4.3.2 空间两点间的距离公式题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3.2 空间两点间的距离公式题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 81.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-07 11:58:43 | ||
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文档简介
4.3.2 空间两点间的距离公式
基础过关练
题组一 空间两点间的距离公式
1.已知空间中的点M的横坐标为1,纵坐标为-1,竖坐标为,则点M到原点O的距离为( )
A.6 B.2
C. D.2
2.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|=2|EB1|,则点E的坐标为( )
A.(2,2,1) B.
C. D.
3.已知A(1,2,3),B(3,3,m),C(0,-1,0),D(2,-1,-1),则( )
A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD|
C.|AB|≤|CD| D.|AB|≥|CD|
4.已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则线段AB在yOz平面上的射影长为 .
5.在z轴上求一点A,使它到点B(1,1,2)的距离为3,则点A的坐标是 .
题组二 空间两点间距离公式的简单应用
6.(安徽高一期末)已知点A(x,0,2)和点B(2,3,4),且|AB|=,则实数x的值是( )
A.5或-1 B.5或1
C.2或-6 D.-2或6
7.(2018福建龙岩第一中学高二期中)已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )
A.19 B.-
C. D.
8.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上都不对
9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2.点M在A1C1上,且|MC1|=2|A1M|,N在D1C上,且N为CD1的中点,求M,N两点间的距离.
题组三 空间两点间距离的综合问题
10.点P(x,y,z)满足=,则点P在( )
A.以点(1,1,-1)为球心,为半径的球面上
B.以点(1,1,-1)为中心,2为棱长的正方体内
C.以点(1,1,-1)为球心,2为半径的球面上
D.无法确定
11.在空间直角坐标系Oxyz中,M与N关于平面xOy对称,OM与平面xOy所成的角是60°,若|MN|=4,则|OM|=( )
A.4 B.1 C. D.2
12.对于任意实数x,y,z,+的最小值为 .
13.(2018辽宁锦州高一期末测试)空间直角坐标系中,点A(-2,1,3)、B(-1,2,1),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为 .
14.(2018吉林田家炳高级中学等五校联考)在空间中,已知点A(-2,3,4),在y轴上有一点B,使得|AB|=7,则点B的坐标为 .
15.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),且∠BAC=90°,则x= .
16.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的轨迹方程是 .
能力提升练
一、选择题
1.(四川武胜烈面中学高二月考,★★☆)空间中点A(3,3,1)关于平面xOy对称的点A'与B(-1,1,5)的距离为( )
A.6 B.2 C.4 D.2
2.(2018湖南师大附中高一期末,★★☆)在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在平面xOz内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于( )
A. B. C. D.
3.(山西高二月考,★★☆)从M(0,2,1)发出的光线,经平面xOy反射后到达点N(2,0,2),则光线所走的路程为( )
A.3 B.4 C. D.3
4.(★★☆)已知点M(2,t,t),N(1-t,1-t,t)(t∈R),则|MN|的最小值为( )
A. B. C. D.
5.(2018天津南开高一上期末,★★☆)已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6)、B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,正方体的体对角线长为( )
A.14 B.3 C.5 D.42
二、填空题
6.(★★☆)点A在z轴上,它到点(2,,1)的距离是,则A点的坐标为 .
7.(2018江苏苏州高一上期中,★★☆)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长等于 .
三、解答题
8.(★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E在AC上,且DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.
9.(★★☆)已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0(1)求MN的长;
(2)当a为何值时,MN的长最小 并求出最小值.
10.(2018山东淄博桓台二中高一上期中,★★☆)已知点P1、P2的坐标分别为(3,1,-1)、(2,-2,-3),分别在x、y、z轴上取点A、B、C,使它们与P1、P2两点间的距离相等,求A、B、C的坐标.
11.(2018辽宁营口大石桥高一上期中,★★☆)在yOz平面上,求与点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.B 因为M(1,-1,),O(0,0,0),所以由空间两点间的距离公式可知|MO|==2,故选B.
2.D ∵EB⊥平面xOy,B(2,2,0),故设E(2,2,z).又∵|EB|=2|EB1|,∴z=|BE|=|BB1|=,故E.
3.D 由空间两点间的距离公式得|CD|=,|AB|=≥,所以|AB|≥|CD|.
