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3.2圆的对称性教学设计
课题 3.2圆的对称性 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.经历探索圆的对称性及相关性质；理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何图形的各种方法; 2.培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神.
重点 对圆心角、弧和弦之间的关系的理解.
难点 能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 通过让同学回顾已学知识，复习轴对称图形的概念。 接着让学生讨论得出是用折叠方法研究了轴对称图形，向学生提出问题关于圆的相关概念， 让学生继续用折叠的方法来研究圆的对称性。 学生自由讨论回答. 由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.
讲授新课 [师]我们之前是用折叠的方法探究，今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性， 在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合，看折痕经不经过圆心 同学们想一想：圆是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 [师]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗 你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下． [师]我们可以做一做 让学生利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． [师]我们刚刚通过折叠的方法知道圆是轴对称图形，那同学们想一想： 圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你能找到对称中心吗？你又是用什么方法解决这个问题的呢？ [师]我们可以做一做 取两个等圆重合并旋转180° [师] ①圆是中心对称图形；②圆心是它的对称中心；③用旋转的方法解决这个问题. 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ [师]一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． [师]我们看一下圆心角和弦心距的概念 [师]圆心角对应三个量有什么关系呢？我们来做一做 在我们两张等圆的圆形纸片上，分别作相等的圆心角∠AOB和（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由． [师]在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？ 让学生得出在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 根据投影理解圆心角及其对应三个量的关系，知一得二 例题 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且. BE与CE的大小有什么关系？为什么？ 自由讨论并回答跟随老师用折叠的方法共同探究圆的对称性. 自由讨论回答并跟随老师用旋转的方法共同探究圆的对称性. 认真思考、理解例题中的解答推理过程。 同学之间相互帮助、交流、讨论。 让学生自己根据轴对称图形的定义动手操作，培养学生独立探究问题和解决问题的能力. 在旋转中领会 定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力. 理论与实践相结合，让学生充分感受所学知识的实用价值，学以致用的同时提升对所学知识的理解程度。
课堂练习 1．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( ) A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD 2．如图，在⊙O中，若点C是的中点， ∠A＝50°，则∠BOC＝( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是 . 4.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为 。 5．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证AD＝BE. 6.如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB＝AC． (1)求证：直径AD平分∠BAC． (2)若BC经过半径OA的中点E，点F是的中点，点G是的中点，⊙O的半径为1.求GF的长． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §3.1圆定义：有关概念： 学 生 活 动 区
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3.2圆的对称性
北师大版 九年级下册
情景导入
通过上面的观察，我们发现轴对称图形通过翻折能完全重合，那么圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴呢？
轴对称图形
对称轴
对称轴
a
m
轴对称图形
新知讲解
小贴士
你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
●O
新知讲解
.
O
A
B
180°
将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
将圆绕圆心旋转任意角度，得到的图形还与原图形重合吗？
圆的对称性：
圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
新知讲解
如图：若圆心角∠AOB=∠COD.那么：它们所对的弧
AB与CD相等吗？
·
C
B
A
D
证明：由于圆是旋转对称图形 ，因此绕圆心O旋转使点A与点C重合.
∵∠AOB=∠COD OA=OC OB=OD
∴点B与点D重合
∴AB=CD
O
结论
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
总结
O ′
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，
新知讲解
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
反思回顾
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧_____，所对的弦_____.
在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_____，所对的弦______.
在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角____，圆心角所对的弧____.
等圆中也同样.
相等
相等
相等
相等
相等
相等
归纳总结
________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
________________，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
在同圆或等圆中
在同圆或等圆中
【定理】
【推论】
“一推二”定理及推论
练一练
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
根据这节课所学的结论填空：
⌒
⌒
（2）如果AB=CD，那么 ， ；
（3）如果AB=CD，那么 ， 。
(1) 如果∠AOB=∠COD，那么 ， ;
AB=CD
∠AOB=∠COD AB=CD
∠AOB=∠COD
典例精析
例 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是
∵ ∠AOD=∠BOE,
∴
又∵
∴
∴ BE=CE.
练一练
已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB的中点. 试确定四边形 OACB的形状，并说明理由.
证明：如图，四边形OACB是菱形．
理由如下：连接OC.
∵C是AB的中点，
∴AC＝BC. ∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OB＝OC，OA＝OC，
∴△BOC和△AOC都是等边三角形．
∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB是菱形．
⌒
⌒
⌒
⌒
课堂练习
1．在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( )
A．AB＞CD B．AB＝CD
C．AB＜CD D．AB＝2CD
B
2．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝( )
A．40° B．45°
C．50° D．60°
A
课堂练习
78°
3.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是 .
4.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为 。
120°
课堂练习
5．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证AD＝BE.
证明：连接OC.∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
在△COD和△COE中，
∴△COD≌△COE(AAS)．
∴OD＝OE. 又∵AO＝BO，∴AD＝BE.
课堂练习
6.如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB＝AC．
(1)求证：直径AD平分∠BAC．
(2)若BC经过半径OA的中点E，点F是的中点，点G是的中点，⊙O的半径为1.求GF的长．
课堂练习
课堂练习
作业布置
1.课本习题3.2第1、2题
课堂小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
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