4.2.2 圆与圆的位置关系 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2第四章（Word含解析）

4.2.2　圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一　圆与圆的位置关系的判断及应用
1.(北师大附中高一期末)两圆x2+(y-2)2=1和(x+2)2+(y+1)2=16的位置关系是(　　)
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
2.设r>0,则两圆(x-1)2+(y+3)2=r2与x2+y2=16的位置关系不可能是(　　)
A.相切 B.相交
C.内切和内含 D.外切和外离
3.(四川高二月考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0,圆C2:x2+y2+2x-2y-2=0,则两圆的公切线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1外切,则(　　)
A.a2+b2=4 B.a2+b2=2
C.a2+b2=1 D.a2+b2=8
5.(四川广安中学高二月考)已知圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B两点,则两圆的公共弦|AB|=(　　)
A.2 B.3 C. D.2
6.(浙江宁波期末)已知圆C:x2+y2-4x+a=0,则实数a的取值范围为　　　　;若圆x2+y2=1与圆C外切,则a的值为　　　　.
7.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.
题组二　圆与圆的位置关系的综合问题
8.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为(　　)
A.-1 B.1 C.3 D.0
9.两圆x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0和x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦中,最大的弦长等于(　　)
A.2 B.2 C. D.1
10.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(　　)
A.(0,-1) B.(0,1]
C.(0,2-] D.(0,2]
11.已知两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q两点,若点P的坐标为(1,2),则点Q的坐标为　　　.
12.已知两圆x2+y2=1和(x+2)2+(y-a)2=25没有公共点,求实数a的取值范围.
13.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与圆C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.(江西上高二中高二月考,★★☆)设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},如果存在t∈R,A∩B≠ ,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.(-∞,0)∪
C. D.(-∞,0]∪
2.(河南商丘九校联考高一(上)期末,★★☆)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9.点M、N分别是圆C1、圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　)
A.2+4 B.9
C.7 D.2+2
3.(河南高一期末,★★☆)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A. B.-1 C.6-2 D.5-4
4.(★★☆)若圆O:x2+y2=5与圆O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(★★☆)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|=(　　)
A.4 B.4 C.8 D.8
二、填空题
6.(浙江宁波高二期末,★★☆)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)外切,则r的值为　　　,若点A(x0,y0)在圆C1上,则+-4x0的最大值为　　　.
7.(★★☆)已知圆O的方程是x2+y2-2=0,圆O'的方程是x2+y2-8x+10=0.由动点P向☉O和☉O'引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是　　　　　　.
8.(2018江苏泰州高一期末,★★☆)已知圆M:(x+m)2+(y+1)2=1与圆N关于直线l:x-y+3=0对称,且圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为2-2,则实数m的值为　　　　.
9.(2018湖北高二期末,★★☆)已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,则实数a,b的关系是　　　　.
三、解答题
10.(★★☆)已知圆O1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆O2:x2+y2-4x-4y-2=0.
(1)试判断圆O1与圆O2的位置关系;
(2)在直线O1O2上是否存在不同于O1的一点A,使得对于圆O2上任意一点P都有为同一常数.若存在,请求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
11.(★★☆)已知两圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0,C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)求证:此两圆外切,并求切点坐标;
(2)求过点(2,3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由圆的方程可知,两圆圆心分别为(0,2)和(-2,-1),半径长分别为r1=1,r2=4,则圆心距d==,
∵r2-r12.D　易知圆x2+y2=16的圆心为(0,0),半径长为4;圆(x-1)2+(y+3)2=r2的圆心为(1,-3),半径长为r.两圆心之间的距离为,又<4,所以两圆不可能外切和外离.故选D.
3.B　圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0的圆心坐标为(1,-2),半径长为3,
圆C2:x2+y2+2x-2y-2=0的圆心坐标为(-1,1),半径长为2,
则圆心距为=,又3-2<<3+2,
故两圆相交,所以两圆的公切线的条数是2,故选B.
4.A　因为两圆外切,所以圆心距为半径之和,故=1+1,即a2+b2=4,故选A.
5.A　圆C1:x2+y2-4=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0的方程相减,得AB所在的直线方程:x-y+2=0.∵圆C1:x2+y2-4=0的圆心C1(0,0),半径长r=2,
∴圆心(0,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d==,
则|AB|=2=2=2.故选A.
6.答案　(-∞,4);3
解析　圆x2+y2-4x+a=0可整理为(x-2)2+y2=4-a,
若方程表示圆,则4-a>0,得a<4,即实数a的取值范围是(-∞,4),
圆心C(2,0),半径长R=,若圆x2+y2=1与圆C外切,则|OC|=R+1,
即2=+1,即=1,即4-a=1,得a=3.
7.解析　(1)设圆O1、圆O2的半径长分别为r1、r2,且易知r1=2.
因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2.
所以r2=|O1O2|-r1=-2=2(-1).
所以圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-8.
(2)由题意,设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=(r3>0),
圆O1,O2的方程相减,得弦AB所在直线的方程为4x+4y+-8=0.
所以圆心O1(0,-1)到直线AB的距离为==,
解得=4或=20.
所以圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
8.B　由题意知,直线x-y+c=0为线段AB的垂直平分线,且线段AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,∴m+2c=1.
