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专题02 切线的判定与计算综合问题
北师版九年级下册 圆
证明切线的方法：
1、连半径，证垂直；
2、作垂直，证半径；
1．（2020贵州毕节）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
真题精析
【解析】此题用到的解题口诀：
①连半径，证垂直.
涉及到的模型有：
角平分线模型
A型相似
（1）证明：连结OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
参考答案
2．（2021湖北衡阳）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为 的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．
【解析】此题用到的解题口诀：
①见直径，构造（寻找）直角三角形；
②连半径，证垂直.
涉及到的模型有：
A型相似
真题精析
（1）证明：连结OD，如图所示：
∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图所示：∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E为 的中点，
∴∠EOD＝60°，
∴△EOD为等边三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2，
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°，OD＝2，
参考答案
3．（2021湖北十堰市）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝ ，⊙O的半径为3，求EF的长．
【解析】此题用到的解题口诀：
①见直径，构造（寻找）直角三角形；
②连半径，证垂直.
涉及到的模型有：
A型相似
A型相似
真题精析
参考答案
解：（1）如图，连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠CEF＝∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
由（1）知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF＝∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF＝90°，
参考答案
4．（2021甘肃白银）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【解析】涉及到的模型有：
A型相似
真题精析
（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
解得，x＝1，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3，
（2）解：∵OE∥BC，
∵BC∥OE，
∴∠OCB＝∠EOC，
参考答案
5、如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 ．
【解析】解题关键：①平行四边形对边平行且相等；
②一个角为90°的平行四边形是正方形.
涉及到的模型有：
“斜中（斜边中点）模型”
真题精析
解∶（1）连结CD，如图，
∵AC是OO的直径，∴∠ADC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE;
（2）DE是OO的切线.理由如下∶连结OD，如图，
∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠0CB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD,ED=EC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODE=90°，OD工DE，∴DE是OO的切线;
（3）当BC=2时，
∵CA=CB=2，∴△ACB为等腰直角三角形，∠B=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，
∴DE⊥BC,DE=BC =1. ∵OA=DE=1,AO//DE,
∴四边形AOED是平行四边形;
∵OD=0C=CE=DE=1,∠OCE=90°, ∴四边形OCED为正方形.
故答案为ED=EC;是切线; 2，正方形.
参考答案
6.（2018河大附中三模）如图9,圆0的半径OA为2,AM为其一条切线，点B为AM上一点，连接OB与圆交于点C,点D 为点A关于直线OB的对称点，连接OD,BD.
（1）求证:直线BD为圆O的切线；
（2）连接CD,AC,填空：
①∠ABD= 时，四边形AODC为菱形；
②BC= 时，四边形AODB为正方形.
【解析】解题关键：①正方形中含有两个等腰直角三角形；
②圆内以半径为边的菱形，其内角必有60°.
真题精析
（1）证明∶∵点 A、D 关于直线 OB 对称，∴∠AOB=∠DAB,OA=OD,
∵点 D 在OO 上，OD 为OO的半径，又 OB=OB ..△AOB≌△DOB .∠OAB=∠ODB ∴AM是O O 的切线，∠OAB=90°= ∠ODB
∴BD 为OO 的切线……………………………5分
(2)①60° ；②2√2-2
参考答案
7．（2020湖北黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝ ，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB AF．
【解析】此题用到的解题口诀：连半径，证垂直.
本题的要点：等积式化比例式，找到相似图形.
涉及到的模型有：
“角平分线模型”
“相似模型”
真题精析
解：（1）如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）连接EF，∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
参考答案
8.(2020·衡阳中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
真题精析
【解析】(1)BC与☉O相切,
理由:连接OD,∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,
∵OD为半径,∴BC是☉O的切线.
参考答案
(2)连接DE,
∵AE是☉O的直径,∴∠ADE=90°,
∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C,
∵∠EAD=∠DAC,
∴△ADE∽△ACD,
∴ ,
∴AC= ,
∴CD= ,
∵OD⊥BC,AC⊥BC,
∴△OBD∽△ABC,
∴ ,
∴ ,
∴BD= .
参考答案
9.(2020·营口中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点
O为圆心,OC为半径作☉O与线段AC交于点D.
(1)求证:AB为☉O的切线;
(2)若tanA= ,AD=2,求BO的长.
真题精析
【解析】
(1)过O作OH⊥AB于H,
∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC,
∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB,
∴OH=OC,即OH为☉O的半径,
∵OH⊥AB,∴AB为☉O的切线.