4.答案
解析 点A(3,5,-7),B(-2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A'(0,5,-7),B'(0,4,3),所以线段AB在yOz平面上的射影长|A'B'|==.
5.答案 (0,0,6)或(0,0,-2)
解析 设点A的坐标为(0,0,a),代入空间两点间的距离公式得|AB|==3,解得a=-2或a=6.所以点A的坐标为(0,0,6)或(0,0,-2).
6.A |AB|===,
解得x=5或-1,故选A.
7.C |AB|===,故当x=时,|AB|取得最小值.
8.A 由空间两点间的距离公式,得|AB|=,|BC|=,|AC|=1,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC为直角三角形.
9.解析 如图,分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),A1(0,0,2),
因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2),
因为N为CD1的中点,所以N,因为|MC1|=2|A1M|,所以M(1,1,2).
由空间两点间的距离公式,得|MN|==.
10.A 点P满足到定点(1,1,-1)的距离为,根据球的定义可知,点P在以点(1,1,-1)为球心,为半径的球面上.故选A.
11.C 由题意知MN⊥平面xOy,设垂足为H,则|MH|=|NH|=|MN|=2.又OM与平面xOy所成的角为60°,则|OM|sin 60°=|MH|,所以|OM|==.
12.答案
解析 +表示空间中的点与(0,0,0)、(-1,2,1)的距离之和,所以最小值即为(0,0,0)与(-1,2,1)的距离,此时(x,y,z)在(0,0,0)与(-1,2,1)连线的线段上,故最小值为=.
13.答案 (-4,0,0)
解析 设点P的坐标为(x,0,0),
由题意得=,解得x=-4.
∴点P的坐标为(-4,0,0).
14.答案 (0,3+,0)或(0,3-,0)
解析 设点B的坐标为(0,b,0),
由题意得=7,解得b=3±.
所以点B的坐标为(0,3+,0)或(0,3-,0).
15.答案 2
解析 由空间两点间的距离公式得
|AB|==,
|AC|=
=,
|BC|=
=.
∵∠BAC=90°,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2,
∴(1-x)2+2=2+(2-x)2+1,解得x=2.
16.答案 x+y+z=0
解析 由题意知|CA|=|CB|,则
=,
整理得x+y+z=0.
能力提升练
一、选择题
1.D 点A(3,3,1)关于平面xOy对称的点A'的坐标为(3,3,-1),
所以A'与B(-1,1,5)的距离为|A'B|==2,
故选D.
2.D 点A(1,2,3)在平面xOz内的射影为B(1,0,3),∴|OB|==.
3.C 设关于平面xOy对称的点为P,则P(0,2,-1),则光线所走过的路程为|PN|==,故选C.
4.C 因为|MN|===,所以当t=时,|MN|有最小值,为=,故选C.
5.A 由题意易知,线段AB为正方体的一条体对角线,
所以|AB|==14.
二、填空题
6.答案 (0,0,1)
解析 设点A的坐标为(0,0,t),则=,得(1-t)2=0,解得t=1,因此,点A的坐标为(0,0,1).
7.答案
解析 ∵|AM|==,
∴体对角线|AC1|=2,设棱长为x,则3x2=(2)2,∴x=.
三、解答题
8.解析 以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则点D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),B1(2,4,2).设点E(x,y,0).
∵点E在AC上,且DE⊥AC,
∴解得
∴点E,
则B1E==.
9.解析 因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
所以BE⊥平面ABCD,所以AB,BC,BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NG⊥AB.
因为CM=BN=a,
所以CH=MH=BG=GN=a.
以B为坐标原点,分别以BA,BE,BC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,
则M,N.
(1)|MN|=
==.
(2)由(1)得,当a=时,MN的长最小,且最小值为.
10.解析 设A(x,0,0)、B(0,y,0)、C(0,0,z),由|AP1|=|AP2|得
=,
解得x=-3,
同理,由|BP1|=|BP2|得y=-1,
由|CP1|=|CP2|得z=-,
∴A(-3,0,0)、B(0,-1,0)、C.
11.解析 设所求点为P(0,b,c),因为|PA|=|PB|=|PC|,
所以解得
所以P(0,1,-2).
