3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点同步练习-2021-2022学年高一数学上学期人教B版（2019）必修第一册（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点同步练习-2021-2022学年高一数学上学期人教B版（2019）必修第一册（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 109.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-07 11:57:53 | ||
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文档简介
3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
一、选择题（共13题）
某学校要召开学生代表大会，规定各班每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （ 表示不大于 的最大整数）可以表示为
A． B． C． D．
若 和 都是奇函数，且 在 上有最大值 ，则在 上 有
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
已知 为奇函数，且当 时，，若当 时， 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
定义在 上的函数 满足 ，当 时，，函数 ．若对任意 ，存在 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
若 ， 都是奇函数， 在 上有最大值 ，则 在 上有
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
设函数 的定义域为 ，有下列三个命题：
（）若存在常数 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值；
（）若存在 ，使得对任意 ，且 ，有 ，则 是函数 的最大值；
（）若存在 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值．
这些命题中，真命题的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前 天监测到的数据：则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第 天被感染的数量 与 之间的关系的是
A． B．
C． D．
函数 的最大值为
A． B． C． D．
右图给出了红豆生长时间 (月)与枝数 (枝)的散点图：那么"红豆生南国，春来发几枝．"的红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是 ．
A．指数函数: B．对数函数:
C．幂函数: D．二次函数:
函数 ，．若存在 ，使得 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
用 表示 ， 两数中的最小值．若函数 的图象关于直线 对称，则 的值为
A． B． C． D．
当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长 ， 应为
A．， B．， C．， D．，
二、填空题（共7题）
函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 ．
在区间 上，函数 与 在同一个点取得相同的最小值，那么 在区间 上的最大值为 ．
函数 的最大值为 ．
函数 在 上的最小值为 ，则实数 ．
若关于 的方程 的两个实数根是 ，，则 的最小值是 ．
定义域为 的函数 满足 , 当 时，，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
已知函数 ，则 的最小值是 ．
三、解答题（共5题）
画出函数 的图象，并根据图象讨论函数的单调性和最大、最小值．
设函数 ．
(1) 判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2) 求函数 在 上的最大值 的解析式．
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力（ 的值越大，表示接受能力越强）， 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：
(1) 开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
(2) 开讲 分钟与开讲 分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
(3) 一个数学难题，需要 的接受能力以及 分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
已知函数 （）．
(1) 当 时，解关于 的不等式 ．
(2) 对于给定的正数 ，有一个最大的正数 ，使得在整个区间 上，不等式 恒成立．求出 的解析式．
据气象中心的观察和预测：发生于 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 （）与时间 （）的函数图象如图所示，过线段 上一点 作横轴的垂线 ，则梯形 在直线 左侧部分的面积即为 （）内沙尘暴所经过的路程 （）．
(1) 当 时，求 的值；
