3.2.2函数模型及其应用（一）

(共23张PPT)
3.2.2函数模型及其应用
湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作
1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，
当________时，一次函数在 上为增函数，当_______时，
一次函数在 上为减函数。
2.二次函数的解析式为_______________________, 其图像是一条
________线，当______时，函数有最小值为___________，当______
时，函数有最大值为____________。
直
抛物
问题
某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。
如果用纵轴表示家到教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（）
0
(A)
0
(B)
0
(D)
0
（C)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
v
t
1
2
3
4
5
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象
2000
2100
2200
2300
2400
0
1
2
3
4
5
t
s
(2)解:
从这个例题我们看到，在解决实际问题的过程
中，图象函数是能够发挥很大的作用，因此，我们
应当注意提高读图的能力。另外，在本题中我们用
到了分段函数，由此我们也知道，分段函数也是刻
画现实问题的重要模型。大家在运用分段函数的时
候要注意它的定义域。那么应该如何解函数的应
用问题呢？
总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
因此，解决应用题的一般程序是：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
例4 人口增长模型: 其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
下表是1950年~1959年我国的人口数据资料:
(2)如果按表上表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿
(1)如果以各年人中增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为
50000
55000
60000
65000
70000
0
1
2
3
4
5
t
y
6
7
8
9
由上图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人中数据基本吻合.
（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的
人口达到13亿？
解：将 y=130000代入
由计算器可得
t≈38.76
所以，如果按表3-8的增长趋势，那么大约在1950年
后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。
由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口
自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
从以上的例子可以看到，用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，因此通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。因此，往往需要对模型进行修正。
注意点：
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．
3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
中国移动通讯公司拥有“全球通”“神州行”“动感地带”
三大著名客户品牌． “全球通”：收费标准是月租费50元，
通话1分钟话费0.4元；“神州行”：不缴月租费，本地接听
和主叫均为0.6元/分钟，长途0.8元； “动感地带”
（M—zone）是今年3月份北京移动为年轻一族量身定做
的移动客户品牌．其最大卖点在于其短信套餐，分别为
每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500
条短信（假设选择第一种套餐），一条不到一毛钱，
资费标准：中国移动网内0.4元/分钟，网外0.6元/分钟，
免交月租．若一个月内通话分钟为x（仅考虑均拨打本地
网内电话的情况），
三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元．
练习1
（2）当x＝300时，y1＝170元，y2＝180元，y3＝140元，所以使用“动感地带”合算些．
（1）一个月内通话多少分钟，“全球通”与“神州行”
通讯费相同？
（2）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种
通讯方式合算？
解：（1）y1＝50＋0.4x，y2＝0.6x，y3＝20＋0.4x，
由y1＝y2，解得x＝250，所以一个月通话250分钟，
两种方式通讯费相同．
某种细菌随时间的变化而迅速地繁殖增加，若在
某个时刻这种细菌的个数为200个，按照每小时成倍
增长，如下表：
时间（小时） 0 1 2 3
细菌数（个） 200 400 800 1600
问：实验开始后5小时细菌的个数是多少？
练习2
解：设实验时间为x小时，细菌数为y个，依题意有
x小时 0 1 2 3
y（个） 200 400 800 1600
点 A B C D
200＝200×20，
400＝200×21，
800＝200×22，
1600＝200×23．
　　此实验开始后5小时，即x＝5时，细菌数为
200×25＝6400（个）．
从而，我们可以将细菌的繁殖问题抽象归纳为一个指数函数关系式，即y＝200·2x（x∈N）．
解函数的应用问题，一般地可按以下四步进行：
第一步：阅读理解，认真审题
第二步：引进数学符号，建立数学模型
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题
（即数学模型）予以解答，求得结果
第四步：再转移成具体问题作出解答
1.通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应
的确定的函数模型。
2.根据收集到的数据，作出散点图，并通过观察
图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器
的数据得出具体的函数解析式。再用得到的函
数模型解决相应的问题。
用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由
于实际问题的条件与得出已知模型的条件有
所不同，因此，往往需要对模型进行修正。
注意