3.1.1　方程的根与函数的零点 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（Word含解析）

第三章　函数的应用
3.1　函数与方程
3.1.1　方程的根与函数的零点
基础过关练
题组一　确定函数零点及零点的个数
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.,0 B.-2,0 C. D.0
3.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上的零点有1 009个,则f(x)的零点个数为(　　)
A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020
4.若是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点为　　　　.
5.判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.
题组二　确定函数零点的范围
6.函数f(x)=ln x+x-3的零点所在的大致区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
7.函数f(x)=x3-的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
8.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(　　)
A.a<19.已知函数f(x)=-lox,若0①f(x)有且只有一个零点;②f(x)的零点在区间(0,1)内;③f(x)的零点在区间(a,b)内;④f(x)的零点在区间(c,+∞)内.
10.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
题组三　由函数零点确定参数的值或范围
11.函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-3,0) B.(-3,+∞) C.(-∞,0) D.(0,3)
12.函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是　　　　.
13.(福建福州三校联盟高一上期中)已知奇函数f(x)=a-(a为常数).
(1)求a的值;
(2)若函数g(x)=|(2x+1)f(x)|-k有两个零点,求实数k的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(江苏江阴四校高一上期中,★★☆)函数f(x)=-|x-2|+ex的零点所在区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
2.(浙江浙北G2高一上期中联考,★★☆)已知实数x0是函数f(x)=-的一个零点,若0A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0
3.(福建厦外高一上期中,★★☆)一元二次方程x2-5x+1-m=0的两根均大于2,则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(-∞,-5)
C. D.
4.(河南平顶山六校联盟高一上期末,★★☆)若幂函数f(x)的图象过点(3,),则函数y=f(x)+2-x的零点为　(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,★★★)已知函数f(x)=方程f(x)[f(x)-b]=0,b∈(0,1),则方程的根的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
6.(山东滨州高一上期末,★★★)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个零点,则实数k的取值范围为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-1] B.[-2,-1]
C.(1,2] D.[1,2)
二、填空题
7.(安徽屯溪一中高一上期中,★★☆)若函数y=|1-x|+m有零点,则m的取值范围是　　　　.
8.(黑龙江东部地区四校高一上期末联考,★★☆)函数f(x)=|4x-x2|-a的零点的个数为3,则a=　　　　.
9.(浙江温州十五校联合体高一上期中联考,★★★)设函数f(x)=若x1三、解答题
10.(天津河西高一上期末,★★☆)函数f(x)=x2+2mx+3m+4.
(1)若f(x)有且只有一个零点,求m的值;
(2)若f(x)有两个零点且均比-1大,求m的取值范围.
11.(北京人大附中高一上期中,★★☆)已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R).
(1)已知f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤1},求实数b,c的值;
(2)已知c=b2+2b+3,设x1、x2是关于x的方程f(x)=0的两根,且(x1+1)(x2+1)=8,求实数b的值;
(3)若f(x)满足f(1)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,求实数b的取值范围.
12.(湖南张家界高一上期末,★★★)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1答案全解全析
第三章　函数的应用
3.1　函数与方程
3.1.1　方程的根与函数的零点
基础过关练
1.D　函数的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标,所以函数图象与x轴没有交点即表示函数没有零点,故选D.
2.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=,与x>1相矛盾,舍去.综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
3.C　因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上的零点有1 009个,所以f(x)在(-∞,0)上的零点也有1 009个.因此f(x)的零点共有1 009+1 009+1=2 019(个).
4.答案　1
解析　由f=2×-a+3=0得a=5,则f(x)=2x2-5x+3.令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,解得x1=,x2=1,所以f(x)的另一个零点是1.
5.解析　解法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2(x>0)的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).
由图象知,函数y=3-x2(x>0)与y=ln x的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0只有一个根,
即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,
f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以函数的零点有且只有一个.
6.C　∵f(1)=ln 1+1-3=-2<0,
f(2)=ln 2+2-3=ln 2-1<0,
f(3)=ln 3+3-3=ln 3>0,
且f(x)的图象连续不断,
∴f(x)在(2,3)内有零点,故选C.
7.B　因为函数f(x)=x3-在R上单调递增,f(1)=13-=1-2=-1<0,f(2)=23-=8-1=7>0,且f(x)的图象连续不断,所以零点所在的区间为(1,2).
8.A　令f(x)=0,即ex+x-2=0,则ex=2-x,
令g(x)=0,即ln x+x-2=0,则ln x=2-x,设y1=ex,y2=ln x,y3=2-x,
在同一平面直角坐标系下,作出函数y1=ex,y2=ln x,y3=2-x的图象如图.
∵函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,
∴y1=ex与y3=2-x图象的交点的横坐标为a,y2=ln x与y3=2-x图象的交点的横坐标为b,
由图象知a<19.答案　①②
解析　设y1=,y2=-lox.因为y1= ,y2=-lox均为(0,+∞)上的增函数,所以f(x)为(0,+∞)上的增函数,又因为f(1)>0,f<0,所以f(x)有且只有一个零点且零点在区间内,故①②中说法一定正确.因为f(a)f(b)f(c)<0,所以f(a),f(b),f(c)的符号为两正一负或全负,而00,f(c)>0.若f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,则零点在区间(c,+∞)内;若f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,则零点在区间(a,b)内.故③④中说法不一定正确.综上,填①②.