(2) 将 随 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3) 若 城位于 地正南方向，且距 地 ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 城？如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 城？如果不会，请说明理由．
答案解析
一、选择题（共13题）
1. 【答案】B
【解析】根据规定各班每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名代表，即余数分别为 ，， 时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为 ．
故选B．
2. 【答案】B
【解析】因为 和 都是奇函数，
所以 也为奇函数，
又因为 在 上有最大值 ，
所以 在 上有最大值 ，
所以 在 上有最小值 ，
所以 在 上有最小值 ．
3. 【答案】B
【解析】 是奇函数，可得 ，
令 ，则 ，由 时，，
可得 ，即有 ，，
当 时，，
当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 ．
当 时， 恒成立，可得 ，，
则 ，可得 的最小值为 ．
4. 【答案】C
【解析】对任意 ，存在 ，不等式 成立，等价于：
定义在 上的函数 满足 ，
当 时，，
所以 ， 为最大值，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为函数 ，
所以 ，
，，，
，，
，，，
所以函数 ，在 单调递增．
在 单调递减，
所以 ，
，
，
因为不等式 ，
所以 ，故实数满足：．
5. 【答案】C
6. 【答案】C
【解析】对于（）， 不一定是函数 中的值，可能“”不能取到，故其不正确；
因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值，
则此函数值是函数的最大值，故（）（）正确．
综上可知正确的有 个．
7. 【答案】D
8. 【答案】B
【解析】因为
而 ，
所以 ．
9. 【答案】A
10. 【答案】C
【解析】因为 ，．
所以 ，可化为 ，整理：，
所以 ．
因为存在 ，使上式成立，
所以 最大时，，，此时最大值为 ，
所以 最大时，，又 ，
所以 的最大值为 ．
11. 【答案】D
【解析】由 的定义，在同一坐标系内分别作出函数 ， 的图象，则在相同的 取值范围内，图象在下方的构成函数 的图象，如图将函数 的图象进行平移至点 处时，粗线部分即为函数 的图象，
此时图象关于直线 对称，易知点 在直线 上，代入求得 ，故选D．
12. 【答案】C
【解析】当 时， 恒成立，则 小于函数 ， 的最小值，而 ， 的最小值为 ，故 ．
13. 【答案】A
【解析】结合题图，可得 ，所以 ，
矩形面积 ，
当 时， 最大，
此时 ．
二、填空题（共7题）
14. 【答案】
【解析】易知 在区间 上为减函数，
所以 即
解得
所以 ．
15. 【答案】
【解析】由 ，
易知 在 上单调递减，
在 上单调递增，
则 ．于是 也在 处取得最小值 ，
所以 ，，
则 ，，
即 ，
所以 在区间 上的最大值为 ．
16. 【答案】
【解析】当 时， 为减函数，
所以在 处取得最大值，为 ；
当 时，易知函数 在 处取得最大值，为 ．
故函数 的最大值为 ．
17. 【答案】
【解析】当 即 时，函数在 上单调递减，
故当 时，函数取得最小值 ，解可得 符合题意；
当 即 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时，函数取得最小值 ，
解可得 （舍），
当 即 时，函数在 上单调递增，
故当 时，函数取得最小值 ，解可得 （舍），
综上可得，．
18. 【答案】
【解析】由题意得 ，解得 或 ．
又 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，，
所以
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
19. 【答案】
【解析】当 时，，
当 时，，
所以当 时， 的最小值为 ，
又因为函数 满足 ，
所以当 时， 的最小值为 ，
当 时， 的最小值为 ，
因为 时， 恒成立，
所以 ，
所以 ，解得：．
20. 【答案】
三、解答题（共5题）
21. 【答案】图略；递增区间 ；递减区间 和 ；
当 时，；
当 时，．
22. 【答案】
(1) 当 时，，，
所以 为奇函数；
当 时，，，，
则 且 ，
所以 为非奇非偶函数．
(2) ，
即 ．
当 时， 在 上单调递增，
则 ；
当 ，即 时，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
其中 ，，
当 时，，；
当 时，，；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
．
当 ，即 时， 在 上单调递增，．
所以函数 在 上的最大值 的解析式为
．
（说明：最好按 ， 画出草图，再按对称轴与区间 的关系分类）
23. 【答案】
(1) 当 时，．
故 在 时递增，最大值为 ．
当 时，．
当 时， 为减函数，且 ．
因此，开讲 分钟后，学生达到最强接受能力（为 ），能维持 分钟时间．
(2) ，．
故开讲 分钟时学生的接受能力比开讲 分钟时要强一些．
(3) 当 时，令 ，解得 或 （舍）；
当 时，令 ，解得 ．
因此学生达到（含超过） 的接受能力的时间为 ，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
