2.2.2 对数函数的性质及其应用题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（Word含答案解析）

第二章　基本初等函数(Ⅰ)
2.2　对数函数
2.2.2　对数函数及其性质
第2课时　对数函数的性质及应用
基础过关练
题组一　对数函数的单调性和奇偶性
1.函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
2.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)=(　　)
A.b B.-b C. D.-
3.设f(x)在R上是偶函数,若当x>0时,有f(x)=log2(x+1),则f(-7)=　　　　.
4.已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)在定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)上是奇函数.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
题组二　指数函数与对数函数的关系
5.(2018北京西城高一上期中)函数y=与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.ab=1 B.a+b=1 C.a=b D.a-b=1
6.(2018安徽芜湖一中高一上期中)点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象上,则f =(　　)
A.-2 B.2 C.-1 D.1
7.(2018广西南宁二中高一上期中)已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是(　　)
题组三　对数函数性质的综合运用
8.(重庆高一上月考)不等式log2(x+1)<1的解集为(　　)
A.{x|0C.{x|-1-1}
9.函数y=log0.2(2x+1)的值域为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
10.已知x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=eln x,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.b>a>c
11.已知y=loga(8-3ax)(a>0,且a≠1)在[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.1,
C.,4 D.(1,+∞)
12.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-flog2,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.c13.(福建邵武七中高一上期中)解下列不等式:
(1)lox>lo(4-x);
(2)logx>1;
(3)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0且a≠1).
能力提升练
一、选择题
1.(陕西西安中学高一上期中,★★☆)函数y=的定义域是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|0C.{x|02.(山西长治二中高一上期中,★★☆)设a=50.4,b=log0.30.4,c=log40.2,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b
3.(河北唐山一中高一上期中,★★☆)函数y=的图象是(　　)
4.(河北石家庄二中高一上期末,★★☆)函数f(x)=lg(x2-1)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
5.(福建厦门外国语学校高一上期中,★★★)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则f(x)<0的取值范围为 (　　)
A.(0,+∞) B.
C.(1,2) D.(-∞,0)
6.(河南省实验中学高一上期中,★★★)已知函数f(x)=loga(+x)++(a>0,且a≠1),如果f(log3b)=2 019,其中b>0,b≠1,则f(lob)=(　　)
A.2 019 B.2 017 C.-2 019 D.-2 017
二、填空题
7.(★★☆)若函数f(x)=ln(x+)为奇函数,则实数a的值为　　　　.
8.(江苏江阴四校高一上期中,★★☆)若f(x)=(a>0,且a≠1)在R上为单调递减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
9.(河南周口高一上期末调研,★★★)若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是　　　　.
10.(湖北武汉外国语学校高一上期中,★★★)若x∈时,4x三、解答题
11.(山东泰安一中高一上期中,★★☆)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.
(1)求A∩B,( RB)∪A;
(2)已知集合C={x|112.(河北唐山一中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求f(x)>0的解集.
13.(★★☆)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式lo(x-1)>lo(a-x);
(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.
14.(山东师大附中高一上第一次学分认定考试,★★☆)已知函数f(x)=lg.
(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(2)当x≥0时,函数g(x)与f(x)相同,且g(x)为偶函数,求g(x)的定义域及其表达式.
15.(★★☆)已知函数f(x)=log3·log3(27x),其中x∈.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求函数f(x)的单调区间.
16.(天津实验中学高一期中,★★★)已知函数g(x)=mx2-2mx+1+n(n≥0)在[1,2]上有最大值1和最小值0.设f(x)=.
(1)求m,n的值;
(2)若不等式f(log2x)-2klog2x≤0在x∈[2,4]上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)若方程f(|ex-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.(其中e为自然对数的底数)
答案全解全析
第二章　基本初等函数(Ⅰ)
2.2　对数函数
2.2.2　对数函数及其性质
第2课时　对数函数的性质
及应用
基础过关练
1.A　令t=x2+2x-3(t>0),
∵x2+2x-3>0,∴x>1或x<-3,
又∵t=x2+2x-3在(-∞,-3)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
且y=log2t在(0,+∞)上是增函数,
∴函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是(-∞,-3),故选A.
2.B　由题意得,函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=lg=lg=-lg=-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(-a)=-f(a)=-b.
3.答案　3
解析　依题意得f(-7)=f(7)=log2(7+1)=3.