基础过关练
题组一 空间两点间的距离公式
1.已知空间中的点M的横坐标为1,纵坐标为-1,竖坐标为,则点M到原点O的距离为( )
A.6 B.2
C. D.2
2.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|=2|EB1|,则点E的坐标为( )
A.(2,2,1) B.
C. D.
3.已知A(1,2,3),B(3,3,m),C(0,-1,0),D(2,-1,-1),则( )
A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD|
C.|AB|≤|CD| D.|AB|≥|CD|
4.已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则线段AB在yOz平面上的射影长为 .
5.在z轴上求一点A,使它到点B(1,1,2)的距离为3,则点A的坐标是 .
题组二 空间两点间距离公式的简单应用
6.(安徽高一期末)已知点A(x,0,2)和点B(2,3,4),且|AB|=,则实数x的值是( )
A.5或-1 B.5或1
C.2或-6 D.-2或6
7.(2018福建龙岩第一中学高二期中)已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )
A.19 B.-
C. D.
8.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上都不对
9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2.点M在A1C1上,且|MC1|=2|A1M|,N在D1C上,且N为CD1的中点,求M,N两点间的距离.
题组三 空间两点间距离的综合问题
10.点P(x,y,z)满足=,则点P在( )
A.以点(1,1,-1)为球心,为半径的球面上
B.以点(1,1,-1)为中心,2为棱长的正方体内
C.以点(1,1,-1)为球心,2为半径的球面上
D.无法确定
11.在空间直角坐标系Oxyz中,M与N关于平面xOy对称,OM与平面xOy所成的角是60°,若|MN|=4,则|OM|=( )
A.4 B.1 C. D.2
12.对于任意实数x,y,z,+的最小值为 .
13.(2018辽宁锦州高一期末测试)空间直角坐标系中,点A(-2,1,3)、B(-1,2,1),点P在x轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为 .
14.(2018吉林田家炳高级中学等五校联考)在空间中,已知点A(-2,3,4),在y轴上有一点B,使得|AB|=7,则点B的坐标为 .
15.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),且∠BAC=90°,则x= .
16.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的轨迹方程是 .
能力提升练
一、选择题
1.(四川武胜烈面中学高二月考,★★☆)空间中点A(3,3,1)关于平面xOy对称的点A'与B(-1,1,5)的距离为( )
A.6 B.2 C.4 D.2
2.(2018湖南师大附中高一期末,★★☆)在空间直角坐标系中,点B是A(1,2,3)在平面xOz内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于( )
A. B. C. D.
3.(山西高二月考,★★☆)从M(0,2,1)发出的光线,经平面xOy反射后到达点N(2,0,2),则光线所走的路程为( )
A.3 B.4 C. D.3
4.(★★☆)已知点M(2,t,t),N(1-t,1-t,t)(t∈R),则|MN|的最小值为( )
A. B. C. D.
5.(2018天津南开高一上期末,★★☆)已知正方体的每条棱都平行于坐标轴,两个顶点为A(-6,-6,-6)、B(8,8,8),且两点不在正方体的同一个面上,正方体的体对角线长为( )
A.14 B.3 C.5 D.42
二、填空题
6.(★★☆)点A在z轴上,它到点(2,,1)的距离是,则A点的坐标为 .
7.(2018江苏苏州高一上期中,★★☆)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长等于 .
三、解答题
8.(★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,E在AC上,且DE⊥AC,垂足为E,求B1E的长.
9.(★★☆)已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0
(2)当a为何值时,MN的长最小 并求出最小值.
10.(2018山东淄博桓台二中高一上期中,★★☆)已知点P1、P2的坐标分别为(3,1,-1)、(2,-2,-3),分别在x、y、z轴上取点A、B、C,使它们与P1、P2两点间的距离相等,求A、B、C的坐标.
11.(2018辽宁营口大石桥高一上期中,★★☆)在yOz平面上,求与点A(3,1,2)、B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距离的点的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.B 因为M(1,-1,),O(0,0,0),所以由空间两点间的距离公式可知|MO|==2,故选B.
2.D ∵EB⊥平面xOy,B(2,2,0),故设E(2,2,z).又∵|EB|=2|EB1|,∴z=|BE|=|BB1|=,故E.
3.D 由空间两点间的距离公式得|CD|=,|AB|=≥,所以|AB|≥|CD|.
