2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1 2.1.2 指数函数的性质及其应用题组训练 （word含答案）

第二章　基本初等函数(Ⅰ)
2.1　指数函数
2.1.2　指数函数及其性质
　指数函数的性质及其应用
基础过关练
题组一　指数型函数的单调性及其应用
1.设y1=40.9,y2=,y3=,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
2.若函数f(x)=在定义域上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.,3 B.,3
C.(1,3) D.(2,3)
3.函数f(x)=(-1的单调增区间为　　　　.
4.若函数y=|2x-1|在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是　　　　.
5.(1)判断f(x)= 的单调性,并求其值域;
(2)求函数y= (a>0,且a≠1)的单调区间.
题组二　指数方程与指数不等式
6.方程4x-3·2x+2=0的解构成的集合为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{1,2}
7.(2018湖北武汉外国语学校高一上期末)已知集合M={-1,1,2,4},N=,则M∩N=(　　)
A.{-1,1,2} B.{4}
C.{1,2} D.{x|-1≤x≤2}
8.若<,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞) B.
C.(-∞,1) D.
9.(广东珠海高一上期末学业质量检测)已知函数f(x)满足f(x+1)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是(　　)
A.[1,32) B.[-1,30)
C.[0,5) D.(-∞,log230)10.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2,当f(x)=g(x)时,求2x的值.
11.已知函数f(x)=2x+b的图象经过定点(2,8).
(1)求实数b的值;
(2)求不等式f(x)>的解集.
题组三　指数型函数的应用
12.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则(　　)
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
13.(浙江杭州高级中学高一上期末)函数f(x)=的单调增区间为　　　　;奇偶性为　　　　(填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数).
14.设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x的取值范围;
(2)当x∈[-1,2]时, f(x)的最大值是16,求a的值.
能力提升练
一、选择题
1.(浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★☆)函数f(x)=的定义域为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,0)∪(0,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(0,+∞)
2.(甘肃兰州一中高一月考,★★☆)若≤的解集是函数y=2x的定义域,则函数y=2x的值域是(　　)
A. B.
C. D.[2,+∞)
3.(福建厦外高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(　　)
4.(安徽安庆高一上期末教学质量调研监测,★★☆)某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x-1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①该函数的值域为(0,+∞);②该函数在区间[0,+∞)上单调递增;③ 该函数的图象关于直线x=1对称;④该函数的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点.则其中正确结论的个数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(江苏如东高级中学高一上阶段性测试,★★★)函数f(x)=-a2x-1+5ax-8(a>0,a≠1)在[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1)∪ B.∪(1,+∞)
C.(0,1)∪ D.
6.(陕西西安中学高一上期中,★★★)已知实数a,b满足等式2 020a=2 019b,下列五个关系式:①0A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
7.(★★☆)函数y=的单调递增区间为　　　　.
8.(山东烟台高一上期末,★★☆)已知函数f(x)=3|x+a|(a∈R)满足f(x)=f(2-x),则实数a的值为　　　　;若f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于　　　　.
9.(湖南长郡中学高一上第一次模块检测,★★☆)已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(★★★)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过A(1,6),B(2,18).若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数m的最大值为　　　　.
三、解答题
11.(山东泰安一中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=a+.
(1)求f(x)的定义域;
(2)若 f(x)为奇函数,求a的值,并求f(x)的值域.
12.(山东泰安高一上期末,★★☆)已知函数f(x)=+m,m∈R.
(1)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论;
(2)是否存在m,使得f(x)为奇函数 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
13.(★★☆)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=e-x(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)在R上的解析式,并作出函数f(x)的大致图象;
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间和值域.
14.(★★★)设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0,且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)若f(1)<0,求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的实数t的取值范围;
(3)若f(1)=,g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),且g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求实数m的值.
15.(河南郑州高一上期末,★★★)设函数f(x)=2kx2+x(k为常实数)为奇函数,函数g(x)=af(x)+1(a>0,且a≠1).
(1)求k的值;
(2)求函数g(x)在[-2,1]上的最大值和最小值;
(3)当a=2时,g(x)≤-2mt+3对所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
第二章　基本初等函数(Ⅰ)
2.1　指数函数
2.1.2　指数函数及其性质
第2课时　指数函数的性质
及其应用
基础过关练
1.B　由题意知,y1=40.9=21.8,y2=80.61=23×0.61=21.83,y3==21.5,∵y=2x在R上是增函数,∴y2>y1>y3.故选B.
2.B　由函数f(x)=在定义域上单调递增,可得
解得3>a≥.
