3.1函数的概念与性质同步练习-2021-2022学年高一数学上学期人教B版（2019）必修第一册（Word含解析）

3.1函数的概念与性质
一、选择题（共13题）
设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
已知函数 ，若存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
函数 的定义域是
A． B．
C． D．
函数 的图象与直线 的交点个数为
A． B． C． 或 D． 或
已知函数 ．若方程 有两个实根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
已知符号函数 ， 是 上的增函数，，则
A．
B．
C．
D．
如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线 围成的平面区域的直径为
A． B． C． D．
偶函数 定义域为 ，且在区间 上是严格增函数，则 与 的大小关系是
A． B．
C． D．
函数 在 的图象大致为
A． B．
C． D．
设函数 ，则 的值为
A． B． C． D．
函数 在 单调递减，且为偶函数．若 ，则 的 的取值范围是
A． B． C． D．
已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是
A． B． C． D．
二、填空题（共7题）
已知正方形的周长为 ，它的外接圆的半径为 ，则 关于 的解析式为 ．
已知函数 ，．若 ，，使得 ，则实数 的最大值为 ．
设 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
若函数 的反函数为 ，则 的值域为 ．
已知 是定义域为 的偶函数，当 时，，则不等式 的解集是 ．
设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，则 ．
已知函数 ，若 在区间 上的最大值存在，记该最大值为 ，则满足等式 的实数 的取值集合是 ．
三、解答题（共5题）
已知函数 ，，．对任意的 ，恒有 成立．
(1) 如果 为奇函数，求 ， 满足的条件；
(2) 在（）中条件下，若 在 上单调递增，求实数 的取值范围．
设 是由满足以下性质的函数 构成的集合：对于 的定义域内的任意两个不相等的实数 、 ，不等式 都成立．
(1) 已知函数 ，求 的反函数 ，并指出 的定义域；
(2) 试判断（）中的函数 与 是否属于集合 ，并说明理由；
(3) 设 ，且 的定义域为 ，值域为 ，，试写出一个满足条件的函数 的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由）.
已知函数 （， 是常数），且 ，．
(1) 求 ， 的值；
(2) 当 时，判断 的单调性并用定义证明．
已知 ，．
(1) 计算 的值；
(2) 计算 的值．
已知 在 上是增函数，且 ，．判断 在 上是增函数还是减函数，并加以证明．
答案解析
一、选择题（共13题）
1. 【答案】D
【解析】法一：
考虑函数 ，以及函数 ，则题意要求存在唯一的整数 使得 ．
注意到 ，尤其注意到 为 在 处的切线，如图．
于是可以确定符合题意的唯一整数 ，则 ，解得 ．
法二：
首先 ，所以唯一的整数为 ．
而 ，解得 ．
又 ，对 求导得 ，
当 时，；
当 时，．
从而 在 上单调递减，在 上单调递增．
而当 时，有 ，，，
故在 上 ，，满足题意．
所以满足条件的 的取值范围为 ．
2. 【答案】D
3. 【答案】D
【解析】二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ．
①当 时，函数 在区间 上单调递减，则 ；
②当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，此时，函数 在 或 处取得最大值，
由于 ，
所以 ，即 ，
解得 ，此时 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故选D．
4. 【答案】D
5. 【答案】C
【解析】当函数 在 处有意义时，函数图象与直线 的交点个数为 ；否则，函数图象与直线 的交点个数为 ．
6. 【答案】B
7. 【答案】B
【解析】因为 是 上的增函数，且 ，
所以当 时，，即 ；
当 时，，即 ；
当 时，，即 ．
由符号函数 知，
．
答案B．
8. 【答案】B
【解析】曲线 围成的平面区域，关于 ， 轴对称．
设曲线上的点 ，可得 ．
所以曲线 围成的平面区域的直径为 ．
9. 【答案】D
10. 【答案】B
【解析】因为 ，，
所以 ，
所以 是奇函数，排除选项C．
当 时，，排除选项A，D．
11. 【答案】A
【解析】因为 时，，
所以 ，；
又 时，，
所以 ．
12. 【答案】A
【解析】方法一：因函数 在 单调递减，且为偶函数，则函数 在 单调递增，由 ，则 ，．
方法二：由 得 ，即 ，即 ，得 ．即 的取值范围是 ．
13. 【答案】A
【解析】因为函数 的定义域是 ，
所以 ，
所以 ，
故函数 中，，
所以 ，
所以 的定义域是 ．
二、填空题（共7题）
14. 【答案】
【解析】因为正方形的周长为 ，
所以正方形的边长为 ，
所以正方形的对角线长为 ，
所以 ．
15. 【答案】
【解析】函数
当 ，，
当且仅当 ，即 时，，
，故 ，故 在 上单调递增，
因为对 ，，使得 ，
故 ，
故 ，，，即 ，
所以故 的最大值为 ．
16. 【答案】
17. 【答案】
【解析】求原函数定义域即解不等式 ．
18. 【答案】
【解析】因为 ， 为增函数，
是 上的偶函数，
所以 ．
所以由 ，得 ．
所以 ．
所以 ，
解得 或 ．
所以原不等式的解集为 ．
19. 【答案】
【解析】由题意，得 ，．由 ，，可得 ．
20. 【答案】
【解析】由题意， 在 上存在最大值，
所以 ，在 上存在最大值，
所以 ，即 ，
所以 ，，
所以在 上的最大值为 ，
所以 ，即 ，即 在 上的最大值为 ，如图所示，
① ，
此时 ，符合；
② ，
此时 ，符合；
综上所述， 的取值集合是 ．
三、解答题（共5题）
21. 【答案】
(1) 设 的定义域为 ，因为 为奇函数，
所以对任意 ， 成立，解得 ，
因为对任意的 ，恒有 成立，
所以对任意的 ，恒有 ，
即 对任意的 恒成立．
由 ，得 ，即 ．
所以 ， 满足的条件为 ，．
(2) ，
因为 在 上单调递增，
所以任取 ，且 ，
恒成立，
即任取 ，且 ， 恒成立，
也就是 恒成立，所以 ．
所以实数 的取值范围是 ．
22. 【答案】
(1) 由题意，，即 ，得 ，
所以 ，，故 ，其定义域为 ；
(2) 对于 ：任取 且 ，则 ，
即 ；；
对于 ：任取 且 ，则 ，，，
因为 ，
且 ，，
所以 ，
所以 ，即 ，；
(3) ① ，；
② ，．（答案不唯一）
23. 【答案】
(1) 因为 ，．
所以
(2) 由（）知 ，
在 上单调递增，证明如下：
设 ，
因为 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 在 上单调递增．
24. 【答案】
(1) 由于 ，，
所以 ．
(2) 由（）知 ，
从而 ，
故 ，
而 ，
所以 ．
25. 【答案】函数 在 上是减函数．
证明如下：任取 ，且 ，则
因为 在 上是增函数，，
所以 ．
又 ，，
所以 ，
则 ，则 ，即 ，
所以
即 ．
故 在 上是减函数．