2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级（上）期中数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年上海市长宁区延安初级中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（　　）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（　　）
A．a B．2a C．a D．a
3．已知△ABC与△A′B′C′相似，点A与A′，点B与B′对应，若＝，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A′D′的长为（　　）
A．10 B．20 C．80 D．
4．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（　　）
A．||＝2 B．||＝4 C．＝4 D．＝
5．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（　　）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
6．如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（　　）
A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：AB
B．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥AB
C．如果△EFC∽△ABC，那么 EF∥AB
D．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE
二、填空题（每题4分，共48分）
7．已知，则的值是　 　．
8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　 　．
9．计算：（﹣2）﹣4＝　 　．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝　 　．
11．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于 　 　．
12．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC长为8厘米，若正方形DEFG的边长为5厘米，则△ABC的高AH为 　 　厘米．
13．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝　 　米．（结果保留根号）
14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，则△ACD与△ABC的周长比是 　 　．
15．如图，在 ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是 　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是 　 　．
17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　 　．
18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED的长为 　 　．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 　 　．
三、解答题（第19-22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78分）
19．计算：
20．如图，在△ABC中，D是AC上点，DE∥BC，交AB于点E，联结BD，∠ABD＝∠C，DE＝4，BC＝9．
（1）求：BD的长；
（2）若＝，＝，用、表示．
21．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求：∠CBD的正切；
（2）求的值．
22．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB中点，联结CE、DE，AC与DE相交于点F，BE2＝EF ED．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）求证：AB2＝2CD BC．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．
（1）设BC与AO相交于点D，
①若BA＝BO，求证：CD＝CO；
②求：点A到直线l的距离；
（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．
参考答案
一、选择题（每题4分，共24分）
1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（　　）
A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．
解：因为2毫米＝0.2厘米，
则0.2厘米：40厘米＝1：200；
所以这幅设计图的比例尺是1：200．
故选：B．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（　　）
A．a B．2a C．a D．a
【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanA＝＝，BC＝a，
∴AC＝2a，
由勾股定理得，
AB＝＝a，
故选：C．
3．已知△ABC与△A′B′C′相似，点A与A′，点B与B′对应，若＝，且△ABC的中线AD的长为5，则AD的对应中线A′D′的长为（　　）
A．10 B．20 C．80 D．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、对应中线的比等于相似比解答．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴＝＝，
∵AD的长为5，
∴A′D′＝20，
故选：B．
4．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（　　）
A．||＝2 B．||＝4 C．＝4 D．＝
【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．
解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．
B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．
C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．
D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（　　）
A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．
解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
6．如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（　　）
A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：AB
B．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥AB
