圆锥曲线与方程复习提升练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word含解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.(★★☆)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为　　　　.
2.(★★☆)如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清而致错
3.(★★☆)已知双曲线-=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为(　　)
A.7 B.23 C.5或25 D.7或23
4.(★★☆)已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-1|,则点P的轨迹为(　　)
A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆
易错点3　忽略椭圆或双曲线的焦点位置而致错
5.(★★☆)椭圆+=1的焦距是2,则m的值是(　　)
A.5 B.3或8 C.3或5 D.20
6.(★★☆)已知双曲线-=1的离心率为,则m=　　　　.
易错点4　忽视判别式对参数的限制而致错
7.(★★☆)已知椭圆C:+y2=1.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于A,B两点,是否存在实数k,使得以AB为直径的圆过点E 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
易错点5　忽视直线的斜率不存在的情况而致错
8.(★★★)已知A(1,0),动点C在圆B:(x+1)2+y2=8上运动.线段AC的中垂线与BC交于点D.
(1)求D点的轨迹E的方程;
(2)设M、N、P三点均在曲线E上,O为坐标原点,且++=0,求|MN|的范围.
易错点6　忽略直线与圆锥曲线位置关系中的特殊情况而致错
9.(★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),抛物线E:x2=2py的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点,求直线l的方程;
(2)若直线MF与抛物线C交于A,B两点,求△OAB的面积.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.(★★☆)设点F和直线l分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点和一条渐近线,若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　)
A.2 B. C. D.
2.(★★☆)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　.
3.(★★☆)已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),M为平面内一点,||=1,且·=0,则||的最小值为　　　　.
4.(★★☆)点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
5.(★★☆)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为(　　)
A.[3-2,+∞)
B.[3+2,+∞)
C.
D.
6.(★★☆)以F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(　　)
A.3 B.2
C.2 D.4
7.(★★☆)已知点E(1,0),椭圆+y2=1上有两个动点P,Q,若EP⊥EQ,则·的最小值为(　　)
A.4 B.3-
C. D.1
8.(★★☆)双曲线-=1(b>0)的右焦点F到其中一条渐近线的距离为1,抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线的左焦点,则抛物线上的动点M到点(5,0)的距离的最小值是　　　　.
9.(★★★)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点P为抛物线上任意一点,点A(-2,0),则的取值范围为　　　　.
10.(★★★)点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
11.(2018黑龙江齐齐哈尔联考,★★☆)若抛物线x2=4y上的点P(m,n)到其焦点的距离为5,则n=(　　)
A. B. C.3 D.4
12.(福建莆田六中高二月考,★★☆)设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为(　　)
A. B.2 C.1 D.
13.(★★☆)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
14.(2018云南昆明第一中学月考,★★☆)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且点A(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
15.(★★☆)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点之间的距离为4,则n的取值范围是(　　)
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
16.(★★☆)已知三个数1,a,9成等比数列,则曲线+=1的离心率为(　　)
A. B. C.或 D.或
17.(★★☆)已知双曲线的渐近线方程为y=±x,实轴长为4,则该双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1或-=1
C.-=1 D.-=1或-=1
18.(★★☆)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
答案全解全析
易混易错练
1.答案　x2+3y2=4(x≠±1)
解析　因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),易知直线AP与BP的斜率均存在,所以x≠±1,由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).
2.解析　由已知,得圆E的半径r=2,设圆P的半径为R,
则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,
所以|PF|-|PE|=2,
又易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,
易知a=1,c=2,
所以b=,
故所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
3.D　双曲线的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,又|PF2|=15,所以|PF1|=7或23.故选D.
4.B　把已知等式化为=,由于点(1,2)不在直线3x+4y-1=0上,所以点P的轨迹为抛物线.
5.C　因为2c=2,所以c=1,所以m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.故选C.
6.答案　2或-5
解析　当双曲线的焦点在x轴上时,a2=m+2,b2=m+1,
c2=a2+b2=3+2m,又双曲线的离心率为,所以=,所以m=2.