所以实数a的取值范围是,3 .
3.答案　(-∞,1]
解析　设u=x2-2x-3,则y=(-1)u.由0<-1<1得y=(-1)u是减函数,又u=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上是减函数,因此y=f(x)在(-∞,1]上递增.
4.答案　(-∞,0]
解析　在平面直角坐标系中作出y=2x的图象,把图象沿y轴向下平移1个单位得到y=2x-1的图象,再把y=2x-1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折,其余部分不变,得到y=|2x-1|的图象,如图实线部分,由图可知,y=|2x-1|在(-∞,0]上单调递减,∴m∈(-∞,0].
5.解析　(1)令u=x2-2x,易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.又0<<1,所以y=在R上单调递减.根据“同增异减”规律可得,f(x)=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
因为u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以y=u,u∈[-1,+∞),所以0(2)令u=x2+2x-3,则y=au(a>0,且a≠1),
由u=x2+2x-3=(x+1)2-4,得u=x2+2x-3在(-∞,-1]上为减函数,在[-1,+∞)上为增函数.
当a>1时,y=au在R上为增函数,此时函数y= 的增区间为[-1,+∞),减区间为(-∞,-1];当06.C　令2x=t(t>0),则4x=(2x)2=t2,
原方程可化为t2-3t+2=0,
解得t=1或t=2.
当t=1时,2x=1=20,解得x=0;
当t=2时,2x=2=21,解得x=1.
因此原方程的解构成的集合为{0,1},
故选C.
7.C　由<2x<8知,2-1<2x<23,即-1因此N={x|-1又M={-1,1,2,4},
∴M∩N={1,2},故选C.
8.B　∵函数y=在R上为减函数,
∴2a+1>3-2a,∴a>.
9.C　∵f(x+1)的定义域是[0,31),即0≤x<31,∴1≤x+1<32,∴要使f(x)有意义,需1≤x<32,∴要使f(2x)有意义,需20=1≤2x<32=25,∴0≤x<5.
10.解析　由f(x)=g(x),得2x=+2.当x≥0时,得2x=+2,即(2x)2-2·2x+1=2,所以(2x-1)2=2,得2x-1=(舍去2x-1=-),所以2x=1+.当x<0时,得2x=+2,即1=1+2·2-x,该方程无解.综上可知,2x=1+.
11.解析　(1)∵函数f(x)=2x+b的图象经过定点(2,8),∴22+b=8,即2+b=3,故b=1.
(2)由(1)得,f(x)=2x+1,由f(x)>,得2x+1>,∴x+1>,即x>,∴不等式f(x)>的解集为.
12.B　∵f(x)与g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),
∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数.
13.答案　[0,+∞);偶函数
解析　设μ=-|x|+1,则y=μ.
∵μ=-|x|+1的递减区间为[0,+∞),y=μ是减函数,
∴y=-|x|+1的递增区间是[0,+∞).
又f(-x)=-|-x|+1=-|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
14.解析　(1)由f(3)=得a=3,不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22,
由此可得3x-10≥2,∴x≥4,
故x的取值范围是[4,+∞).
(2)当a>0时, f(x)==2ax-10是增函数,则当x∈[-1,2]时, f(x)max=f(2)=22a-10=16,所以a=7;当a<0时, f(x)==2ax-10是减函数,
则当x∈[-1,2]时, f(x)max=f(-1)=2-a-10=16,所以a=-14.
综上,a=-14或a=7.
能力提升练
一、选择题
1.A　依题意得 故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞),故选A.
2.B　由≤得≤2-2x+4,因为f(t)=2t在定义域上单调递增,所以x2+1≤-2x+4,即x2+2x-3=(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,所以函数y=2x的定义域为[-3,1].由于函数y=2x在R上递增,故当x=-3时,y取得最小值,当x=1时,y取得最大值2,所以函数的值域为.故选B.
3.A　由题中函数f(x)的图象知,b<-1<04.B　函数f(x)的值域为[1,+∞),①错误;函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,②错误;函数f(x)的图象关于直线x=1对称,③正确;因为y=-a2≤0,所以函数f(x)的图象与直线y=-a2(a∈R)不可能有交点,④正确.所以正确结论的个数为2,故选B.
5.A　令y=f(x)=-·a2x+5ax-8,设ax=μ,μ>0,
则y=-μ2+5μ-8=-μ-2+-8.
∴y=-μ2+5μ-8在-∞,上递增,在,+∞上递减.
①当0∵x≥2,∴0<μ≤a2≤,
此时,y=-μ2+5μ-8是增函数,
从而f(x)是减函数,适合题意.