参考答案
(2)设☉O的半径为3x,
则OH=OD=OC=3x,
在Rt△AOH中,
∵tanA= ,
∴ ,
∴ ,
∴AH=4x,
∴AO= =5x,
∵AD=2,
∴AO=OD+AD=3x+2,
∴3x+2=5x,∴x=1,
∴OA=3x+2=5,
OH=OD=OC=3x=3,
∴AC=OA+OC=5+3=8,
在Rt△ABC中,
∵tanA= ,
∴BC=AC·tanA=8× =6,
∴OB= .
10、(2021焦作一模）如图，已知圆0的半径为2，AB为直径，CD为弦AB与CD 交于点M，将弧CD沿 CD翻折后，点A与圆心0重合，延长0A 至P，使AP=OA，连接PC.
（1）求 CD的长; （2）求证∶PC是圆0的切线;
（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接 QG交AB于点E，交弧BC于点F （F与B、C不重合），则GE·GF=_ __.
【解析】此题用到模型有：
“等边三角形”
“斜中模型”
“A型相似”
8
真题精析
1．（2021云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若 ，BE＝3，求DA的长．
＝
答案：（1）略；
（2）DA= .
真题精练
2、如图，在△ABC中，以AB为直径的○O分别与BC，AC相交于点D，E，且
BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F。
（1）求证：DF是圆O的切线；
（2）若AD=5√3，∠CDF=30°，求○O的半径。
答案：（1）略；
（2）半径=5 .
真题精练
3.（2018洛阳一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.
(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinF＝ ，求DF的长。
答案：（1）略；
（2）DF= .
真题精练
4．（2020贵州铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8， ，求CD的长．
＝
答案：（1）略；
（2）CD=4 .
真题精练
5．（2020湖北黄冈）（7分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是 上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF DB．
答案：（1）略；
（2）提示：证明△ADF∽△BDA .
真题精练
6．（2021山东枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
答案：（1）略；
（2）略 .
（2）PC= .
真题精练
7、（2016 新乡模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB=√3，E是半圆AmF上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当弧AE的长度是 时，四边形ABDE是菱形；
②当弧AE的长度是 时，△ADE是直角三角形．
答案：（1）略；
真题精练
8、如图，在△AOB中，OA=OB，以点O为圆心的圆O经过BA的中点C，直线AO与圆O相交于点E、D，OB交圆O于点F，P是弧DF的中点，连接CE、CF、BP。
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若OA=4，则当弧DP长为 时，四边形OECF是菱形；
当弧DP长为 时，四边形OCBP是正方形。
答案：（1）略；
真题精练
9.顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图①所示;PT切O0于点T，PB交O0于点A，B，∠PTA就是○0的一个弦切角.经研究发现;弦切角等于所夹弧所对的圆周角.下面给出了上述命题的"已知"和"求证"，请写出"证明"过程，并回答后面的问题.
（1）已知，如图①，PT是O0的切线，T为切点，射线 PB交○0于A，B两点，连接TA，TB. 求证∶∠PTA=∠ABT.
（2）如图②，AB为半○0的直径，0为圆心，C，D为半O0上两点，过点C作半○0的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC=1，AB=3，则DE=_____
真题精练
10．（2020湖北天门）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
答案：（1）略；
（2）AF=2 .
真题精练
11．（2020 天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2 ，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．
答案：（1）略；
（2）阴影面积= .
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专题02 切线的判定与计算综合问题
一、典例精析
1．（2020贵州毕节）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
2．（2021湖北衡阳）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为 的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．
3．（2021湖北十堰市）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝ ，⊙O的半径为3，求EF的长．
4．（2021甘肃白银）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
5、如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 ．
6.（2018河大附中三模）如图9,圆0的半径OA为2,AM为其一条切线，点B为AM上一点，连接OB与圆交于点C,点D 为点A关于直线OB的对称点，连接OD,BD.
（1）求证:直线BD为圆O的切线；
（2）连接CD,AC,填空：
①∠ABD= 时，四边形AODC为菱形；
②BC= 时，四边形AODB为正方形.
7．（2020湖北黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB AF．
8.(2020·衡阳中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
9.(2020·营口中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点
O为圆心,OC为半径作☉O与线段AC交于点D.
(1)求证:AB为☉O的切线;
(2)若tanA=,AD=2,求BO的长.
10、(2021焦作一模）如图，已知圆0的半径为2，AB为直径，CD为弦AB与CD 交于点M，将弧CD沿 CD翻折后，点A与圆心0重合，延长0A 至P，使AP=OA，连接PC.
（1）求 CD的长; （2）求证∶PC是圆0的切线;
（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接 QG交AB于点E，交弧BC于点F （F与B、C不重合），则GE·GF= .
