2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念（1）课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念（1）课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1014.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 21:00:50 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
选择性必修第二册 第四章 数列
情景引入
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.
请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
②
③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
④
．
．
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
⑤
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他
5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
．
．
探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
思考
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．
例. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
(1) 3，9，15，21，27，33；
(4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
(3) ， ， ， ， ， ；
(2) 4，-8，16，-32，-128.
思考：
(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？
常数列是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；
q<0时，等比数列各项符号正负间隔，
奇数项和偶数项分别同号。
类比等差中项的定义，你能说出等比中项的定义吗？
说明：等比中项可能有两个，那么什么时候是一个呢？
二、等比中项
应用探究
练习2 若a，2a＋2，3a＋3 成等比数列，求实数 a 的值．
解：∵ a，2a＋2，3a＋3 成等比数列
∴ (2a＋2)2＝a (3a＋3)，解得 a＝－1，或 a＝－4.
当 a＝－1 时，2a＋2，3a＋3 均为0，舍去.
∴ a＝－4.
练习1(1)4与9的等比中项是______
(2)-1，2，x，8，-16成等比数列，则x=______
6或-6
-4
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得 ．
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
验证 n=1
不完全归纳法
探究 你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
即 ．
所以
左右两侧分别依次相乘
化简得到 ．
累乘法
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
验证 n=1
三、等比数列通项公式
典型例题
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
分析：等比数列 由 ， 唯一确定，可利用条件列出关于
， 的方程(组)，进行求解．
解法1: 由 ， ，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得 或
把 代入①，得 ．
此时
把 代入①，得 ．
此时
因此， 的第5项是 24 或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
解法2: 因为 是 与 的等比中项，所以
所以 ．
因此， 的第5项是24或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
例2 已知等比数列 {an} ，若 a1＋a2＋a3 = 7，a1 a2 a3 = 8，求 an .
解得 或
当 a1 = 1 时，q = 2；当 a1 = 4 时，
故 an = 2n－1 或 an = 23－n .
法一：由等比数列的定义知 a2 = a1q ，a3 = a1q2 ，
代入已知得
例2 已知等比数列 {an} ，若 a1＋a2＋a3 = 7，a1 a2 a3 = 8，求 an .
法二：
从而 解之得 a1 = 1， a3 = 4 或 a1 = 4 ， a3 =1.
当 a1 = 1 时， q = 2；当 a1 = 4 时，
故an = 2n－1 或 an = 23－n .
【归纳总结】如何判断数列是否为等比数列？
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
等比数列 的第 项 是指数函数
当 时的函数值，
即 ．
等比数列的序号和项对应的点是指数函数图像上一系列离散的点。
探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？
指数函数 ， 时，指数函数 单调递增；
，指数函数 单调递减．
①当 ，因为 ，则 单调性与
相同，即 ，等比数列 单调递增， ，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调递减．
②当 ，因为 ，则 单调性与
单调性相反，即 ，等比数列 单调递减，
，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调增．
1、等比数列的定义
2、等差数列的通项公式
3、等差数列与相应的指数函数的关系
课堂小结
训练提升：
课后作业
教材课后练习
等比数列的通项公式的推广
证明：
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式 可以看成是 m = 1 时的特殊情况.
已知等比数列 {an} 中，第 m 项为 am ，公比为 q，则：
4.3.1 等比数列的概念
选择性必修第二册 第四章 数列
情景引入
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
问题1 你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.
问题2 根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？
上述数列中，从第2项起，每一项与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.
请看下面几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
①
②
③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
④
．
．
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
⑤
4.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他
5年内每年末得到的本利和分别是
⑥
．
．
探究 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
上述六组数列中，每一项与前一项的比都等于同一个常数．
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
思考
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )．
例. 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．
(1) 3，9，15，21，27，33；
(4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；
(3) ， ， ， ， ， ；
(2) 4，-8，16，-32，-128.
思考：
(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？
常数列是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；
q<0时，等比数列各项符号正负间隔，
奇数项和偶数项分别同号。
类比等差中项的定义，你能说出等比中项的定义吗？
说明：等比中项可能有两个，那么什么时候是一个呢？
二、等比中项
应用探究
练习2 若a，2a＋2，3a＋3 成等比数列，求实数 a 的值．
解：∵ a，2a＋2，3a＋3 成等比数列
∴ (2a＋2)2＝a (3a＋3)，解得 a＝－1，或 a＝－4.
当 a＝－1 时，2a＋2，3a＋3 均为0，舍去.
∴ a＝－4.
练习1(1)4与9的等比中项是______
(2)-1，2，x，8，-16成等比数列，则x=______
6或-6
-4
探究 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
所以
由此可得 ．
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
验证 n=1
不完全归纳法
探究 你还可以用其他方法推导等比数列的通项公式吗？
设一个等比数列 的公比为 ．根据等比数列的定义，可得
即 ．
所以
左右两侧分别依次相乘
化简得到 ．
累乘法
又 ，这就是说，当 时上式也成立．因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 ．
验证 n=1
三、等比数列通项公式
典型例题
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
分析：等比数列 由 ， 唯一确定，可利用条件列出关于
， 的方程(组)，进行求解．
解法1: 由 ， ，得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得 或
把 代入①，得 ．
此时
把 代入①，得 ．
此时
因此， 的第5项是 24 或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
解法2: 因为 是 与 的等比中项，所以
所以 ．
因此， 的第5项是24或 ．
例1 若等比数列 的第4项和第6项分别为48和12，
求 的第5项．
例2 已知等比数列 {an} ，若 a1＋a2＋a3 = 7，a1 a2 a3 = 8，求 an .
解得 或
当 a1 = 1 时，q = 2；当 a1 = 4 时，
故 an = 2n－1 或 an = 23－n .
法一：由等比数列的定义知 a2 = a1q ，a3 = a1q2 ，
代入已知得
例2 已知等比数列 {an} ，若 a1＋a2＋a3 = 7，a1 a2 a3 = 8，求 an .
法二：
从而 解之得 a1 = 1， a3 = 4 或 a1 = 4 ， a3 =1.
当 a1 = 1 时， q = 2；当 a1 = 4 时，
故an = 2n－1 或 an = 23－n .
【归纳总结】如何判断数列是否为等比数列？
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
等比数列 的第 项 是指数函数
当 时的函数值，
即 ．
等比数列的序号和项对应的点是指数函数图像上一系列离散的点。
探究：类比指数函数的性质，判断公比 的等比数列的单调性？
指数函数 ， 时，指数函数 单调递增；
，指数函数 单调递减．
①当 ，因为 ，则 单调性与
相同，即 ，等比数列 单调递增， ，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调递减．
②当 ，因为 ，则 单调性与
单调性相反，即 ，等比数列 单调递减，
，等比数列 单调性不变， ，等比数列 单调增．
1、等比数列的定义
2、等差数列的通项公式
3、等差数列与相应的指数函数的关系
课堂小结
训练提升：
课后作业
教材课后练习
等比数列的通项公式的推广
证明：
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式 可以看成是 m = 1 时的特殊情况.
已知等比数列 {an} 中，第 m 项为 am ，公比为 q，则：