高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆 相切，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
3．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 上一点， 轴， ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 的准线交于 ， 两点． 为坐标原点．若 的面积为1，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
8．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线上的任意一点， 为平面上点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
二、多选题
9．（2021高二上·温州期中）椭圆C的方程为 ，焦点为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为3
B．椭圆C的长轴长为10
C．椭圆C的离心率为
D．椭圆C上存在点P，使得 为直角
10．设抛物线 的焦点为 .点 在 轴上，若线段 的中点 在抛物线上，且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021高二上·沈阳期中）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 （离地面最近的点）距地面 千米，远地点 （离地面最远的点）距地面 千米，并且 三点在同一直线上，地球半径约为 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 ，则
A． B．
C． D．
12．（2021高二上·黑龙江期中）已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线相互垂直，则椭圆 的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
14．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为
15．已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，直线 过坐标原点 且与双曲线 交于点 ， ．若 ，则四边形 的面积为 ．
16．已知双曲线 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点， ，则双曲线C的离心率的取值范围是 .
四、解答题
17．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
18．已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知 ， 为椭圆 上两点， 为坐标原点，斜率为k的直线l经过点 ，若 ， 关于l对称，且 ，求l的方程.
19．已知椭圆 ，直线 过椭圆 的一个焦点和一个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 的左顶点， ， 是椭圆 上的两点，△ 的内切圆 的方程为 .
（i）求实数 的值；
（ii） 为椭圆 的上顶点，椭圆 上是否存在两点 ， ，使得圆 是△ 的内切圆？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
20．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
21．已知椭圆 ，其上顶点与左右焦点 围成的是面积为 的正三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点 的直线 ( 的斜率存在)交椭圆 于 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点 ，问： 是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.
22．已知点 ， ，直线 ， 的斜率乘积为 ， 点的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设斜率为 的直线交 轴于 ，交曲线 于 ， 两点，是否存在 使得 为定值，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意知， ，则 ，
∴直线 ，即 ．
将圆 的方程化为标准方程： ．
由直线与圆相切可得 ，解得 ．
故答案为：C
【分析】由题意知， ，则 ，即可得出椭圆的渐近线方程，由直线与圆相切可得 ，求解可得实数 的值。
2．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
4．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意 ，可知三角形 是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知 ，
根据双曲定义可知 ，整理得 ，
代入 整理得 ，求得 ；
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 利用已知条件和双曲线性质，结合三角形的几何性质，由此得出a与b之间的关系，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题设， ，由 轴，知 ，
∴ ，又 ，
∴ ，得 ，又 ，得 ，
∴ ，又渐近线方程为 ，即 等价于 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件，结合正切函数以及双曲线的 a、b 、c 三者的关系即可求出以及，提出建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值 。得出双曲线的渐近线方程。
6．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
利用点到直线的距离公式得 ，
故答案为：D.
【分析】计算焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，利用点到直线的距离公式可得答案。
7．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线为 ，抛物线 的渐近线为 ，渐近线与准线的交点为 ， ，所以 ， ，
故答案为：B．
【分析】首先由双曲线的方程求出渐近线方程，再求出抛物线的准线方程与渐近线的交点坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式计算出结果即可。
8．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，作 垂直准线于点 ，
由题意可得 ，
显然，当 三点共线时， 的值最小；
因为 ， ，准线 ，
所以当 三点共线时， ，所以 .
故答案为：A
【分析】 根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得出|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，进而得出|AM|（M到准线的距离）即为所求．
9．【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，
椭圆的焦距为 ，A不符合题意；
椭圆的长轴长为 ，B符合题意；
椭圆的离心率 ，C符合题意；
当点P为上顶点或者下顶点时， 最大，此时 又 为锐角，可得 ，故 ，因此椭圆C上不存在点P，使得 为直角，D不符合题意
故答案为：BC
【分析】首先由椭圆的标准方程求出a、b的值，结合椭圆的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，易知 ，则 ，如图所示.
则 ，解得 .
∴抛物线方程为 ，且 ，
又 在抛物线上， ，因此 ，解得 .
所以点 的坐标为 或 .
