2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.2.3 直线的一般式方程课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
2.2.3 直线的一般式方程
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b, 且斜率为k
两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线
不含与x, y轴垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
都是关于x, y的二元一次方程
复习回顾：
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.
先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角.
即 kx-y+b=0.
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b,
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成
Ax+By+C=0.
Ax+By+C=0.
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗 (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0), 如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.
当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为
它表示过点 , 斜率为 的直线.
它表示过点 , 且垂直于x轴的直线.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
我们把关于x, y二元一次方程 Ax+By +C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线方程的一般式方程, 简称一般式.
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线.
探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.
5. 直线的一般式方程
①当A＝0且B ≠ 0且C ≠ 0时，直线平行于x轴，方程为
②当A ≠ 0且B＝0且C ≠ 0时，直线平行于y轴，方程为
③当A＝0且B ≠ 0且C＝0时，直线与x轴重合，方程为
④当A ≠ 0且B＝0且C＝0时，直线与y轴重合，方程为
例5 已知直线经过点A(6,－4), 斜率为 , 求直线的点斜式和一般式方程.
例6 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
x
y
O
-6
3
l
1. 根据下列条件, 写出直线的方程, 并把它化为一般式:
(1) 经过点A(8,－2), 斜率是
(2) 经过点B(4, 2), 平行于x轴;
(3) 经过点P1(3,－2), P2(5,－4);
(4) 在x轴、y轴上的截距分别是 , －3.
(1) x+2y－4=0;
(2) y=－2;
(3) x+y－1=0;
(4) 2x－y－3=0.
2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距, 并画出图形:
x
y
O
5
l
(1)
x
y
O
-5
l
(2)
4
x
y
O
(-2,1)
l
(3)

x
y
O
l
(4)
3. 已知直线l的方程是Ax+By+C=0.
(1)当B≠0时, 直线l的斜率是多少 当B=0时呢
(2)系数A, B, C取什么值时, 方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线
解：
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π), 则有
故求直线 l 的方程为
即
【巩固训练1】直线l过点(6,-4), 倾斜角的余弦是 , 求直线l的一般式方程.
【巩固训练2】过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程.
当且仅当
即
即
解1：
x
y
O
P(1,4)
【巩固训练2】过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程.
解2：
x
y
O
P(1,4)
可设直线l方程为
令y=0, 得
即
令x=0, 得
即
【巩固训练2】如图示，过点P(1,2)的直线l与x轴、y轴的正方向相交于A、B两点，求△AOB的面积取得最小值时直线l的方程.
解：
由于所求直线与x轴、y轴正方向各有一个交点, 如图示, 故直线l的斜率k存在且k<0.
x
y
O
P(1,2)
B
A
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
若两直线方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0, 则
根据直线的一般式方程解决平行、垂直问题:
若两直线方程为l1: y=k1x＋b1, l1: y=k2x＋b2, 则
l1∥l2 k1=k2 , 且b1 ≠ b2.
l1⊥l2 k1k2＝－1.
【巩固训练1】已知两直线l1: x＋my＋6＝0, l2: (m－2)x＋3y＋2m＝0, 当m为何值时, 直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直．
【巩固训练2】若已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0, l2：mx＋3y＋4＝0, 当m为何值时, 直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直．
【巩固训练3】已知直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直, 求a的值.
解：由(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=1，解得
a=0或a=1，
∴当a=0或a=1时，直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直.
【巩固训练4】已知直线x+2ay-1=0与(3a-1)x-ay-1=0平行, 求a的值.
解：由(-a)-2a(3a-1)=0，解得
当a=0时，直线方程分别为x=1与x=-1平行，满足题意.
当 时，直线方程分别为3x+y-3=0与3x+y-6=0平行，满足题意.
【巩固训练5】(1) 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
(2) 求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
【巩固训练5】(1) 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程;
(2) 求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
【巩固训练6】(教材167页习题2.2A组第8题)
(1) 求经过点A(3,2), 且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程；
(2) 经过点C(2,－3), 且平行于过M(1, 2)和N(－1,－5)两点的直线;
(3) 求经过点B(3,0), 且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程.
解：(1) 4x＋y－14＝0；
(3) x－2y－3＝0.
(2) 7x－2y－20＝0；
1. 判定两直线平行的方法：
法1：若两直线斜率都存在, 化成斜截式后, 由 k1＝k2, 且b1≠b2可判定两直线平行; 若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行．
法2：设两直线的方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0.
2. 判定两直线垂直的方法：
法1：若一个斜率为零, 另一个斜率不存在, 则两直线垂直．
若两个斜率都存在, 化成斜截式后, 由k1k2＝－1可判定两直线垂直.
法2：设两直线方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0.
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
小结：
课后作业：
完成课本67页习题2.2第1~8题