②当a>1时,μ=ax是增函数,
∵x≥2,∴μ≥a2,
由f(x)在[2,+∞)上递减得,a2≥,又a>0,
∴a≥,即当a≥时,f(x)是减函数,
综上所述,a的取值范围是(0,1)∪,+∞,故选A.
6.B　在同一平面直角坐标系中作出y=t,y=2 020x与y=2 019x的图象如图所示.
设2 020a=2 019b=t,
当t>1时,0当t=1时,a=b=0,⑤正确;
当0故选B.
二、填空题
7.答案　[-1,+∞)
解析　函数y=在R上递减,函数y=-x2-2x+8的图象的对称轴是x=-1,且在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减.根据复合函数单调性同增异减可知,函数y=的单调递增区间为[-1,+∞).
8.答案　-1;1
解析　由f(x)=f(2-x)得,f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)=3|x+a|的图象关于x=-a对称,∴-a=1,即a=-1.
此时f(x)=3|x-1|,它的单调递增区间为[1,+∞),依题意得[m,+∞) [1,+∞),从而m≥1,
因此m的最小值为1.
9.答案　[4,8)
解析　当x>1时, f(x)=ax是增函数,
∴a>1.①
当x≤1时, f(x)=x+2是增函数,
∴4->0,解得a<8.②
又f(x)在R上是增函数,
∴×1+2≤a1,
解得a≥4.③
由①②③得4≤a<8,
故实数a的取值范围是[4,8).
10.答案　
解析　由已知可得,解得即不等式为+-m≥0,设g(x)=+-m,显然函数g(x)=+-m在(-∞,1]上单调递减,
∴g(x)≥g(1)=+-m=-m,故-m≥0,解得m≤,
∴实数m的最大值为.
三、解答题
11.解析　(1)由2x-1≠0,可得x≠0,∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
又f(-x)=a+=a+
=a-=(a-2)-,
-f(x)=-a-,
∴a-2=-a,解得a=1.因此f(x)=1+.
当x>0时,2x-1>0,∴f(x)>1;当x<0时,
-1<2x-1<0,∴f(x)<-1.
∴f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
12.解析　(1)f(x)在(-∞,0)上单调递减,
证明:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1则f(x1)-f(x2)=+m-+m
=.
∵x1∴0<<<1,
∴->0,-1<0,-1<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立,
即+m=--m恒成立,
解得m=-,
∴存在m=-,使得f(x)为奇函数.
13.解析　(1)当x<0时,-x>0,所以f(-x)=ex,
因为f(x)是偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=ex,所以f(x)=
作大致图象如图所示.
(2)由图象得,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞),值域是(0,1].
14.解析　(1)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,
∴k=2.此时f(x)=ax-a-x,为奇函数,
∴k=2符合题意.
(2)由(1)得f(x)=ax-a-x,
∵f(1)<0,∴a-<0,∴0∴f(x)在R上为减函数.
又∵f(x2+tx)+f(4-x)<0在R上恒成立,即f(x2+tx)∴x2+tx>x-4在R上恒成立,
∴x2+(t-1)x+4>0在R上恒成立,
∴Δ<0,即(t-1)2-4×1×4<0,解得-3∴t的取值范围为(-3,5).
(3)∵f(1)=,∴a=2,∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x).令t=2x-2-x,x≥1,∴h(t)=t2-2mt+2,t≥.函数g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2可转化为函数h(t)=t2-2mt+2在区间上的最小值为-2,当m≤时,h(t)在区间,+∞上单调递增,∴h(t)min=h=-2,解得m=,舍去;当m>时,h(t)在区间,m上单调递减,在区间[m,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(m)=-2,解得m=2.综上所述,m=2.
15.解析　(1)因为函数f(x)=2kx2+x(k为常实数)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即2kx2-x=-2kx2-x,所以k=0.
(2)由(1)知,g(x)=af(x)+1=ax+1(a>0,且a≠1).
当a>1时,g(x)在[-2,1]上是增函数,
g(x)的最大值为g(1)=a+1,g(x)的最小值为g(-2)=+1;
当0g(x)的最大值为g(-2)=+1,g(x)的最小值为g(1)=a+1.
(3)当a=2时,g(x)=2x+1,在[-1,0]上是增函数,则g(x)≤g(0)=2,
所以-2mt+3≥2,即2mt-1≤0对所有的m∈[-1,1]恒成立,
令h(m)=2tm-1,
则即
解得-≤t≤,
故实数t的取值范围是.