(k∈Z),由φ的取值范围可得φ=- ,所以f(x)=sin ,
令2x- =kπ+ ,k∈Z,解得x= + ,k∈Z,故函数f(x)的图象的对称轴方程为x= + ,
k∈Z.
答案 x= + ,k∈Z

　　已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点P ,图象与P点最近的一个
最高点坐标为 .
(1)求该函数的一个解析式;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)求使y≤0的x的取值集合.
解析 (1)∵图象的一个最高点的坐标为 ,
∴A=5.
∵ = - = ,
∴T=π,∴ω= =2.
∴y=5sin(2x+φ).
代入点 ,
得sin =1.
∴ +φ=2kπ+ ,k∈Z.
令k=0,则φ=- ,
∴y=5sin .
(2)∵函数的单调递增区间满足2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z),
∴2kπ- ≤2x≤2kπ+ (k∈Z),
∴kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
∴函数y=5sin 的单调递增区间为 (k∈Z).
(3)∵5sin ≤0,
∴2kπ-π≤2x- ≤2kπ(k∈Z).
∴kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).
∴使y≤0的x的取值集合为 .
解题模板
有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质的问题,要充分利用正弦曲线的性质,要特别注意整
体代换思想,借助图象提高直观想象能力.