24. 【答案】
(1) 当 时，
由①得，，由②得， 或 ．
所以不等式的解集为 ．
(2) 因为 ，，
所以当 ，即 时，要使 在 上恒成立，要使得 最大， 只能是 的较小的根，即 ；
当 ，即 时，要使 在 上恒成立，要使得 最大， 只能是 的较大的根，即 ．
综上，．
25. 【答案】
(1) 点 ， 的解析式为 ，
时，，，
所以 （）．
(2) 时，，，
所以 ，
时，，，，
，
， 的解析式为 ，
，，
(3) 因为 时，（），
时，（），
，
所以受侵袭．
由 ，得 或 （舍），
所以 侵袭到 城．
一、选择题（共13题）
某学校要召开学生代表大会，规定各班每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （ 表示不大于 的最大整数）可以表示为
A． B． C． D．
若 和 都是奇函数，且 在 上有最大值 ，则在 上 有
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
已知 为奇函数，且当 时，，若当 时， 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
定义在 上的函数 满足 ，当 时，，函数 ．若对任意 ，存在 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
若 ， 都是奇函数， 在 上有最大值 ，则 在 上有
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
设函数 的定义域为 ，有下列三个命题：
（）若存在常数 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值；
（）若存在 ，使得对任意 ，且 ，有 ，则 是函数 的最大值；
（）若存在 ，使得对任意 ，有 ，则 是函数 的最大值．
这些命题中，真命题的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前 天监测到的数据：则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第 天被感染的数量 与 之间的关系的是
A． B．
C． D．
函数 的最大值为
A． B． C． D．
右图给出了红豆生长时间 (月)与枝数 (枝)的散点图：那么"红豆生南国，春来发几枝．"的红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是 ．
A．指数函数: B．对数函数:
C．幂函数: D．二次函数:
函数 ，．若存在 ，使得 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
用 表示 ， 两数中的最小值．若函数 的图象关于直线 对称，则 的值为
A． B． C． D．
当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长 ， 应为
A．， B．， C．， D．，
二、填空题（共7题）
函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 ．
在区间 上，函数 与 在同一个点取得相同的最小值，那么 在区间 上的最大值为 ．
函数 的最大值为 ．
函数 在 上的最小值为 ，则实数 ．
若关于 的方程 的两个实数根是 ，，则 的最小值是 ．
定义域为 的函数 满足 , 当 时，，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
已知函数 ，则 的最小值是 ．
三、解答题（共5题）
画出函数 的图象，并根据图象讨论函数的单调性和最大、最小值．
设函数 ．
(1) 判断函数 的奇偶性，并说明理由；
(2) 求函数 在 上的最大值 的解析式．
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力（ 的值越大，表示接受能力越强）， 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：
(1) 开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
(2) 开讲 分钟与开讲 分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
(3) 一个数学难题，需要 的接受能力以及 分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
已知函数 （）．
(1) 当 时，解关于 的不等式 ．
(2) 对于给定的正数 ，有一个最大的正数 ，使得在整个区间 上，不等式 恒成立．求出 的解析式．
据气象中心的观察和预测：发生于 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 （）与时间 （）的函数图象如图所示，过线段 上一点 作横轴的垂线 ，则梯形 在直线 左侧部分的面积即为 （）内沙尘暴所经过的路程 （）．
(1) 当 时，求 的值；
(2) 将 随 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3) 若 城位于 地正南方向，且距 地 ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 城？如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 城？如果不会，请说明理由．