9.B　两圆的圆心分别为(-a,-a),(-b,-b),半径长分别为1,.因此,公共弦中最长的弦为小圆的直径,故最大的弦长等于2.
10.C　由M∩N=N知N M,所以圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2内切或内含,且4>r2.所以2-r≥,又r>0,所以011.答案　(-2,-1)
解析　由两圆的方程,知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过两圆圆心的直线方程为=,即y=-x.根据圆的几何性质,知两圆的交点关于过它们圆心的直线对称,故点P与点Q关于直线y=-x对称.又P(1,2),所以Q(-2,-1).
12.解析　由已知,得两圆的圆心分别为(0,0),(-2,a),半径长分别为1,5,所以圆心距d==.因为两圆没有公共点,所以<5-1或>5+1,解得-24.故a的取值范围为(-∞,-4)∪(-2,2)∪(4,+∞).
13.解析　将两圆的一般方程化为标准方程为圆C1:(x+2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心坐标为C1(-2,3),半径长r1=1;圆C2的圆心坐标为C2(1,7),半径长r2=(k<50).从而圆心距d==5.
当两圆外切时,d=r1+r2,即1+=5,解得k=34;
当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-|=5,解得k=14;
当两圆相交时,|r1-r2|当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-|>5,解得k<14;
当两圆外离时,d>r1+r2,即1+<5,解得34能力提升练
一、选择题
1.C　存在t∈R,A∩B≠ ,即存在实数t,使得圆(x-4)2+y2=1与圆(x-t)2+(y-at+2)2=1有交点,则存在实数t使得≤2,
即关于实数t的不等式(a2+1)t2-4(a+2)t+16≤0有解,
即16(a+2)2-4×(a2+1)×16≥0,解得0≤a≤,故选C.
2.B　圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心为C1(1,-1),半径长为1,
圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心为C2(4,5),半径长为3.
要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|的最大值为|PC2|+3,|PM|的最小值为|PC1|-1,故|PN|-|PM|的最大值是 (|PC2|+3)-(|PC1|-1)=|PC2|-|PC1|+4,C2(4,5)关于x轴对称的点为C'2(4,-5),|PC2|-|PC1|=|PC'2|-|PC1|≤|C1C'2|==5,故|PN|-|PM|的最大值为5+4=9,故选B.
3.D　如图所示,圆C1关于x轴对称的圆的圆心坐标为C'1(2,-3),半径长为1,点M关于x轴对称的点为M',
圆C2的圆心坐标为(3,4),半径长为3,
由图象可知,当P,M',N三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,
且|PM|+|PN|的最小值为圆C'1与圆C2的圆心距减去两个圆的半径之和,
即|C'1C2|-3-1=-4=5-4,故选D.
4.C　设AB与OO1的交点为C,在Rt△OO1A中,|OA|=,|O1A|=2,所以|OO1|=5,所以|AC|==2,所以|AB|=4.
5.C　因为两圆都与两坐标轴相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限,且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32.所以|C1C2|===8.
二、填空题
6.答案　4;5
解析　因为两圆外切,所以=r+1,∴r=4.
因为点A(x0,y0)在圆C1上,所以+=1,
所以+-4x0=1-4x0,因为-1≤x0≤1,所以+-4x0的最大值为5,此时x0=-1.
7.答案　x=
解析　圆O的圆心为O(0,0),半径长r=;圆O'的圆心为O'(4,0),半径长r'=.设点P(x,y),由切线长相等得=,即x=,这就是动点P的轨迹方程.
8.答案　2或6
解析　易知圆M的圆心为M(-m,-1),半径长r=1,圆心M到直线l的距离d==,由题可知
2=2-2,即|m-4|=2,
解得m=2或m=6.
9.答案　4a2+b2=1
解析　由题意可得两圆内切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4和x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径长分别为2,1,则|2-1|=,即4a2+b2=1.
三、解答题
10.解析　(1)解法一:由O1:x2+y2+2x+8y-8=0得O1:(x+1)2+(y+4)2=25,
由O2:x2+y2-4x-4y-2=0得O2:(x-2)2+(y-2)2=10,
圆心距|O1O2|==3,两圆的半径长之差为5-,两圆的半径长之和为5+.
因为5-<3<5+,所以两圆相交.
解法二:由解得或所以两圆相交.
(2)存在.易得直线O1O2的方程为y=2x-2,设A(a,2a-2)(a≠-1),P(x,y),由题意,设==
λ(λ>0,λ≠1),化简得x2+y2+x+y+=0,
显然上式与圆O2的方程为同一方程.
所以
解得或(此时,A,O1重合,舍去).
故所求的点的坐标为A.
11.解析　(1)证明:易知圆C1:(x+2)2+(y-2)2=13,圆C2:(x-4)2+(y+2)2=13,
因此两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(4,-2),两圆的半径长r1=r2=,
圆心距|C1C2|==2=r1+r2,所以两圆外切.
由两式相减得3x-2y-3=0,
易知直线C1C2经过切点,且C1C2的方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0,
由解得所以切点坐标为(1,0).
(2)与两圆切于点M(1,0)的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线2x+3y-2=0上,设圆心为P(a,b),
则
解得所以r2=|PM|2=.故所求圆的方程为(x+4)2+=.