当双曲线的焦点在y轴上时,a2=-m-1,b2=-m-2,可得c2=a2+b2=-3-2m,所以=,所以m=-5.
综上,m=2或m=-5.
7.解析　(1)由题意知a2=3,b2=1,则a=,c==,
所以椭圆C的离心率为==.
(2)假设存在实数k满足条件,由得(1+3k2)x2+12kx+9=0,
因为直线与椭圆有两个交点,
所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,即k>1或k<-1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则①
所以y1·y2=(kx1+2)(kx2+2)
=k2x1x2+2k(x1+x2)+4.
若以AB为直径的圆过点E(-1,0),则AE⊥BE,
即·=0,即y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,
所以(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.②
将①代入②,
解得k=>1,满足题意.
综上,存在k=,使得以AB为直径的圆过点E.
8.解析　(1)由题意得|BD|+|DA|=|BD|+|DC|=|BC|=2(2>|AB|=2),
∴点D的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.
易知a2=2,c2=1,∴b2=1,∴点D的轨迹E的方程为+y2=1.
(2)当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,
由得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=.
由++=0,
得xp=-(x1+x2)=,yp=-(y1+y2)=-k(x1+x2)-2m=,
∵(xp,yp)在椭圆上,∴+=1,即4m2=1+2k2,
∴|MN|=|x1-x2|=·=·=·∈(,].
当MN斜率不存在时,易求得|MN|=,
∴|MN|的范围是[,].
9.解析　(1)∵抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),抛物线E:x2=2py的焦点为M,∴p=2,M(0,1).∴抛物线C:y2=4x.
若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,满足题意.
若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+1,代入y2=4x,
得k2x2+(2k-4)x+1=0.
当k=0时,x=,满足题意,此时方程为y=1.
当k≠0时,Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时方程为y=x+1.
综上,直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1.
(2)直线MF的方程为y=-x+1,代入y2=4x,得y2+4y-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4,y1y2=-4.
∴△OAB的面积S=|OF||y1-y2|=×1×=2.
思想方法练
1.C　如图所示,设双曲线的左焦点为E,右焦点为F,l为一条渐近线,F关于直线l的对称点设为P,连接PE,PF.
设直线l与线段PF的交点为A,因为点P与F关于直线l对称,
所以l⊥PF,且A为PF的中点,所以|AF|=b,|OA|=a,|PE|=2|AO|=2a,
根据双曲线的定义,有|PF|-|PE|=2a,则2b-2a=2a,即b=2a,
所以e===,故选C.
2.答案　15
解析　如图所示.
由+=1,可得a=5,b=4,c==3,所以F1(-3,0),F2(3,0),
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以|PM|+|PF1|=|PM|+2a-|PF2|=10+(|PM|-|PF2|)≤10+|MF2|=10+=15,当且仅当P、M、F2三点共线,且P、M在F2异侧时取等号.
故|PM|+|PF1|的最大值为15.
3.答案　
解析　由||=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动.
∵·=0且点P在椭圆上运动,∴PM⊥AM,即PM为圆A的切线,连接PA(如图),
则||=,∴当||=a-c=5-3=2时,||取得最小值,最小值为.
4.解析　抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
如图所示,当M,P,D三点共线时,
|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,
所以|PM|+|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点P的坐标是.
5.B　因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0),
所以c=2.
所以c2=a2+b2=a2+1,
即4=a2+1,解得a=.
设P(x,y),则·=x(x+2)+y2,
因为点P在双曲线-y2=1上,
所以·=x2+2x-1=-.
又因为点P在双曲线的右支上,所以x≥.
所以当x=时,·最小,最小值为3+2,
即·的取值范围是[3+2,+∞).
6.C　设椭圆方程为mx2+ny2=1(n>m>0),
由消去x得
(3m+n)y2+8my+16m-1=0,因为椭圆与直线有且仅有一个交点,
所以Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,
整理得3m+n=16mn,
即+=16.①
又c=2,∴-=4,②
由①②解得m=,n=,
∴椭圆的长轴长为2.