C．如果△EFC∽△ABC，那么 EF∥AB
D．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE
【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．
解：如图所示：
A、∵DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，
∴DE＝AF，＝，
∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；
B、∵DE∥AC，
∴AD：AB＝CE：BC，
∵AD：AB＝CF：AC，
∴CE：BC＝CF：AC，
∴EF∥AB，选项B不符合题意；
C、∵△EFC∽△ABC，
∴∠CFE＝∠CBA，
∴EF与AB不平行，选项C符合题意；
D、∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，
∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．已知，则的值是　　．
【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴＝＝．
故答案为：．
8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝　2﹣2　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
9．计算：（﹣2）﹣4＝　﹣7　．
【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．
解：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．
故答案是：﹣7．
10．在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，则∠A＝　90°　．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值可求出∠B＝45°，再根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，根据三角形的内角和可求出∠A．
解：∵sinB＝，
∴∠B＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
故答案为：90°．
11．如果一个斜坡的坡度为i＝1：2.4，那么这个斜坡坡角α的余弦值等于 　　．
【分析】根据坡比＝坡角的正切值，设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，由勾股定理求出斜坡长，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
解：如图所示：
由题意，得：tanα＝i＝1：2.4＝，
设斜坡的竖直高度为5x，则水平距离为12x，
则斜坡长＝＝13x，
则cosα＝＝．
故答案为：．
12．如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC长为8厘米，若正方形DEFG的边长为5厘米，则△ABC的高AH为 　　厘米．
【分析】设三角形ABC的高AH＝x厘米，由△ADG∽△ABC，得，则，解方程即可．
解：设三角形ABC的高AH＝x厘米，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
∵BC长为8厘米，正方形DEFG的边长为5厘米，
∴，
解得：x＝，
即AH＝厘米，
故答案为：．
13．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝　（30+30）　米．（结果保留根号）
【分析】根据仰角、俯角的意义，在直角三角形中求出AP、CM即可．
解：过点A作AM⊥BC于M，则∠MAB＝45°，∠MAC＝60°，BP＝AM＝30米，
在Rt△ABP中，BP＝30米，∠PAB＝90°﹣45°＝45°，
∴AP＝BP＝30米＝BM，
在Rt△ACM中，∠MAC＝60°，AM＝30米，
∴CM＝AM＝30（米），
∴BC＝BM+CM＝（30+30）米，
故答案为：（30+30）．
14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，则△ACD与△ABC的周长比是 　：2　．
【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
解：∵CD是边AB上的中线，
∴AD＝DB，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴＝，
∴△ACD与△ABC的周长比是：2，
故答案为：：2．
15．如图，在 ABCD的对角线BD上取一点E，延长AE交BC于G，交DC的延长线于F，若DF＝2CF，则△CFG与△BEG的面积比是 　3：1　．
【分析】根据△BGE∽△DAE，得，则，再根据△AGB≌△FGC，从而得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵DF＝2CF，
∴AB＝CD＝FC，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠BAG，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴△AGB≌△FGC（AAS），
∴BG＝CG＝，
∵BC∥AD，
∴△BGE∽△DAE，
∴，
∴，
∴，
∵△AGB≌△FGC，
∴S△FGC：S△BEG＝3：1，
故答案为：3：1．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是 　2　．
【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得CD＝6，由重心的性质即可得到，DH＝3，进一步证明△AFG∽△ADH，得，即可求解．
解：设直线AG与BC的交点为H，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∠ADB＝90°，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝＝＝6，
∵CE是AB边的中点，AD是BC边中点，
∴点F是△ABC的重心，
∴AF：FD＝1：2，
∴AF：AD＝2：3，
∵点G是△ADC的重心，
∴DH＝DC＝3，，
∴，
又∵∠FAG＝∠DAH，
∴△AFG∽△ADH，
∴，
∴FG＝DH＝2，
故答案为2．
17．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 　或　．
【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S△OBC＝×3×1＝；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC＝×3×＝．
解：设点A的坐标为（m，），
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B坐标为（，），
∵点B的横纵坐标满足＝，
∴点B在某个反比例函数上，
∴点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由ED∥x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，