故答案为：BC.
【分析】 根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点以及准线方程，设B的坐标为（m，n），由中点坐标公式可得m的值，进而可得求解出p的值由此得出抛物线的方程，再由点在抛物线上代入计算出点的坐标即可。
11．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加 ，可得 ，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据题意可得，从而求出a、c的值，进而求出b的值，进而得出答案。
12．【答案】A,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，
因为 ，
所以四边形 为正方形，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以AD符合条件。
故答案为：AD
【分析】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，再利用 ，所以四边形 为正方形，所以 ，所以 ，即 ，再利用平方法结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率可以的值。
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
14．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设，则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
15．【答案】8
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的对称性可知，四边形 的对角线互相平分且相等，
所以四边形 是矩形．
设 ， ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
所以四边形 的面积为8．
故答案为：8
【分析】由双曲线的对称性可知，四边形 的对角线互相平分且相等，得四边形 是矩形，设 ， ，则 ，化简得 ，即可求出四边形 的面积。
16．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线C的右焦点为 ，
由双曲线的定义可知 ，故 ，
设 ，则P点的横坐标为 ，
因为点P在双曲线上，显然有 ，即 ，
所以离心率e的取值范围是 .
【分析】由双曲线的定义知，于是，由点P在双曲线上，建立不等式，从而得到结果。
17．【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
18．【答案】（1）解：设 ，则 ，
令 ，则 ，从而 ，即 ，
又因为 ，即 ，
解得 ， ，
故椭圆的方程为 .
（2）解：设直线l的方程为 ，当 时，不符合题意.
当 时，设直线 ，
由 联立，整理得 ，
，
即 ①.
设 ， ，则 ， ，
，
.
的中点 在直线 上，
则 ，整理得 ②.
②式代入①式整理得 ，
解得 或 .
因为 ，即
整理得 ③.
将②式代入③得 ， ，且满足 或 ，
所以 ，故直线 的方程为 ，或 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，及椭圆的特征性质即可求出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，消元，得到x的一元二次方程，利用韦达定理得出 ， 坐标间的关系，进一步求解。
19．【答案】（1）椭圆M的焦点和顶点均在坐标轴上，直线 与坐标轴的交点坐标为 ， ，
∴椭圆 中 ， ，则 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）（i）由题意知， ，即 .
如图，过圆心 作 ， 与 轴交于点 ，则△ 与△ 相似，可得 ，
设 ， ，则 ，解得 .
又 在椭圆 上，代入椭圆方程，得 ，整理得 ，即 ，可得 ，
∴ ，即 ，解得 ，即 .
（ii）椭圆 上存在两点 ， ，使得圆 是△ 的内切圆.
下面只需证明，当直线 ， 与圆 相切时，直线 与圆 相切即可.
圆 ，点 ，
设过点 与圆 相切的直线方程为 ，则 ，即 ，解得 ， .
将 与椭圆方程联立，可得 ，则非零的解为 .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，则直线 为 ，即 .
由 ，得 ，易知 .
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线 也与圆 相切，即椭圆 上存在点 ， ，使圆 是△ 的内切圆，且直线 的方程为 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得a、b、c的值，即可求出椭圆 的方程；
（2）（i）过圆心 作 ， 与 轴交于点 ，则△ 与△ 相似，可得 ，设 ， ， 则 ， 解得 ， 又 在椭圆 上，代入椭圆方程，得 ，整理得，求出r，m的值；
（ii）设过点 与圆 相切的直线方程为 ， 将 与椭圆方程联立，可得 ，则非零的解为 ， 设 ， ，则 ， ，由 ，得 ， 圆心 到直线 的距离 ，可得直线 也与圆 相切，即椭圆 上存在点 ， ，使圆 是△ 的内切圆，且直线 的方程为 。
20．【答案】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，即
∴所求双曲线 的渐进线方程
（2）解：由（1）得当 时, 双曲线 的方程为 .