二、中考真题演练
1．（2021云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若=，BE＝3，求DA的长．
2、如图，在△ABC中，以AB为直径的○O分别与BC，AC相交于点D，E，且
BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F。
（1）求证：DF是圆O的切线；
（2）若AD=5√3，∠CDF=30°，求○O的半径。
3.（2018洛阳一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.
(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinF＝ ，求DF的长。
4．（2020贵州铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8， = ，求CD的长．
5．（2020湖北黄冈）（7分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是 上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF DB．
6．（2021山东枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
7、（2016 新乡模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB=√3，E是半圆AmF上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当弧AE的长度是 时，四边形ABDE是菱形；
②当弧AE的长度是 时，△ADE是直角三角形．
8、如图，在△AOB中，OA=OB，以点O为圆心的圆O经过BA的中点C，直线AO与圆O相交于点E、D，OB交圆O于点F，P是弧DF的中点，连接CE、CF、BP。
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若OA=4，则当弧DP长为 时，四边形OECF是菱形；
当弧DP长为 时，四边形OCBP是正方形。
9.顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图①所示;PT切O0于点T，PB交O0于点A，B，∠PTA就是○0的一个弦切角.经研究发现;弦切角等于所夹弧所对的圆周角.下面给出了上述命题的"已知"和"求证"，请写出"证明"过程，并回答后面的问题.
（1）已知，如图①，PT是O0的切线，T为切点，射线 PB交○0于A，B两点，连接TA，TB. 求证∶∠PTA=∠ABT.
（2）如图②，AB为半○0的直径，0为圆心，C，D为半O0上两点，过点C作半○0的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC=1，AB=3，则DE=_____
10．（2020湖北天门）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
11．（2020 天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2√3 ，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．
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专题02 切线的判定和计算综合问题
一、典例精析
1．（2020贵州毕节）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF．
（1）求证：直线CD是⊙O切线．
（2）若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
【详解】（1）证明：连结OF，BE，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠ACD，
∴BE∥CD，
∵点F是弧BE的中点，
∴OF⊥BE，
∴OF⊥CD，
∵OF为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠OFD＝90°，
∴AC∥OF，
∴△OFD∽△ACD，
∴＝，
∵BD＝2，OF＝OB＝4，
∴OD＝6，AD＝10，
∴AC＝＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵AC∥OF，OA＝4，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
∴tan∠AFC＝＝＝．
【考点】本题考查了圆周角定理、切线的判定和性质。解直角三角形及论证推理能力.
2．（2021湖北衡阳）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为 的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．
【详解】（1）证明：连结OD，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图所示：
∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E为的中点，
∴∠EOD＝60°，
∴△EOD为等边三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2，
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°，OD＝2，
∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝，
∴CD＝2．
【考点】本题考查圆的有关概念及基本性质，涉及切线的判定与性质，圆周角定理等知识，能弄清题意，正确作出辅助线，熟练掌握其相关性质并能灵活运用是解题的关键．
3．（2021湖北十堰市）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若tan∠A＝ ，⊙O的半径为3，求EF的长．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵CD平分∠OCB，
∴∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC＝∠BCD，
∴OD∥CE，
∴∠CEF＝∠ODE，
∵CE⊥DF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠A＝＝，则AD＝2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6，
∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，
解得BD＝，
由（1）知DF是⊙O的切线，
∴∠BDF＝∠A，
∵BE⊥DF，
∴∠BEF＝90°，
∴tan∠BDF＝＝，则DE＝2BE，
在Rt△BDE中，BD＝，
由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（）2，
解得BE＝，则DE＝，
由（1）知BE∥OD，
∴＝，即＝，解得EF＝．
【考点】本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键．
4．（2021甘肃白银）如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
【详解】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OE∥BC，
∴＝，
∵CD＝4，CE＝6，
∴＝＝，
设BD＝2x，则OB＝OC＝3x，OD＝OB+BD＝5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴（3x）2+42＝（5x）2，
解得，x＝1，
∴OC＝3x＝3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，
∴∠OCB＝∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝＝＝2，
∴tan∠OCB＝tan∠EOC＝2．
【考点】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5、如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系： ；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC= 时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是 ．
解∶（1）连结CD，如图，
∵AC是OO的直径，∴∠ADC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE;
（2）DE是OO的切线.理由如下∶连结OD，如图，
∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠0CB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD,ED=EC,∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODE=90°，OD工DE，∴DE是OO的切线;
（3）当BC=2时，
∵CA=CB=2，∴△ACB为等腰直角三角形，∠B=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，
∴DE⊥BC,DE=1/2BC =1. ∵OA=DE=1,AO//DE,
∴四边形AOED是平行四边形;
∵OD=0C=CE=DE=1,∠OCE=90°, ∴四边形OCED为正方形.