∴m＝±2（﹣2舍去），
∴点B纵坐标为1，
此时，S△OBC＝×3×1＝；
②点B在DC上，
∴点B横坐标为3，即＝3，
∴点B纵坐标为：＝，
此时，S△OBC＝×3×＝；
故答案为：或．
18．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED的长为 　13　．
（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 　11.5　．
【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；
（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．
解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，
∴＝，
∴DE＝13；
故答案为：13．
（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，
∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，
∵AB∥MN，
∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，
∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，
∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，
∴∠ABP′＝∠E′FP′，
又∠AP′B＝∠E′P′F，
∴△ABP′∽△E′FP′，
∴＝即，＝，
设P′F＝4a，则E′F＝6.5a，
∴E′D′＝6.5a，
在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，
由勾股定理可得，BD′＝13，
∴cos∠BD′D＝，
在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，
∴GD′＝2.5a，
∴FG＝GD′＝2.5a，
∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，
∴4+4a+2.5a+2.5a＝13，解得a＝1，
∴E′D′＝6.5，
∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．
故答案为：11.5．
三、解答题（第19-22题，每题10分；第23、24题，每题12分；第25题14分，共78分）
19．计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
解：原式＝
＝
＝
＝3+2．
20．如图，在△ABC中，D是AC上点，DE∥BC，交AB于点E，联结BD，∠ABD＝∠C，DE＝4，BC＝9．
（1）求：BD的长；
（2）若＝，＝，用、表示．
【分析】（1）由DE∥BC，可得∠EDB＝∠DBC，再由∠ABD＝∠C，可得△EBD∽△DCB，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；
（2）根据相似三角形的性质求出AB与EB的关系，再根据平面向量的加减法则即可求解．
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
又∵∠ABD＝∠C，
∴△EBD∽△DCB，
∴，
∴，
解得：BD＝±6（负值舍去），
∴BD＝6；
（2）∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB＝，
∴，
∵，
∴＝＝．
21．如图，在△ABC中，sin∠BAC＝，AB＝13，AC＝7.2，BD⊥AC，垂足为点D，点E是BD的中点，AE与BC交于点F．
（1）求：∠CBD的正切；
（2）求的值．
【分析】（1）先根据三角函数值求AD的长，由勾股定理得BD的长，根据三角函数定义可得结论；
（2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设CG＝2x，FG＝5x，分别表示BF和FC的长，代入可得结论．
解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，sin∠BAC＝，
∴BD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝12，
∵AC＝7.2，
∴CD＝12﹣7.2＝4.8，
∴∠CBD的正切＝＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
由（1）得，AC＝7.2，CD＝4.8，
∵DG∥AF，
∴＝＝，
设CG＝2x，FC＝3x，则FG＝2x+3x＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴＝＝．
22．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】（1）根据中点定义即可求出AB的长；
（2）过点B作BE⊥AD于点E,根据等腰三角形的性质可得AD＝2AE,然后利用锐角三角函数可得AE的长，所以AD＝2AE＝13.6cm，进而可得伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
解：（1）∵B为AD′中点，
∴AB＝AD′,
∵AD′＝40cm，
∴AB＝20cm；
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,
∵AB＝BD,
∴AD＝2AE,
∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,
∴∠BAE＝BAC＝70°,
在Rt△ABE中，AB＝20cm
∴AE＝AB cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),
∴AD＝2AE＝13.6(cm),
∵AD′＝40cm，
∴40﹣13.6＝26.4(cm)．
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB中点，联结CE、DE，AC与DE相交于点F，BE2＝EF ED．
（1）求证：CE⊥DE；
（2）求证：AB2＝2CD BC．
【分析】（1）由点E是AB的中点，可得AE＝BE，从而证明△AEF∽△DEA，得∠EAF＝∠EDA，再证∠ECF＝∠EAF，从而∠DAF＝∠ECF，即可证明；
（2）由∠CED＝∠DAC＝90°，得C，E，A，D四点共圆，证明△ABC∽△DCE，得，则有DC BC＝AB CE，而EC＝AB，代入即可．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，AD∥BC，
∴AC⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵BE2＝EF ED，
∴AE2＝EF ED，
且∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴∠EAF＝∠EDA，
∵CE＝＝AE＝BE，
∴∠EAF＝∠ECA，
∴∠ECF＝∠ADF，
∵∠FAD+∠ADF＝∠FEC+∠FCE，
∴∠FEC＝∠FAD＝90°，
∴CE⊥DE；
（2）∵∠CED＝∠DAC＝90°，
∴C，E，A，D四点共圆，
∴∠EDC＝∠BAC，
∵∠EDC＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△DCE，
∴，
∴DC BC＝AB CE，