4.答案
解析 点A(3,5,-7),B(-2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A'(0,5,-7),B'(0,4,3),所以线段AB在yOz平面上的射影长|A'B'|==.
5.答案 (0,0,6)或(0,0,-2)
解析 设点A的坐标为(0,0,a),代入空间两点间的距离公式得|AB|==3,解得a=-2或a=6.所以点A的坐标为(0,0,6)或(0,0,-2).
6.A |AB|===,
解得x=5或-1,故选A.
7.C |AB|===,故当x=时,|AB|取得最小值.
8.A 由空间两点间的距离公式,得|AB|=,|BC|=,|AC|=1,所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC为直角三角形.
9.解析 如图,分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),A1(0,0,2),
因为|DD1|=|CC1|=|AA1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2),
因为N为CD1的中点,所以N,因为|MC1|=2|A1M|,所以M(1,1,2).
由空间两点间的距离公式,得|MN|==.
10.A 点P满足到定点(1,1,-1)的距离为,根据球的定义可知,点P在以点(1,1,-1)为球心,为半径的球面上.故选A.
11.C 由题意知MN⊥平面xOy,设垂足为H,则|MH|=|NH|=|MN|=2.又OM与平面xOy所成的角为60°,则|OM|sin 60°=|MH|,所以|OM|==.
12.答案
解析 +表示空间中的点与(0,0,0)、(-1,2,1)的距离之和,所以最小值即为(0,0,0)与(-1,2,1)的距离,此时(x,y,z)在(0,0,0)与(-1,2,1)连线的线段上,故最小值为=.
13.答案 (-4,0,0)
解析 设点P的坐标为(x,0,0),
由题意得=,解得x=-4.
∴点P的坐标为(-4,0,0).
14.答案 (0,3+,0)或(0,3-,0)
解析 设点B的坐标为(0,b,0),
由题意得=7,解得b=3±.
所以点B的坐标为(0,3+,0)或(0,3-,0).
15.答案 2
解析 由空间两点间的距离公式得
|AB|==,
|AC|=
=,
|BC|=
=.
∵∠BAC=90°,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2,
∴(1-x)2+2=2+(2-x)2+1,解得x=2.
16.答案 x+y+z=0
解析 由题意知|CA|=|CB|,则
=,
整理得x+y+z=0.
能力提升练
一、选择题
1.D 点A(3,3,1)关于平面xOy对称的点A'的坐标为(3,3,-1),
所以A'与B(-1,1,5)的距离为|A'B|==2,
故选D.
2.D 点A(1,2,3)在平面xOz内的射影为B(1,0,3),∴|OB|==.
3.C 设关于平面xOy对称的点为P,则P(0,2,-1),则光线所走过的路程为|PN|==,故选C.
4.C 因为|MN|===,所以当t=时,|MN|有最小值,为=,故选C.
5.A 由题意易知,线段AB为正方体的一条体对角线,
所以|AB|==14.
二、填空题
6.答案 (0,0,1)
解析 设点A的坐标为(0,0,t),则=,得(1-t)2=0,解得t=1,因此,点A的坐标为(0,0,1).
7.答案
解析 ∵|AM|==,
∴体对角线|AC1|=2,设棱长为x,则3x2=(2)2,∴x=.
三、解答题
8.解析 以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
则点D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,4,0),B1(2,4,2).设点E(x,y,0).
∵点E在AC上,且DE⊥AC,
∴解得
∴点E,
则B1E==.
9.解析 因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
所以BE⊥平面ABCD,所以AB,BC,BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分别为G,H,连接NG,易证NG⊥AB.
因为CM=BN=a,
所以CH=MH=BG=GN=a.
以B为坐标原点,分别以BA,BE,BC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,
则M,N.
(1)|MN|=
==.
(2)由(1)得,当a=时,MN的长最小,且最小值为.
10.解析 设A(x,0,0)、B(0,y,0)、C(0,0,z),由|AP1|=|AP2|得
=,
解得x=-3,
同理,由|BP1|=|BP2|得y=-1,
由|CP1|=|CP2|得z=-,
∴A(-3,0,0)、B(0,-1,0)、C.
11.解析 设所求点为P(0,b,c),因为|PA|=|PB|=|PC|,
所以解得
所以P(0,1,-2).