7.C　由题意得·=·(-)=-·=.
设P(x,y),则=(x-1,y),
∴=(x-1)2+y2=(x-1)2+1-=+,
又-2≤x≤2,∴当x=时,取得最小值.故选C.
8.答案　2
解析　双曲线-=1(b>0)的一条渐近线为bx-y=0(b>0),右焦点F(c,0),由题意,得=1,
又∵c2=3+b2,∴b=1,c=2.
∴双曲线的左焦点为(-2,0),
∵抛物线的准线过双曲线的左焦点,
∴p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x,则动点M(x,y)到点(5,0)的距离为==≥2.
∴抛物线上的动点M到点(5,0)的距离的最小值为2.
9.答案　[1,]
解析　设P(x,y),由抛物线的定义,可得|PF|=x+2.
又|PA|==,
∴==.
当x=0时,=1;
当x>0时,=
=,
∵x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,
∴x++4≥8,∴0<≤1.
∴∈(1,].
综上所述,的取值范围是[1,].
10.解析　(1)由已知可得A(-6,0)、F(4,0),设点P的坐标为(x,y),
则=(x+6,y),=(x-4,y),
由已知得
消去y得,2x2+9x-18=0,
∴x=或x=-6.
当x=-6时,y=0,当x=时,y=.
由于y>0,所以x=-6不合题意,所以x=,y=.
∴点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x-y+6=0,设点M的坐标为(m,0),则M到直线AP的距离是,于是=|m-6|,又-6设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,
∴d2=(x-2)2+y2=+15,
∵-6≤x≤6,∴当x=时,d取最小值.
11.D　抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.
根据抛物线的定义可知5=n+1,解得n=4.故选D.
12.C　因为F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,且c2=4+1=5,
所以|F1F2|=2.
由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=4,
所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
因为∠F1PF2=90°,
所以在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=20,
所以|PF1|·|PF2|=2,
所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=1.故选C.
13.解析　(1)由题意得,b2=1,c=1,
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则直线AP的方程为y=x+1.
令y=0,得点M的横坐标xM=-.
又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=.
同理,|ON|=.
由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
则x1+x2=-,x1x2=.
所以|OM|·|ON|
=·
=
=
=2.
又|OM|·|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).
14.解析　(1)由已知得b=1,=,
又∵a2=b2+c2,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,
∴C(x0,-y0),
∴直线AC的方程为y=-x+1.
令y=0,得N.
直线AB的方程为y=x+1,
令y=0,得M.
∴|ON|·|OM|=·=.
∵点B(x0,y0)在椭圆+y2=1上,
∴+=1,即=4,
∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即=,又∠POM=∠NOP,
∴Rt△OPM∽Rt△ONP,
∴∠OPM=∠ONP.
15.A　若双曲线的焦点在x轴上,则
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,
∴∴-1若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为-=1,即
即n>3m2,且n<-m2,此时n不存在.
综上,-116.D　∵三个数1,a,9成等比数列,∴a2=9,则a=±3.
当a=3时,曲线方程为+=1,表示椭圆,其长半轴长为,半焦距为1,离心率为;当a=-3时,曲线方程为-=1,表示双曲线,实半轴长为,半焦距为,离心率为=.故选D.
17.D　∵双曲线的实轴长为4,
∴2a=4,则a=2.
当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,b>0,
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴=,解得b=,
∴双曲线方程为-=1.
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1,b>0,
又双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴=,解得b=2,
即双曲线的方程为-=1.故选D.
18.解析　(1)由题意得c=,
∵e==,∴a=3,
∴b==2,
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1,k2.
过P点的椭圆的切线方程可设为y-y0=k(x-x0) y=kx+y0-kx0,
由消去y,
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
令Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理,得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,
∴k1k2=(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,∴=-1,
∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13(x0≠±3).
当两条切线中有一条垂直于x轴时,两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13.
综上所述,P点的轨迹方程为+=13.