设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,
∴ ,
∵点 在圆 上,∴ ，∴
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系有整体思想即可求出渐近线的方程。
(2)由(1)的结论即可得出双曲线的方程，再设出点的坐标由此求出中点的坐标再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，整理得出结合点在圆上由此求出m的值即可。
21．【答案】（1）解： 为正三角形， ，可得 ，
且 ，∴椭圆 的方程为
（2）解：分以下两种情况讨论：
①当直线 斜率不为0时，设其方程为 ，且 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，且 ，
∴弦 的中点 的坐标为 ，
则弦 的垂直平分线为 ，
令 ，得 ， ，
又
，
；
②当直线 斜率为0时，则 ， ，则 .
综合①②得 是定值且为4．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意由正三角形性质与面积公式可求得a，再由离心率公式求出c的值，结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系，得出b的值从而得到椭圆的方程。
(2)根据题意分情况讨论：当直线l斜率不为0时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，进而求得|MN|，|PF|的表达式，由此得出；当直线l斜率为0时，直接求解即可.
22．【答案】解：（Ⅰ）设 点坐标为 ，则
， 曲线 的方程为
（Ⅱ）设 ， ，设直线 为
代入 得
所以由弦长公式得：
所以
为定值，
则 ， ，
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 设出点P的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解
（Ⅱ） 设出T的坐标以及直线的方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及两点间距离公式求出的关系式，然后根据关系式即可求解.
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆 相切，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意知， ，则 ，
∴直线 ，即 ．
将圆 的方程化为标准方程： ．
由直线与圆相切可得 ，解得 ．
故答案为：C
【分析】由题意知， ，则 ，即可得出椭圆的渐近线方程，由直线与圆相切可得 ，求解可得实数 的值。
2．（2021·新高考Ⅰ）已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.
3．（2021·全国甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得|PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.
4．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意 ，可知三角形 是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知 ，
根据双曲定义可知 ，整理得 ，
代入 整理得 ，求得 ；
∴ ．
故答案为：D．
【分析】 利用已知条件和双曲线性质，结合三角形的几何性质，由此得出a与b之间的关系，再由椭圆的 a、b 、c 三者的关系以及离心率公式，计算出结果即可。
5．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 上一点， 轴， ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题设， ，由 轴，知 ，
∴ ，又 ，
∴ ，得 ，又 ，得 ，
∴ ，又渐近线方程为 ，即 等价于 .
故答案为：C.
【分析】根据题意由已知条件，结合正切函数以及双曲线的 a、b 、c 三者的关系即可求出以及，提出建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值 。得出双曲线的渐近线方程。
6．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
利用点到直线的距离公式得 ，
故答案为：D.
【分析】计算焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，利用点到直线的距离公式可得答案。
7．已知双曲线 的两条渐近线分别与抛物线 的准线交于 ， 两点． 为坐标原点．若 的面积为1，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线为 ，抛物线 的渐近线为 ，渐近线与准线的交点为 ， ，所以 ， ，
故答案为：B．
【分析】首先由双曲线的方程求出渐近线方程，再求出抛物线的准线方程与渐近线的交点坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式计算出结果即可。
8．已知点 是抛物线 的焦点，点 为抛物线上的任意一点， 为平面上点，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】如图，作 垂直准线于点 ，
由题意可得 ，
显然，当 三点共线时， 的值最小；
因为 ， ，准线 ，
所以当 三点共线时， ，所以 .
故答案为：A
【分析】 根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得出|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AM|，进而得出|AM|（M到准线的距离）即为所求．
二、多选题
9．（2021高二上·温州期中）椭圆C的方程为 ，焦点为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为3
B．椭圆C的长轴长为10
C．椭圆C的离心率为
D．椭圆C上存在点P，使得 为直角
【答案】B,C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意，
椭圆的焦距为 ，A不符合题意；
椭圆的长轴长为 ，B符合题意；
椭圆的离心率 ，C符合题意；
当点P为上顶点或者下顶点时， 最大，此时 又 为锐角，可得 ，故 ，因此椭圆C上不存在点P，使得 为直角，D不符合题意
故答案为：BC
【分析】首先由椭圆的标准方程求出a、b的值，结合椭圆的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
10．设抛物线 的焦点为 .点 在 轴上，若线段 的中点 在抛物线上，且点 到抛物线准线的距离为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】设 ，易知 ，则 ，如图所示.
