3.1.2 用二分法求方程的近似解 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1(Word含解析)

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名称 3.1.2 用二分法求方程的近似解 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1(Word含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2021-12-07 11:52:15

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第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一 用二分法求方程近似解的概念
1.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(  )
                  
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3
C.f(x)=|x| D.f(x)=ln x
2.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数的零点近似值x0=与真实零点的误差最大不超过(  )
A. B. C.ε D.2ε
3.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(  )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
题组二 用二分法求方程近似解的过程
4.(江苏如东高级中学高一上阶段性测试)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(  )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
5.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(  )
A.[1,4] B.[-2,1]
C. D.
6.(湖南师大附中高一上期中)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算的部分函数值如表所示:
x 2 3 2.5 2.75 2.625 2.562 5
f(x) -1.306 9 1.098 6 -0.084 0.512 0.215 0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为 (  )
A.2.52 B.2.625
C.2.47 D.2.75
7.证明2x+x=4在区间[1,2]内有解.设f(x)=2x+x-4,x∈[1,2],填写下表,并求方程的近似解(精确度为0.2).
区间 区间中点值xn f(xn)的值
(1,2) x1=    f(x1)≈0.33
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈   
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.031
题组三 二分法的应用
8.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01,取端点值为近似解)的近似值,那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为    .
9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)
10.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0, f(0)>0, f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实数根.
答案全解全析
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求
方程的近似解
基础过关练
1.C 选项C,令|x|=0,得x=0,即函数f(x)=|x|存在零点,但当x>0时, f(x)>0;当x<0时, f(x)>0,所以f(x)=|x|的函数值非负,即函数f(x)=|x|有零点,但零点两侧的函数值同号,所以不能用二分法求零点的近似值.
2.B 真实零点离零点近似值x0最远时,真实零点趋近a或b,而b-=-a=<,因此误差最大不超过.
3.D 题中图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.
4.C 方程log3x=3-x可化为log3x+x-3=0,
设f(x)=log3x+x-3,则f(1)=-2<0,f(2)=log32-1<0,f(3)=log33=1>0,又f(x)是增函数,
所以f(x)的零点在(2,3)内,故选C.
5.D ∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为,,,.
6.A 由f(2)=-1.306 9<0,
f(3)=1.098 6>0,
得方程的近似解在(2,3)内,精确度为1;
由f(2.5)=-0.084<0,得方程的近似解在(2.5,3)内,精确度为0.5;
由f(2.75)=0.512>0,得方程的近似解在(2.5,2.75)内,精确度为0.25;
由f(2.625)=0.215>0,得方程的近似解在(2.5,2.625)内,精确度为0.125;
由f(2.562 5)=0.066>0,得方程的近似解在(2.5,2.562 5)内,精确度为0.062 5<0.1;
因此可取区间[2.5,2.562 5]内任意值作为方程的近似解,故选A.
7.解析 证明:易知f(x)在定义域上单调递增,由于f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以方程2x+x-4=0在区间[1,2]内有唯一解.
利用二分法求值得到下表:
区间 区间中 点值xn f(xn)的值
(1,2) x1=1.5 f(x1)≈0.33
(1,1.5) x2=1.25 f(x2)≈-0.37
(1.25,1.5) x3=1.375 f(x3)≈-0.031
因为|1.375-1.5|=0.125<0.2,所以方程的近似解所在区间为[1.375,1.5],所以2x+x=4在区间[1,2]内的近似解可取为1.375.
8.答案 4
解析 设等分的次数为n,由<0.01,得2n>10,∴n的最小值为4,即将区间(0,0.1)等分的次数至少为4.
9.解析 如图.
工人师傅首先从中点C检测,用随身带的话机向两端测试,若发现AC段正常,则可知故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,若发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测;……;由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为 m,令≤100,即2n≥100,又26=64,27=128,故至多检测7次就能找出故障地点所在区域.
10.证明 ∵f(1)>0,
∴f(1)=3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,
∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0, f(1)>0,
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在[0,1]内有两个实数根.