4.解析　(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0在定义域内恒成立,
即loga+loga=loga=0在定义域内恒成立,
∴1-m2x2=1-x2对任意x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,∴m2=1,解得m=±1.当m=-1时, f(x)=loga无意义,舍去;当m=1时,f(x)=loga,符合题意,∴m=1.
(2)当a>1时, f(x)在(1,+∞)上是减函数;当0证明:由(1)知,f(x)=loga.设u==1+,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1由x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,得u1-u2>0,即u1>u2.因此当a>1时,logau1>logau2,即f(x1)>f(x2), f(x)在(1,+∞)上是减函数;
同理可得,当05.A　由函数y=与y=logbx互为反函数得=b,所以ab=1,故选A.
6.C　因为点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图象上,所以点(4,2)在函数f(x)=logax的图象上,因此loga4=2,即4=a2,又a>0,且a≠1,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f=log2=-1.
7.B　首先函数y=ax与y=logax互为反函数,其图象关于直线y=x对称,且单调性相同;其次函数y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,其单调性相反.A、C两个图中的图象只关于直线y=x对称,从而排除A、C;D图中的单调性错误,又可排除D,故选B.
8.C　不等式log2(x+1)<1可化为log2(x+1)由y=log2x是增函数得,09.B　设u=2x+1,因为y=log0.2u是减函数,u=2x+1为增函数,所以y=log0.2(2x+1)是减函数,又因为2x+1>1,
所以log0.2(2x+1)故该函数的值域为(-∞,0),故选B.
10.B　∵x∈(e-1,1),
∴ln x∈(-1,0),
∴a∈(-1,0),b∈(1,2),c∈(e-1,1),
∴b>c>a,故选B.
11.B　因为a>0且a≠1,所以t=8-3ax为减函数.又y=loga(8-3ax)(a>0,且a≠1)在[1,2]上是减函数,所以y=logat是增函数,所以a>1.由8-3ax>0在[1,2]上恒成立,得a<在[1,2]上恒成立,所以a12.C　由f(x)为奇函数可得,a=-flog2=f-log2=f(log25).因为log25>log24.1>2,1<20.8<2,所以log25>log24.1>20.8,又f(x)在R上是增函数,所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),
即-f>f(log24.1)>f(20.8),所以a>b>c,故选C.
13.解析　(1)由题意可得解得0(2)由题意得x>0,且x≠1.当x>1时,logx>1=logxx,解得x<,此时不等式无解;当01=logxx,解得x>,所以综上所述,原不等式的解集为x.
(3)当a>1时,原不等式等价于解得x>4;
当0综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};
当0能力提升练
一、选择题
1.D　依题意得
∴02.C　∵a=50.4>50=1,log0.30.4即0c=log40.2∴c3.B　函数y=是奇函数,排除A,C;当x=时,y=ln <0,对应点在第四象限,排除D.故选B.
4.A　由x2-1>0得x>1或x<-1.
∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
设y=lg μ,μ=x2-1,则y=lg μ是增函数,
又μ=x2-1在(-∞,0]上递减,[0,+∞)上递增,考虑到定义域知,f(x)的递减区间为(-∞,-1),故选A.
5.B　设u=1-ax,则y=log3u,
由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,
∴-a<0,即a>0.
由1-ax>0得,ax<1,又a>0,
∴x<,即f(x)的定义域为-∞,,
∴(-∞,2] -∞, 2<,
结合a>0,得0因此,a的取值范围是0,,故选B.
6.D　解法一:由题知解得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
∵f(x)=loga(+x)++
=loga(+x)+++1
=loga(+x)++1,
∴设F(x)=f(x)-1=loga(+x)+,则F(x)为奇函数.
设log3b=t,则f(t)=2 019,
又lob=-log3b=-t.
由f(t)=2 019得,F(t)=f(t)-1=2 018.
∴F(-t)=-F(t)=-2 018.
从而f(-t)=F(-t)+1=-2 018+1=-2 017,故选D.
解法二:由题知解得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
∵f(-x)=loga(-x)++,
∴f(x)+f(-x)=loga(+x)+loga(-x)+++3=0-1+3=2,
∴f(log3b)+f(lob)=f(log3b)+f(-log3b)=2,
又∵f(log3b)=2 019,
∴f(-log3b)=2-2 019=-2 017,即f(lob)=-2 017.