∵CE＝，
∴＝CD BC，
∴AB2＝2CD BC．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．
（1）设BC与AO相交于点D，
①若BA＝BO，求证：CD＝CO；
②求：点A到直线l的距离；
（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠ABC＝∠BOC＝90°，利用同角的余角相等、对顶角相等及等边对等角，即可证得结论；
②如图1，过点A作AE⊥OA交直线l于点E，作AH⊥l于点H，运用勾股定理和面积法即可得出答案；
（2）①过点A作AH⊥OB于点H，当点B在线段OH或OH的延长线上时，如图2，图3，设OB＝x，则BH＝|16﹣x|，由勾股定理可得AB＝，根据△ABH∽△BCO，可得OC＝|16﹣x|，利用勾股定理得BC＝，以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，分两种情况：（i）若＝，可求得OB＝8；（ii）若＝，可求得OB＝8﹣4或8+4，②当点B在线段HO的延长线上时，如图4，同理可求得OB＝4﹣8．
【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②解：如图1，过点A作AE⊥OA交直线l于点E，作AH⊥l于点H，
∵A（﹣4，0），
∴E（﹣4，﹣），
∴OA＝4，AE＝，
∴OE＝＝＝17，
∵AE OA＝AH OE，
∴AH＝＝＝4，
∴点A到直线l的距离为4；
（2）解：存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，理由如下：
①过点A作AH⊥OB于点H，当点B在线段OH或OH的延长线上时，如图2，图3，
由（1）②可知：AH＝4，OA＝4，
∵∠AHO＝90°，
∴OH＝＝＝16，
设OB＝x，则BH＝|16﹣x|，
∴AB＝＝，
∵CO⊥BO，AH⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AHB＝∠BOC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠CBO＝∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠CBO＝∠BAH，
∴△ABH∽△BCO，
∴＝，即＝，
∴OC＝|16﹣x|，
Rt△BOC中，BC＝＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，分两种情况：
（i）若＝，
∴AB OC＝BC OB，
∴×|16﹣x|＝ x，
解得：x＝8，
∴OB＝8；
（ii）若＝，
∴AB OB＝BC OC，
∴ x＝ |16﹣x|，
解得：x＝8±4或8±4（舍去），
∴OB＝8﹣4或8+4，
②当点B在线段HO的延长线上时，如图4，
由（1）②可知：AH＝4，OA＝4，OH＝16，
设OB＝x，则BH＝16+x，AB＝＝，
∵CO⊥BO，AH⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AHB＝∠BOC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABH+∠CBO＝∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠CBO＝∠BAH，
∴△ABH∽△BCO，
∴＝，即＝，
∴OC＝（16+x），
Rt△BOC中，BC＝＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，需要满足＝，
∴AB OB＝BC OC，
∴ x＝ （16+x），
解得：x＝4﹣8或﹣4﹣8（舍去），
∴OB＝4﹣8；
综上所述，以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似，
则OB的长度为：8或8﹣4或8+4或4﹣8．
25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．
（1）当AE⊥BC，∠EAF＝∠ABC时，
①求证：AE＝AF；
②连结BD，EF，若，求的值；
（2）当∠EAF＝∠BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．
【分析】（1）①证△ABE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
②连接AC，证△CEF∽△CBD，得＝＝，设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，由勾股定理得AE＝4a，再证△AEF∽△BAC，得＝（）2＝，即可求解；
（2）证△MAC∽△ANC，得＝，分三种情况：①当AM＝AN时，则△ANC≌△MAC，得CN＝AC＝2，证△CEN∽△BEA，得＝＝，则CE＝BC＝；
②当NA＝NM时，则∠NMA＝∠NAM，证△ANM∽△ABC，得＝＝，则CN＝2AC＝4＝AB，得△CEN≌△BEA（AAS），则CE＝BE＝BC＝2；
③当MA＝MN时，则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，证△AMN∽△ABC，得＝＝2，则CN＝AC＝1，进而求解即可．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE＝∠EAF+∠DAF＝90°，
∵∠EAF＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF；
②解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC，AC⊥BD，
由①知，△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴＝＝，
设EC＝2a，则AB＝BC＝5a，BE＝3a，
∴AE＝＝＝4a，
∵＝，∠EAF＝∠ABC，
∴△AEF∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝×＝；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAM，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠ANC，
∴∠ANC＝∠CAM，
同理：∠AMC＝∠NAC，
∴△MAC∽△ANC，
∴＝，
△AMN是等腰三角形有三种情况：
①当AM＝AN时，如图2所示：
∵∠ANC＝∠CAM，AM＝AN，∠AMC＝∠NAC，
∴△ANC≌△MAC（ASA），
∴CN＝AC＝2，
∵AB∥CN，
∴△CEN∽△BEA，
∴＝＝＝，
∵BC＝AB＝4，
∴CE＝BC＝；
②当NA＝NM时，如图3所示：
则∠NMA＝∠NAM，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠NMA＝∠NAM＝∠BAC＝∠BCA，
∴△ANM∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CN＝2AC＝4＝AB，
∴△CEN≌△BEA（AAS），
∴CE＝BE＝BC＝2；
③当MA＝MN时，如图4所示：
则∠MNA＝∠MAN＝∠BAC＝∠BCA，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝＝2，
∴CN＝AC＝1，
∵△CEN∽△BEA，
∴＝＝，
∴CE＝BC＝；
综上所述，当CE为或2或时，△AMN是等腰三角形．