则 ，解得 .
∴抛物线方程为 ，且 ，
又 在抛物线上， ，因此 ，解得 .
所以点 的坐标为 或 .
故答案为：BC.
【分析】 根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点以及准线方程，设B的坐标为（m，n），由中点坐标公式可得m的值，进而可得求解出p的值由此得出抛物线的方程，再由点在抛物线上代入计算出点的坐标即可。
11．（2021高二上·沈阳期中）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 （离地面最近的点）距地面 千米，远地点 （离地面最远的点）距地面 千米，并且 三点在同一直线上，地球半径约为 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，
并且根据图象可得 ，（*）
，故A正确；
，故B正确；
（*）两式相加 ，可得 ，故C不正确；
由（*）可得 ，两式相乘可得
，
，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据题意可得，从而求出a、c的值，进而求出b的值，进而得出答案。
12．（2021高二上·黑龙江期中）已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上存在点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线相互垂直，则椭圆 的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，
因为 ，
所以四边形 为正方形，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以AD符合条件。
故答案为：AD
【分析】设两切点分别为 ，连接 ，由题意可得 四点共圆，再利用 ，所以四边形 为正方形，所以 ，所以 ，即 ，再利用平方法结合椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率的取值范围，进而求出椭圆 的离心率可以的值。
三、填空题
13．（2021·新高考Ⅱ卷）已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由得，所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合渐近线方程直接求解即可.
14．（2021·新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程；抛物线的定义
【解析】【解答】解：由题意可设，则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.
15．已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，直线 过坐标原点 且与双曲线 交于点 ， ．若 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】8
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的对称性可知，四边形 的对角线互相平分且相等，
所以四边形 是矩形．
设 ， ，
则 ．
因为 ，
所以 ，
化简得 ，
所以四边形 的面积为8．
故答案为：8
【分析】由双曲线的对称性可知，四边形 的对角线互相平分且相等，得四边形 是矩形，设 ， ，则 ，化简得 ，即可求出四边形 的面积。
16．已知双曲线 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点， ，则双曲线C的离心率的取值范围是 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线C的右焦点为 ，
由双曲线的定义可知 ，故 ，
设 ，则P点的横坐标为 ，
因为点P在双曲线上，显然有 ，即 ，
所以离心率e的取值范围是 .
【分析】由双曲线的定义知，于是，由点P在双曲线上，建立不等式，从而得到结果。
四、解答题
17．（2021·全国乙卷）已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
【答案】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质，可求得P的值，就可以写出抛物线的方程；
（2）先设出Q的坐标M(x0,y0),在代入已知等式 ，用(x0,yO)表示出 ，再 代入抛物线方程，推导出x0，y0的关系，再表示出OQ的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。
18．已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知 ， 为椭圆 上两点， 为坐标原点，斜率为k的直线l经过点 ，若 ， 关于l对称，且 ，求l的方程.
【答案】（1）解：设 ，则 ，
令 ，则 ，从而 ，即 ，
又因为 ，即 ，
解得 ， ，
故椭圆的方程为 .
（2）解：设直线l的方程为 ，当 时，不符合题意.
当 时，设直线 ，
由 联立，整理得 ，
，
即 ①.
设 ， ，则 ， ，
，
.
的中点 在直线 上，
则 ，整理得 ②.
②式代入①式整理得 ，
解得 或 .
因为 ，即
整理得 ③.
将②式代入③得 ， ，且满足 或 ，
所以 ，故直线 的方程为 ，或 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，及椭圆的特征性质即可求出a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；
（2）设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，消元，得到x的一元二次方程，利用韦达定理得出 ， 坐标间的关系，进一步求解。
19．已知椭圆 ，直线 过椭圆 的一个焦点和一个顶点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 的左顶点， ， 是椭圆 上的两点，△ 的内切圆 的方程为 .
（i）求实数 的值；
（ii） 为椭圆 的上顶点，椭圆 上是否存在两点 ， ，使得圆 是△ 的内切圆？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）椭圆M的焦点和顶点均在坐标轴上，直线 与坐标轴的交点坐标为 ， ，
∴椭圆 中 ， ，则 ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）（i）由题意知， ，即 .
