2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册4.5.2用二分法求方程的近似解 课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
4.5函数的应用(二)
4.5.2用二分法求方程的近似解
复习引入
1.说说什么是函数的零点？它与对应方程的解有何关系？
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)=0
的实数解
函数y=f(x)的零点
函数y=f(x)与轴公共点的横坐标
同有无，值相等，个相同。
前面，我们学习了函数零点的基本知识，请大家思考一下：
2.什么是函数零点存在定理？其作用是什么？
一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么
函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点.
函数零点存在定理可以用来判定函数 y=f(x)零点 (即方程 f(x)=0的解)的存在性及零点所存在的大致区间。
事实上，这个定理还可以进一步解决我们前面提到的问题：求方程的f(x)=0的近似解。接下来我们就来学习这方面的知识。
知识探究
问题1: 我们已经知道，方程lnx+2x－6=0在区间(2,3)上有一个实数解，那么这个实数(准确值或一定精确度的近似值)到底是多少呢？
若能将零点所在的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.
思考(1): 要求出函数 f(x)=lnx+2x－6零点的值，你的思路是什么？
思考(2): 如何才能将零点所在的范围尽量缩小呢？缩小到 什么时候为止呢？
先将零点所在的区间一分为二，再用零点存在定理，判定零点在哪一个区间. 然后又将零点所在的区间一分为二，再一次判定零点在哪一个区间，...，这样一直进行下去。直到达到所要求的精确度为止。
思考(3): 那么，你知道什么是精确度吗？它是我们所说的精确到是一回事吗？
精确度就是指近似值x*与准确值x的接近程度，通常用近似值x*的误差不超过的某个常数ε来表示。
一般地，若x*∈[a,b]，则当|a-b|≤ε时，[a,b]内的任意值都可以作为x*满足精确度ε的近似值。
在有意义前提下，习惯上我们取区间[a,b](或（a,b）)的一个端点。
精确到则是按四舍五入的原则得到准确值x的一个若干位近似值x*。
在实际运用中，如果对一个数取近似值，我们用精确到，在一个区间(范围)内取近似值，我们用精确度。
思考(4): 按照以上思路和规定，你能求出f(x)=lnx+2x-6的零点吗(精确度0.001)
思考(4): 按照以上思路和规定，你能求出f(x)=lnx+2x-6的零点吗(精确度0.001)
二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 y=f (x) 的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
函数零点存在定理。
因此，二分法只适用于求函数的变号零点(图象在零点处穿过x轴，即两侧函数值异号的零点)，对于函数的不变号零点则不适用，如函数f(x)=(x-1)2的零点。
思考(1): 二分法的理论依据是什么？
思考(2): 你能说说求y=f(x)零点x0的主要步骤吗？在这样的过程中要注意什么问题？
二分法求函数零点的步骤
1.确定x0所在的初始区间[a,b], 验证 f(a)·f(b)<0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算 f(c):
(1) 若 f(c)=0 , 则c就是函数的零点,即x0=c;
(2) 若 f(a) f(c)<0 (此时零点x0∈(a,c)), 则令b= c;
(3) 若 f(a) f(c)>0 (此时零点x0∈(c,b)), 则令a= c.
4.判断是否达到精确度ε , 即若|a-b|<ε , 则得到零点的近似值a(或b)；否则重复2～4.
思考(3): 想一想，且二分法求y=f(x)零点要注意哪些问题？
(1)注意题目要求的精确度，它决定着二分法何时结束；
(2)初始区间的一般选在在两个整数间，且尽可能小一些；
(3)在第四步中，一般由|a－b|<ε取零点近似值为a或b.
注意：
返回
1.下图为函数f(x)的图象，其中零点的个数与可以用二分法 求解的个数分别为(　 )
A.4，4　　 　B.3，4
C.5，4 D.4，3
D
A
C
练习
例析
思考(1): 我们知道，方程f(x)=0就是函数y=f(x)的零点，但如何确定此函数零点所在的初始区间呢？
借助于图象和函数值。
x 0 1 2 3 4 5
f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40
思考(2): 由以上知，函数y=f(x)=2x+3x-7在区间(2,3)内有零点，但如何知道它有多少个零点呢？
∵函数f(x)=2x+3x-7是增函数
∴f(x)在区间(2,3)内只有一个零点
∴函数y=f(x)=2x+3x-7在区间(2,3)
解:
例析
练习
(2,2.5)
1.在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是
(－2，4)，则第三次所取的区间可能是(　　)
A.(1，4)　B.(－2，1) C.(－2，2.5) D.(－0.5，1)
D
简析：
简析：
解：
设供电站和医院的所在处分别为点A,B（间距10km)
A(供电站)
这样，每查一次，就能把待查的线路长度缩减一半。
C
B(医院）
D
E
思考(2): 若要把故障可能发生的范围缩小到50m～100m左右，即一两根电杆附近，最多查几次就可以了？
可以每次在故障线路的中点处检查。
问题1：某个雷电交加的夜晚，医院忽然电停了。据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工如何迅速查出故障所在 (线路长10km，每50m一棵电线杆）
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200根电线杆子。
探究
思考(1): 维修线路的工人师傅怎样工作合理？
∴最多检查7次就可以了。
开始
定义f(x)
输入ε,a,b
是
b=c
f(c)=0
否
a=c
|a-b|<ε
f(a)f(c)<0
是
输出 x=a
结束
否
问题2：用二分法求方程的近似解，计算量往往较大，而且是相同的重复步骤。因此可以设计程序让计算机来完成。你能根据用二要法求方程的近似解的 过程画出其流程图吗？
否
是
a=c
课堂小结
1.说说你对二分法思想的认识？
2.用二分法求函数零点的一般步骤是怎样的？
二分法求函数零点的要点
定区间，找中点，
中值计算两边看；
零点落在异号间，
区间长度缩一半；
周而复始怎么办
精确度上来判断 .
作 业
教材P155~156习题4.5
第5,,8 13题
第5题参考数据：
x f(x)=lnx-0.8x+1
0.5 -0.588
0.5625 -0.457
0.625 -0.340
0.6875 -0.232
0.75 -0.134
0.8125 -0.42
0.875 0.044
0.9375 0.124
1 0.200
第8题参考图象：