故答案为ED=EC;是切线; 2，正方形.
【考点】本题考察了切线的判定、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，以及正方形的判定等。
6.（2018河大附中三模）如图9,圆0的半径OA为2,AM为其一条切线，点B为AM上一点，连接OB与圆交于点C,点D 为点A关于直线OB的对称点，连接OD,BD.
（1）求证:直线BD为圆O的切线；
（2）连接CD,AC,填空：
①∠ABD= 时，四边形AODC为菱形；
②BC= 时，四边形AODB为正方形.
（1）证明∶∵点 A、D 关于直线 OB 对称，∴∠AOB=∠DAB,OA=OD,
∵点 D 在OO 上，OD 为OO的半径，又 OB=OB ..△AOB≌△DOB .∠OAB=∠ODB ∴AM是O O 的切线，∠OAB=90°= ∠ODB
∴BD 为OO 的切线……………………………5分
(2)①60° ；②2√2-2
【考点】本题考察了切线的判定和性质，以及菱形、正方形的性质和判定，全第三角形的知识.
7．（2020湖北黄石）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝8，sinB＝，求⊙O的半径；
（3）求证：AD2＝AB AF．
解：（1）如图，连接OD，
则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BDO＝90°，
∴sinB＝＝，
∴OD＝5，
∴⊙O的半径为5；
（3）连接EF，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝90°＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
又∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
又∵∠OAD＝∠CAD，
∴△DAB∽△FAD，
∴，
∴AD2＝AB AF．
【考点】本题主要考察了圆的有关知识，锐角三角形函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述知识进行推理是本题的关键.
8.(2020·衡阳中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心O在线段AB上,☉O交AB于点E,交AC于点F.
(1)判断BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=8,AE=10,求BD的长.
【详解】解：（1）与相切．
理由如下：
如图，连接，
平分，
在上，
是的切线．
（2）连接
为的直径，
，，
解得：
所以：的长为：
【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
9.(2020·营口中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点
O为圆心,OC为半径作☉O与线段AC交于点D.
(1)求证:AB为☉O的切线;
(2)若tanA=,AD=2,求BO的长.
【详解】(1)过O作OH⊥AB于H,
∵∠ACB=90°,∴OC⊥BC,
∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB,
∴OH=OC,即OH为☉O的半径,
∵OH⊥AB,∴AB为☉O的切线.
(2)设☉O的半径为3x,
则OH=OD=OC=3x,
在Rt△AOH中,
∵tanA= ,
∴ ,
∴ ,
∴AH=4x,
∴OA= =5x
∵AD=2,
∴AO=OD+AD=3x+2,
∴3x+2=5x,∴x=1,
∴OA=3x+2=5,
OH=OD=OC=3x=3,
∴AC=OA+OC=5+3=8,
在Rt△ABC中,
∵tanA= ,
∴BC=AC·tanA=8× =6,
∴OB=
【考点】 本题主要考察了角平分线的性质，切线的判定，锐角三角形函数、勾股定理等知识。熟练掌握上述知识和方法是解题的关键.
10、(2021焦作一模）如图，已知圆0的半径为2，AB为直径，CD为弦AB与CD 交于点M，将弧CD沿 CD翻折后，点A与圆心0重合，延长0A 至P，使AP=OA，连接PC.
（1）求 CD的长; （2）求证∶PC是圆0的切线;
（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接 QG交AB于点E，交弧BC于点F （F与B、C不重合），则GE·GF= .
【详解】（1)如答图1，连接OC
∵沿CD翻折后，A与O重合
∴OM=OA=1，CD⊥OA
∵OC=2
∴CD=2CM=2=2
(2)∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM=
又∵CMP=∠OMC=90°
∴PC==2
∵OC=2,PO=4
∴PC+OC=PO
∴∠PCO=90°
∴PC与☉O相切
（3）GE·GF为定值，证明如下：
如答图2，连接GA、AF、GB
∵G为中点
∴
∴∠BAG=∠AFG
∵∠AGE=∠FGA
∴△AGE∽△FGA
∴
∴GE·GF=AG
∵AB为直径，AB=4
∴∠BAG=∠ABG=45°
∴AG=2
∴GE·GF=AG=8
【考点】 本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．
二、中考真题演练
1．（2021云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若=，BE＝3，求DA的长．
(1)证明:连接OC,
∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:∵,且OA＝OB,
设OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的长为．
【考点】本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2、如图，在△ABC中，以AB为直径的○O分别与BC，AC相交于点D，E，且
BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F。
（1）求证：DF是圆O的切线；
（2）若AD=5√3，∠CDF=30°，求○O的半径。
【考点】本题主要考查了切线的判定定理，中位线定理，圆周角定理和勾股定理的知识。熟练掌握以上知识和方法是解题的关键.
