2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 同步练习（word含答案）

2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系-同步练习
时间：80分钟
一、单选题
1．已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内
3．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A．4 B．-4 C．5 D．-5
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
5．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（ ）
A． B．
C． D．
6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与斜交
二、填空题
7．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
8．已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则______.
9．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”)
10．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数______．
11．在三棱锥中，，，，，则直线SC与BC的位置关系是______.
12．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____.
三、解答题
13．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．
14．四边形为正方形，平面，，.求证：平面.
15．如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．
16．如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上．已知，，，．
（1）求证：；
（2）若点是线段上一点，且，求证：平面平面．
17．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
18．如图，已知，平面，四边形是正方形，点在线段上，且．
（1）证明：；
（2）证明：平面．
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．D
【解析】，所以，平面与平面的法向量平行，
因为，且ABC选项中的向量均与不共线.
故选：D.
2．D
【解析】因为，
所以直线与平面的法向量垂直，则直线与平面平行或在平面内.
故选：D
3．D
【解析】解：由平面α的法向量为，平面β的法向量为，
∵α⊥β，∴，
∴.
∴.
故选：D.
4．B
【解析】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，
∴，，，，
∴，，，
从而，，，
故选：B．
5．D
【解析】解：E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），F（0，y，z），
所以，，
因为CF⊥B1E，所以，即，
所以.
故选：D.
6．B
【解析】由已知可得，则，因此，.
故选：B.
7．0
【解析】因为，
，
.
所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．
故答案为：0.
8．
【解析】由题意，知，
∴，即，∴.
故答案为：
9．是
【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC＝2，BC＝，SB＝，
得，，，
， .
因为，
所以SC⊥BC.
故答案为：是
10．3
【解析】∵，∴，∴存在，使得，解得．
故答案为：3.
11．垂直
【解析】以A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴 z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则由，，，
得，，，
，.
因为，
所以.
故答案为：垂直
12．(-1,0,2)
【解析】由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0,
由,得=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2).
13．证明见解析
【解析】证明：由题意，在四棱锥中，平面ABCD，
底面四边形ABCD为直角梯形，．
以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，
建立空间直角坐标系：
则，，，，．
因为Q为PD的中点，所以，
所以，，
所以，所以．
14．证明见解析.
【解析】如图所示，以为坐标原点，线段的长为单位长度，为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得，
则，所以时平面的一个法向量，
又因为，且，即且平面，
所以平面.
15．证明见解析
【解析】证明：因为平面ABCD，
所以，．
又，
所以PA，AB，AD两两垂直．
以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，．
因为点M为PC的中点，所以，故．
又，，
所以．
所以，，为共面向量．
又平面PAB，
所以平面PAB．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）如图所示，以为坐标原点，射线为轴正半轴，射线为轴正半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，
所以，
所以，即．
（2）在中，，，所以．
又，且点在线段上，所以．
又，所以，
则，
所以，即．
又，，
所以平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向
分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于＝(0，1，－1)，
则＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
（2）证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，
由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
则，
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
18．（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．
【解析】（1）设与交于点，与交于点，连接，设，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
所以，，
，所以即；
（2）设，因为，所以，
即
解得：，，，
即，所以
设，则，
即，解得：，，
即所以，，共面，
又平面，所以平面.答案第1页，共2页
答案第1页，共2页