二、填空题
7.答案　1
解析　依题意得f(0)=ln()=0 =1 a=1,此时,f(x)=ln(x+),其定义域为R,且f(-x)=ln(-x)=ln =-ln(+x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数,故a=1.
8.答案　
解析　∵f(x)在R上是减函数,
∴ ≤a<.
故a的取值范围是,.
9.答案　[-1,2)
解析　当x≥1时,ln x≥0,
从而1+ln x≥1.
设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,
则(-∞,1) B,
因此
解得-1≤a<2.
故a的取值范围是[-1,2).
10.答案　
解析　由题意得,当0当a>1时,不符合题意,舍去.所以实数a的取值范围是.
三、解答题
11.解析　(1)由3≤3x≤27得,1≤x≤3,∴A={x|1≤x≤3}.
由log2x>1=log22得,x>2,∴B={x|x>2},
∴A∩B={x|2又 RB={x|x≤2},
∴( RB)∪A={x|x≤3}.
(2)由(1)知,A={x|1≤x≤3}.当C= ,即a≤1时,符合题意;
当C≠ ,即a>1时,依题意得,a≤3,
此时1综上所述,a的取值范围是(-∞,3].
12.解析　(1)由题知,f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1,若使式子有意义,则即-1(2)f(x)为奇函数,证明:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,则任取x∈(-1,1),都有f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(3)f(x)>0,即loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x).
当a>1时,上述不等式等价于解得00的解集为{x|013.解析　(1)∵loga3>loga2,∴a>1,
∴y=logax在[a,2a]上为增函数,
∴loga(2a)-logaa=1,∴a=2.
(2)依题意可知解得1∴所求不等式的解集为.
(3)∵g(x)=|log2x-1|,
∴当log2x-1≥0,即x≥2时,g(x)=log2x-1;当log2x-1<0,即0∴函数g(x)在(0,2)上为减函数,在[2,+∞)上为增函数,
即g(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为[2,+∞).
14.解析　(1)函数f(x)是奇函数.
证明如下:∵>0 (3-x)(3+x)>0 (x-3)(x+3)<0 -3∴函数f(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称.
又∵f(x)+f(-x)=lg+lg=
lg=0,
∴f(x)=-f(-x),
∴函数f(x)是奇函数.
(2)由条件得,当x≥0时,g(x)=lg,x∈[0,3).
∵g(x)的定义域关于原点对称,
∴g(x)的定义域为(-3,3).
设x∈(-3,0),
则-x∈(0,3),
g(x)=g(-x)=lg,
∴g(x)=
15.解析　(1)由题得f(x)=log3·log3(27x)=(-1+log3x)(3+log3x),x∈.
令t=log3x,t∈[-2,1],
则g(t)=(-1+t)(3+t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[-2,1].
当t=-1时,g(t)min=g(-1)=-4;
当t=1时,g(t)max=g(1)=0.
所以函数f(x)的值域为[-4,0].
(2)因为t=log3x在x∈上为增函数,且g(t)=(t+1)2-4在t∈[-2,-1]上为减函数,在t∈[-1,1]上为增函数,
所以当t∈[-2,-1],
即x∈时, f(x)为减函数;
当t∈[-1,1],
即x∈时, f(x)为增函数.
综上, f(x)的单调减区间为, f(x)的单调增区间为.
16.解析　(1)当m>0时,图象的对称轴为直线x=1,g(x)最大值为g(2)=1+n=1,n=0,g(x)最小值为g(1)=-m+1+n=0,m=1;当m<0时,图象的对称轴为直线x=1,g(x)最小值为g(2)=1+n=0,n=-1,舍去;当m=0时,g(x)为常函数,不满足题意.综上m=1,n=0.
(2)令log2x=t,则t∈[1,2],所以不等式f(log2x)-2klog2x≤0等价于k≥1-2.
因为t∈[1,2]时,1-2∈0,,
所以k≥.
(3)令|ex-1|=t,
则方程f(|ex-1|)+-3k=0等价于t2-(2+3k)t+(1+2k)=0,因为方程f(|ex-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,则t2-(2+3k)t+(1+2k)=0有三个不同的实数解,则t2-(2+3k)t+(1+2k)=0必有两个不等的实数解t1,t2,且0即或
所以或即k>0.