10.证明　由Δ=69>0,得方程有两个不等实根,
设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11, f(0)=-1, f(1)=5-7-1=-3, f(2)=20-14-1=5.
∵f(-1)·f(0)=-11<0, f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,
∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,
即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
11.A　已知函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,则即解得-312.答案　
解析　易知函数f(x)=x-+a在定义域上单调递增,
∵函数f(x)=x-+a的零点在区间(1,+∞)上,
∴f(1)=+a<0,∴a<-.
13.解析　(1)由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,即a-=0,解得a=1.
(2)由(1)得,f(x)=1-=,所以g(x)=|(2x+1)f(x)|-k=|2x-1|-k.由g(x)有两个零点,可得方程|2x-1|-k=0有两个不同的实数根,即k=|2x-1|有两个实数根,即函数y=k的图象和y=|2x-1|的图象有两个交点,由图象可得k∈(0,1).
能力提升练
一、选择题
1.B　∵f(-1)=-|-1-2|+e-1=-3+<0,
f(0)=-2+e0=-1<0,f(1)=-1+e1=e-1>0,且f(x)的图象不间断,
∴f(x)在(0,1)内存在零点.故选B.
2.B　易得f(x)=-在(0,+∞)上递增,且f(x0)=0,当00,故选B.
3.C　依题意得
解得-≤m<-5,故选C.
4.D　设幂函数f(x)=xα,由函数f(x)的图象过点(3,),得3α=,即α=,∴f(x)=,∴y=f(x)+2-x=+2-x.令+2-x=0,得=2或=-1(舍去),∴x=4.故选D.
5.D　f(x)[f(x)-b]=0 f(x)=0,或f(x)=b.
作出f(x)的图象如图.
由图象知f(x)=0有2个根,f(x)=b(06.A　当x≤0时,f(x)=(x+1)2-2;当x>0时,f(x)=-2+ln x,作出f(x)的图象如图所示.
令f(x)-k=0得,f(x)=k,
y=f(x)-k有三个零点,由图象知,-2二、填空题
7.答案　[-1,0)
解析　设g(x)=作出函数g(x)的图象如下图所示,
由图象可知08.答案　4
解析　令函数g(x)=|x2-4x|-a=0,可得|x2-4x|=a.由于函数f(x)=g(x)=|x2-4x|-a的零点个数为3,故函数y=|x2-4x|的图象和直线y=a有3个交点,如图所示:
故a=4.
9.答案　[-20,-2)
解析　作出函数y=f(x)的图象如图所示.
由图象知,x1<-1∴x1+x2=-2,
且|lg x3|=|lg x4| -lg x3=lg x4 lg(x3x4)=0 x3x4=1.
因此,x1x3+x2x3=x1x4+x2x4=x4(x1+x2)=-2x4.
∵1故x1x3+x2x3的取值范围是[-20,-2).
三、解答题
10.解析　(1)若f(x)=x2+2mx+3m+4有且只有一个零点,
则Δ=(2m)2-4(3m+4)=0,
解得m=-1或m=4,即m的值为-1或4.
(2)若f(x)=x2+2mx+3m+4有两个零点且均比-1大,
则有
解得-5即m的取值范围为(-5,-1).
11.解析　(1)解法一:由题意可得,-1,1为方程x2+2bx+c=0的两个根,
所以解得b=0,c=-1.
解法二:由题可得,-1,1为方程x2+2bx+c=0的两个根,
由根与系数的关系,得解得b=0,c=-1.
(2)因为c=b2+2b+3,f(x)=x2+2bx+c,所以f(x)=x2+2bx+b2+2b+3,
因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3=0的两根,
所以Δ=4b2-4b2-8b-12≥0,即b≤-,且
因为(x1+1)(x2+1)=8,所以x1x2+x1+x2=7,所以-2b+b2+2b+3=7,
所以b2=4,所以b=2或b=-2,因为b≤-,所以b=-2.
(3)因为f(1)=0,所以c=-1-2b,
设g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x-b-1,因为g(x)=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,所以解得所以b的取值范围为.
12.解析　(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.
(2)当a=4时,f(x)=|x2-4|+x2+4x.当x∈[-2,2]时,f(x)=4+4x,令f(x)=0,解得x=-1,
当x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,令f(x)=0,解得x=-1±,∴x=-1-,
综上,函数f(x)的零点为-1及-1-.
(3)当|x|≤2时,f(x)=ax+4,方程ax+4=0最多有一个实根;
当|x|>2时,f(x)=2x2+ax-4,
若x1,x2均在(2,4)内,则x1·x2=-2不合题意.
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-,∴a≤-2,
由2+ax2-4=0得a=-2x2,∴-7综上,a的取值范围为(-7,-2).