3.（2018洛阳一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB＝∠BFD.
(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinF＝ ，求DF的长。
【详解】（1）证明∶∵∠CDB=∠CAB ∠CDB=∠BFD .
∴∠CAB=∠BFD
∴.FD//AC
∵∠ AEO=90, ∴∠ FDO=90 .
∴ FD是OO的切线;
(2) ∵ AE/ /FD, AO=BO=5
sinF= sin∠ACB=;
∴AB=10 AC=8
∵DO⊥AC ∴AE=EC=4 AO=5
∴EO=3
∵AE//DF, .△AEO∽△ FDO,
【考点】本题主要考察了平行线的判定和性质，切线的判定，锐角三角形函数，相似的有关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.
4．（2020贵州铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8， = ，求CD的长．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∵AD＝8，
∴CD＝4．
【考点】本题主要考察了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数，相似等知识。
5．（2020湖北黄冈）（7分）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是 上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF DB．
【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∵∠CBE＝∠BDE，∠BDE＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠EBA+∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°，
∴CB⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵∠DAF＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠ADF，
∴△ADF∽△BDA，
∴，
∴AD2＝DF DB．
【考点】本题主要考察了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的判定，角平分线的性质，三角形相似等知识。熟练掌握以上知识是解题的关键.
6．（2021山东枣庄）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．
解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．
【考点】本题考查圆的综合应用，熟练掌握切线的性质，能够灵活运用同弧所对的圆周角与圆心角的关系，准确找到角之间的等量关系是解题的关键．
7、（2016 新乡模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB=√3，E是半圆AmF上一动点，连接AE，AD，DE．
填空：
①当弧AE的长度是 时，四边形ABDE是菱形；
②当弧AE的长度是 时，△ADE是直角三角形．
【详解】 （1）证明：如图1，连接OD，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴AB=BC，
∵D是BC的中点，
∴BD=BC，
∴AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODB=∠BAO=90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．
（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；
如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，
∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB=BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD=BC=√3，
∴△ABD是等边三角形，OD=CD tan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°-∠C=60°，
∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴ AE的长度为：120×π×1/180=π；
故答案为：π；
②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时弧AE的长度为：180×π×1/180=π；
若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时弧AE的长度为：60×π×1/180=π；
∵AD不是直径，
∴∠AED≠90°；
综上可得：当弧AE的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：π或π．
【考点】本题主要考察了30°直角三角形的性质，切线的判定，菱形的判定和性质，锐角三角函数，弧长计算公式等知识。其中尤为重要的就是分类讨论思想，要特别注意.
8、如图，在△AOB中，OA=OB，以点O为圆心的圆O经过BA的中点C，直线AO与圆O相交于点E、D，OB交圆O于点F，P是弧DF的中点，连接CE、CF、BP。
（1）求证：AB是圆O的切线；
（2）若OA=4，则当弧DP长为 时，四边形OECF是菱形；
当弧DP长为 时，四边形OCBP是正方形。
【详解】解：在△ABC中，OA=OB，点C是AB的中点
【考点】本题主要考察了等腰三角形：三线合一的性质，切线的判定定理，菱形的性质，锐角三角形函数，弧长计算公式以及正方形的性质。
9.顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图①所示;PT切O0于点T，PB交O0于点A，B，∠PTA就是○0的一个弦切角.经研究发现;弦切角等于所夹弧所对的圆周角.下面给出了上述命题的"已知"和"求证"，请写出"证明"过程，并回答后面的问题.
（1）已知，如图①，PT是O0的切线，T为切点，射线 PB交○0于A，B两点，连接TA，TB. 求证∶∠PTA=∠ABT.
（2）如图②，AB为半○0的直径，0为圆心，C，D为半O0上两点，过点C作半○0的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC=1，AB=3，则DE=_____
【考点】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，利用所学知识证明定理，熟记知识点是解题的关键.
10．（2020湖北天门）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
【详解】
∴
解得x=6. 经检验x=6是分式方程的解.
∴AF=2x-2=10.
∴BF=CF.
【考点】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，切线的判定以及三角形相似的判定和性质，分式方程计算等知识和方法。是一道中等难度题目.
11．（2020 天水）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2√3 ，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD=OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB==，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF=×2×2﹣=2﹣．
故阴影部分的面积为2﹣．
【考点】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定和性质和勾股定理是解此题的关键.
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