2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第一册5.5.2 简单的三角恒等变换（二）同步练习（Word含解析）

5.5.2 简单的三角恒等变换（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）
一、单选题
函数的值域为
A. B. C. D.
函数是
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
已知函数，R，则是
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
函数的最小值和最大值分别为
A. ，1 B. ，2 C. ， D. ，
关于函数，下列说法正确的是
A. 是奇函数，最大值为 B. 是奇函数，最大值为2
C. 是偶函数，最大值为 D. 是偶函数，最大值为2
下列各点中，不是函数的图象的对称中心的是
A. B. C. D.
已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是
A. 是奇函数 B. 的最小正周期是
C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递减
已知，则的值为
A. B. C. D.
二、多选题
【多选题】对于函数，下列选项中正确的是
A. 在上是递增的 B. 的图象关于原点对称
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2
关于函数，下列说法正确的是
A. 若是函数的零点，则是的整数倍
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象与函数的图象相同
D. 函数的图象可由的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到
三、填空题
函数的最小正周期________．
如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度________来截．
已知，则函数的最大值是________．
函数的单调递减区间是________．
若函数在时取到最小值，则常数a，b的值分别为________．
四、解答题
已知函数．
求的最小正周期
求在区间上的最大值和最小值．
已知函数．
求的定义域和值域；
若，且，求的值．
已知函数，其中
求使得的x的取值范围
若函数，且对任意的，，当时，均有成立，求正实数t的最大值
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查和角的余弦公式、辅助角公式及的值域问题，属于基础题．
先用和角余弦公式展开、再合并，然后用辅助角公式化为，最后结合正弦函数性质求值域．
【解答】解：因为，
所以函数的值域为
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数的恒等变换和三角函数的性质，属于较易题目，根据降幂公式，化简函数，根据函数性质求解即可。
【解答】
解：，
而为奇函数，其最小正周期。
故选A。
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查二倍角公式的应用和三角函数的性质，属于基础题．
首先利用二倍角公式化简函数得到，再判断函数的奇偶性和周期性即可，属基础题，
【解答】
解：
，
，，
即是最小正周期为的偶函数．
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的最值，熟悉三角函数的图像与性质是解答本题的关键，属于中档题．
利用二倍角公式化简函数y，根据正弦函数的有界性与二次函数的图象与性质即可求出函数y的最大值．
【解答】
解：由题意得， ，
设 ，
则原函数可以化为，
当时，函数取得最大值，
当时，．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了两角和与差的正弦公式，余弦函数的性质，属于基础题．
由两角和与差的正弦公式化简，从而利用余弦函数的性质解答．
【解答】
解：
．
所以函数是偶函数，且最大值为．
故选C．

6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数对称性的简单应用，属于基础试题．先利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，然后结合的性质可求．
【解答】
解：，
令可得，，
结合选项可知，
当可知，当可知，当可知，
故A、B、C都是函数的对称中心，D不是．
故选：D．

7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的图象与性质以及三角恒等变换应用问题，注意两角和差公式以及二倍角公式的灵活应用，是中档题．
化函数为正弦型函数，由在上单调递减，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围．
【解答】
解：函数
，
由函数在上单调递减，
且，
得
解得，
又，，
实数的取值范围是．
故选A．

8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查了运算能力和转换能力，属于中档题．
利用三角恒等变换得，从而可得，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：由题意可得
，
则，从而的最小正周期，故A、B错误；
令，解得，当时，，故C错误；
令，解得，
当时，，因为，所以D正确．
故选D．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查辅助角公式和二倍角公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．
先把化简，然后利用二倍角公式以及辅助角公式计算可得答案．
【解答】
解：因为，所以，
所以，两边平方得，
化简得，所以．
故选D．
10.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的图象和性质以及二倍角公式，属于基础题．
利用二倍角公式求得，然后利用三角函数的图象和性质逐个判断即可．
【解答】
解：因为，
故在上是单调递减的，A错误；
对称中心为，Z，B正确；
的最小正周期为，最大值为1，C正确，D错误．
故选BC．
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦、余弦函数的图象与性质，三角函数图象变换规则，属于中档题．
首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断A错误；
由三角函数的对称性可判断函数的对称性；
利用三角函数诱导公式可判断C选项；
根据三角函数图象变换规则可判断D选项．
【解答】
解：
，
画出函数图象，如图所示：
的图象与x轴相邻的两个交点的距离不相等，
且不为，故A错误，
因为，
所以函数的图象关于对称，
则函数的图象关于点，故B正确，
函数，故C正确，
函数的图象可由先向上平移1个单位长度，
再向左平移 个单位长度得到，故D错误．
故选：BC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用，属于基础题．
利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式化简函数为，根据周期公式，即可求出结果．
【解答】
解：因为
，
所以函数的最小正周期．
故答案为．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的应用，辅助角公式，以及三角形全等的有关知识，属于一般题目，设，，找出a，b关系，利用三角形全等，求得，从而求出x的值．
【解答】
解：设，，则，
在中，，．
容易得．
所以．
得
因此．
得或．
从而或．
故答案为或．
14.【答案】7
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数的诱导公式及二倍角公式在三角函数化简中的应用，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题时要注意不要漏掉的条件．
由，及诱导公式可得，由二次函数的性质，结合可求函数的最值
【解答】
解：由，可得
则
当，时，
当时，
故答案为7．
15.【答案】，Z
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦函数的图象与性质、二倍角公式及其应用．比较基础．利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】
解：
故可得，
解得，
故可得函数的单调递减区间是，Z
故答案为，Z
16.【答案】，
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可将转化为，，依题意可知，，，，从而可求得a，b的值．
本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式，求得，，，，是关键，也是难点，属于中档
题
【解答】
解：转化为，其中，
由题意知，，，
，，
，
，．
17.【答案】解：因为
，
所以的最小正周期为
因为，
所以．
故当，即时，取得最大值
当，即时，取得最小值．
【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．
利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，即可求出函数的最小正周期
先根据x的取值范围求得的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．
18.【答案】解：，
由，得Z，于是Z，
的定义域为，值域为
，
，，
，，
，
．
【解析】本题考查了三角函数的定义域和值域、函数的图象与性质、二倍角公式及其应用、辅助角公式的相关知识，试题难度一般
根据题意化简原函数，根据分母不为0即可求出定义域和值域；
根据函数解析式结合诱导公式和二倍角公式即可求解．
19.【答案】
解：由题意得，
；
令，
得
即，故x的取值范围为
由题意得，
令
即
故在区间上为增函数
由，得出，，
则函数包含原点的单调递增区间为即
故正实数t的最大值为．
【解析】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题．
化简函数的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；
构造函数，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t的最大值．
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