答案解析
一、选择题（共13题）
1. 【答案】B
【解析】根据规定各班每 人推选一名代表，当各班人数除以 的余数大于 时再增选一名代表，即余数分别为 ，， 时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为 ．
故选B．
2. 【答案】B
【解析】因为 和 都是奇函数，
所以 也为奇函数，
又因为 在 上有最大值 ，
所以 在 上有最大值 ，
所以 在 上有最小值 ，
所以 在 上有最小值 ．
3. 【答案】B
【解析】 是奇函数，可得 ，
令 ，则 ，由 时，，
可得 ，即有 ，，
当 时，，
当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 ．
当 时， 恒成立，可得 ，，
则 ，可得 的最小值为 ．
4. 【答案】C
【解析】对任意 ，存在 ，不等式 成立，等价于：
定义在 上的函数 满足 ，
当 时，，
所以 ， 为最大值，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为函数 ，
所以 ，
，，，
，，
，，，
所以函数 ，在 单调递增．
在 单调递减，
所以 ，
，
，
因为不等式 ，
所以 ，故实数满足：．
5. 【答案】C
6. 【答案】C
【解析】对于（）， 不一定是函数 中的值，可能“”不能取到，故其不正确；
因为函数最大值的定义是存在一个函数值不小于其它所有的函数值，
则此函数值是函数的最大值，故（）（）正确．
综上可知正确的有 个．
7. 【答案】D
8. 【答案】B
【解析】因为
而 ，
所以 ．
9. 【答案】A
10. 【答案】C
【解析】因为 ，．
所以 ，可化为 ，整理：，
所以 ．
因为存在 ，使上式成立，
所以 最大时，，，此时最大值为 ，
所以 最大时，，又 ，
所以 的最大值为 ．
11. 【答案】D
【解析】由 的定义，在同一坐标系内分别作出函数 ， 的图象，则在相同的 取值范围内，图象在下方的构成函数 的图象，如图将函数 的图象进行平移至点 处时，粗线部分即为函数 的图象，
此时图象关于直线 对称，易知点 在直线 上，代入求得 ，故选D．
12. 【答案】C
【解析】当 时， 恒成立，则 小于函数 ， 的最小值，而 ， 的最小值为 ，故 ．
13. 【答案】A
【解析】结合题图，可得 ，所以 ，
矩形面积 ，
当 时， 最大，
此时 ．
二、填空题（共7题）
14. 【答案】
【解析】易知 在区间 上为减函数，
所以 即
解得
所以 ．
15. 【答案】
【解析】由 ，
易知 在 上单调递减，
在 上单调递增，
则 ．于是 也在 处取得最小值 ，
所以 ，，
则 ，，
即 ，
所以 在区间 上的最大值为 ．
16. 【答案】
【解析】当 时， 为减函数，
所以在 处取得最大值，为 ；
当 时，易知函数 在 处取得最大值，为 ．
故函数 的最大值为 ．
17. 【答案】
【解析】当 即 时，函数在 上单调递减，
故当 时，函数取得最小值 ，解可得 符合题意；
当 即 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时，函数取得最小值 ，
解可得 （舍），
当 即 时，函数在 上单调递增，
故当 时，函数取得最小值 ，解可得 （舍），
综上可得，．
18. 【答案】
【解析】由题意得 ，解得 或 ．
又 ， 是方程 的两个实数根，
所以 ，，
所以
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
19. 【答案】
【解析】当 时，，
当 时，，
所以当 时， 的最小值为 ，
又因为函数 满足 ，
所以当 时， 的最小值为 ，
当 时， 的最小值为 ，
因为 时， 恒成立，
所以 ，
所以 ，解得：．
20. 【答案】
三、解答题（共5题）
21. 【答案】图略；递增区间 ；递减区间 和 ；
当 时，；
当 时，．
22. 【答案】
(1) 当 时，，，
所以 为奇函数；
当 时，，，，
则 且 ，
所以 为非奇非偶函数．
(2) ，
即 ．
当 时， 在 上单调递增，
则 ；
当 ，即 时，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
其中 ，，
当 时，，；
当 时，，；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
．
当 ，即 时， 在 上单调递增，．
所以函数 在 上的最大值 的解析式为
．
（说明：最好按 ， 画出草图，再按对称轴与区间 的关系分类）
23. 【答案】
(1) 当 时，．
故 在 时递增，最大值为 ．
当 时，．
当 时， 为减函数，且 ．
因此，开讲 分钟后，学生达到最强接受能力（为 ），能维持 分钟时间．
(2) ，．
故开讲 分钟时学生的接受能力比开讲 分钟时要强一些．
(3) 当 时，令 ，解得 或 （舍）；
当 时，令 ，解得 ．
因此学生达到（含超过） 的接受能力的时间为 ，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．
24. 【答案】
(1) 当 时，
由①得，，由②得， 或 ．
所以不等式的解集为 ．
(2) 因为 ，，
所以当 ，即 时，要使 在 上恒成立，要使得 最大， 只能是 的较小的根，即 ；
当 ，即 时，要使 在 上恒成立，要使得 最大， 只能是 的较大的根，即 ．
综上，．
25. 【答案】
(1) 点 ， 的解析式为 ，
时，，，
所以 （）．
(2) 时，，，
所以 ，
时，，，，
，
， 的解析式为 ，
，，
(3) 因为 时，（），
时，（），
，
所以受侵袭．
由 ，得 或 （舍），
所以 侵袭到 城．