如图，过圆心 作 ， 与 轴交于点 ，则△ 与△ 相似，可得 ，
设 ， ，则 ，解得 .
又 在椭圆 上，代入椭圆方程，得 ，整理得 ，即 ，可得 ，
∴ ，即 ，解得 ，即 .
（ii）椭圆 上存在两点 ， ，使得圆 是△ 的内切圆.
下面只需证明，当直线 ， 与圆 相切时，直线 与圆 相切即可.
圆 ，点 ，
设过点 与圆 相切的直线方程为 ，则 ，即 ，解得 ， .
将 与椭圆方程联立，可得 ，则非零的解为 .
设 ， ，则 ， ，
∴ ，则直线 为 ，即 .
由 ，得 ，易知 .
∴圆心 到直线 的距离 ，
∴直线 也与圆 相切，即椭圆 上存在点 ， ，使圆 是△ 的内切圆，且直线 的方程为 .
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得a、b、c的值，即可求出椭圆 的方程；
（2）（i）过圆心 作 ， 与 轴交于点 ，则△ 与△ 相似，可得 ，设 ， ， 则 ， 解得 ， 又 在椭圆 上，代入椭圆方程，得 ，整理得，求出r，m的值；
（ii）设过点 与圆 相切的直线方程为 ， 将 与椭圆方程联立，可得 ，则非零的解为 ， 设 ， ，则 ， ，由 ，得 ， 圆心 到直线 的距离 ，可得直线 也与圆 相切，即椭圆 上存在点 ， ，使圆 是△ 的内切圆，且直线 的方程为 。
20．已知双曲线 (a>0,b>0)的离心率为 ,
（1）求双曲线C的渐近线方程.
（2）当a=1时,直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆 上,求m的值.
【答案】（1）解：由题意，得 ，
∴ ，即
∴所求双曲线 的渐进线方程
（2）解：由（1）得当 时, 双曲线 的方程为 .
设A、B两点的坐标分别为 ，线段AB的中点为 ，
由 得 （判别式 ）,
∴ ,
∵点 在圆 上,∴ ，∴
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由离心率的公式以及双曲线里a、b、c的关系有整体思想即可求出渐近线的方程。
(2)由(1)的结论即可得出双曲线的方程，再设出点的坐标由此求出中点的坐标再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，整理得出结合点在圆上由此求出m的值即可。
21．已知椭圆 ，其上顶点与左右焦点 围成的是面积为 的正三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点 的直线 ( 的斜率存在)交椭圆 于 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点 ，问： 是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由.
【答案】（1）解： 为正三角形， ，可得 ，
且 ，∴椭圆 的方程为
（2）解：分以下两种情况讨论：
①当直线 斜率不为0时，设其方程为 ，且 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，且 ，
∴弦 的中点 的坐标为 ，
则弦 的垂直平分线为 ，
令 ，得 ， ，
又
，
；
②当直线 斜率为0时，则 ， ，则 .
综合①②得 是定值且为4．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)根据题意由正三角形性质与面积公式可求得a，再由离心率公式求出c的值，结合椭圆的 a、b 、c 三者的关系，得出b的值从而得到椭圆的方程。
(2)根据题意分情况讨论：当直线l斜率不为0时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，进而求得|MN|，|PF|的表达式，由此得出；当直线l斜率为0时，直接求解即可.
22．已知点 ， ，直线 ， 的斜率乘积为 ， 点的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）设斜率为 的直线交 轴于 ，交曲线 于 ， 两点，是否存在 使得 为定值，若存在，求出的 值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）设 点坐标为 ，则
， 曲线 的方程为
（Ⅱ）设 ， ，设直线 为
代入 得
所以由弦长公式得：
所以
为定值，
则 ， ，
【知识点】直线的斜率；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （Ⅰ） 设出点P的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解
（Ⅱ） 设出T的坐标以及直线的方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及两点间距离公式求出的关系式，然后根据关系式即可求解.
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